Berührpunktproblem – Berührung zweier Funktionen in einem Punkt zeigen

Berührpunktproblem – Berührung zweier Funktionen in einem Punkt zeigen Übung

• Ergänze die Erklärung zu dem Berührproblem.

  Tipps

  Wenn der Graph einer quadratischen Funktion einen Berührpunkt mit der x-Achse hat, so ist dieser der Scheitelpunkt der Funktion.

  Also ist dies im Falle einer nach oben geöffneten Parabel der tiefste Punkt und im Falle einer nach unten geöffneten Parabel der höchste Punkt.

  Der Punkt $P(x_0|y_0)$ ist ein Berührpunkt des roten und des blauen Funktionsgraphen.

  Lösung

  Der rote Funktionsgraph, eine Parabel, und der blaue, der Funktionsgraph zu einer kubischen Funktion, berühren sich in dem Punkt $P(x_0|y_0)$. In diesem Bild ist zu erkennen, dass

  • der Punkt ein gemeinsamer Punkt der beiden Funktionen sein muss, das heißt $f(x_0)=g(x_0)$. Diese Eigenschaft reicht noch nicht, denn damit wäre ja jeder Schnittpunkt ein Berührpunkt.
  • Es muss zusätzlich noch gelten, dass die beiden Funktionen in diesem Punkt eine gemeinsame Tangente haben. Da der Punkt bereits überein stimmt, muss also auch noch $f'(x_0)=g'(x_0)$ gelten.

• Gib an, ob die beiden Funktionen in $x_0=0$ einen Berührpunkt haben.

  Tipps

  Nachzuweisen sind zwei Bedingungen.

  Wenn zwei Funktionen keinen gemeinsamen Punkt haben, können sie sicher auch keinen Berührpunkt haben.

  Der Begriff „Tangente“ kommt von „tangere“ [Latein] für „berühren“.

  Lösung

  Wenn zwei Funktionen über einen Berührpunkt verfügen, müssen diese beiden Funktionen

  • einen gemeinsamen Punkt haben. Anders ausgedrückt: Sie müssen an einer vorgegebenen Stelle $x_0$ den gleichen Funktionswert besitzen
  • und in diesem Punkt eine gemeinsame Tangente, das heißt die gleiche Steigung, haben.

  1. Es muss gelten $f(0)=g(0)$. Es ist $f(0)=0^4-0^2+1=1$ und $g(0)=0^2+1=1$. Diese Bedingung ist somit erfüllt. Der gemeinsame Punkt ist $P(0|1)$.
  2. Zur Berechnung des Anstiegs der Tangente, benötigt man die 1. Ableitung der betrachteten Funktion: $f'(x)=4x^3-2x$ sowie $g'(x)=2x$.
  3. Die Steigungen der beiden Funktionen an der Stelle $x_0$ müssen übereinstimmen: $f'(x_0)=g'(x_0)$. Dies ist gleichbedeutend damit, dass sie eine gemeinsame Tangente in dem Punkt $P(0|1)$ besitzen. $f'(0)=4\cdot0^3-2\cdot0=0$ und $g'(0)=2\cdot 0=0$.
  4. Der Punkt $P(0|1)$ ist also ein Berührpunkt von $f(x)$ und $g(x)$.

• Berechne die Schnittpunkte der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$.

  Tipps

  Um Schnittpunkte zweier Funktionen zu berechnen, müssen die Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden.

  Die Funktion $h(x)=(x-1)^2$ hat die Nullstelle $x_N=1$. Da der Term $(x-1)$ quadriert wird, nennt man eine solche Nullstelle auch doppelte Nullstelle.

  Die zugehörige Parabel siehst du hier. Was fällt dir bei der Nullstelle auf?

  Es gibt 2 Schnittpunkte. Das heißt ein Schnittpunkt ist ein doppelter Schnittpunkt.

  Zwei x-Koordinaten sind identisch.

  Lösung

  Um die Schnittpunkte zweier Funktionen zu berechnen, werden die entsprechenden Funktionsgleichungen gleichgesetzt:

  $\begin{align*} && f(x)&=g(x)\\ &\Leftrightarrow& x^3+4x+1&=4x^2+1 &|& -4x^2-1\\ &\Leftrightarrow& x^3-4x^2+4x&=0. \end{align*}$

  Da kein Term ohne $x$ vorhanden ist, kann $x$ ausgeklammert werden:

  $x^3-4x^2+4x=x(x^2-4x+4)=0$.

  Damit die Gleichung erfüllt ist, muss entweder der eine Faktor $x_1=0$ oder der andere $x^2-4x+4=0$ sein. Zur Berechnung der Nullstellen des zweiten Faktors könnte man die p-q-Formel verwenden. Hier liegt jedoch die 2. binomische Formel vor. Das vereinfacht die Rechnung:

  $x^2-4x+4=(x-2)^2$.

  Also sind die weiteren Stellen $x_2=2$ und $x_3=2$. $x=2$ ist eine sogenannte doppelte Nullstelle.

  Die Schnittpunkte sind $S_1(0|1)$ sowie $S_2(2|17)$ und $S_3(2|17)$.

• Untersuche, ob einer der Schnittpunkte der beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ ein Berührpunkt ist.

  Tipps

  Zwei Funktionen berühren sich in einem Punkt $P(x_0|y_0)$

  1. wenn dieser ein gemeinsamer Punkt ist und
  2. wenn sie eine gemeinsame Tangente an dieser Stelle haben.

  Eine doppelte Nullstelle ist ein Tiefpunkt oder ein Hochpunkt. In beiden Fällen berührt die Funktion die x-Achse.

  Das ist zum Beispiel hier an der Parabel zu $h(x)=(x+2)^2$ zu erkennen.

  Ein doppelter Schnittpunkt ist ein Berührpunkt.

  Lösung

  Die Schnittpunkte wurden bereits in der vorherigen Aufgabe berechnet:

  $\begin{align*} && f(x)&=g(x)\\ &\Leftrightarrow& x^3+4x+1&=4x^2+1 &|& -4x^2-1\\ &\Leftrightarrow& x^3-4x^2+4x&=0 \\ &\Leftrightarrow& x(x^2-4x+4)&=0\\ &\Leftrightarrow& x(x-2)^2&=0. \end{align*}$

  Ein Term der Form $x(x-2)^2=0$ wird in der Mathematik als eine Faktorisierung bezeichnet. Liegt eine Funktion in der faktorisierten Form vor, so können die Nullstellen, hier die x-Koordinaten der Schnittpunkte, abgelesen werden.

  Die eine x-Koordinate ist $x_1=0$, sie ist eine einfache Schnittstelle. Die zweite x-Koordinate ist $x_2=x_3=2$, sie ist eine doppelte Schnittstelle. Wie bei den doppelten Nullstellen handelt es sich auch hier um einen Berührpunkt.

  Dies kann auch über die Bedingung belegt werden, dass die Funktionen eine gemeinsame Tangente in dem Punkt haben müssen, das heißt: $f'(x_0)=g'(x_0)$.

  Zunächst müssen die Ableitungen der Funktionen berechnet werden:

  • $f'(x)=3x^2+4$ und
  • $g'(x)=8x$.

  Schauen wir uns zunächst den Punkt $S_1(0|1)$ genauer an: $f'(0)=3\cdot 0^2+4=4\neq 0=g'(0)$. Hier liegt ein Schnittpunkt aber kein Berührpunkt vor.

  Richten wir nun unser Augenmerk auf den Punkt $S_2(2|17)$: $f'(2)=3\cdot 2^2+4=16=g'(2)$. Der Punkt $S_2$ ist also ein Berührpunkt.

• Beschreibe die einzelnen Schritte zur Überprüfung, ob in $x_0=1$ ein Berührpunkt von $f(x)$ und $g(x)$ vorliegt.

  Tipps

  Die Überprüfung, ob an einer Stelle ein Berührpunkt vorliegt, besteht aus zwei Bedingungen. Es müssen beide Bedingungen erfüllt sein.

  Jeder Berührpunkt ist ein gemeinsamer Punkt, also ein Schnittpunkt. Es gibt aber auch gemeinsame Punkte, die keine Berührpunkte sind.

  Der lateinische Begriff für „berühren“ ist „tangere“.

  Lösung

  Es müssen 2 Bedingungen erfüllt sein, damit in $x_0=1$ ein Berührpunkt vorliegt:

  • $f(x_0)=g(x_0)$ und
  • $f'(x_0)=g'(x_0)$.

  Wenn eine der beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, liegt kein Berührpunkt vor.

  Zunächst wollen wir untersuchen, ob $f(x_0)=g(x_0)$ stimmt. Es gilt $f(1)=1^2+3\cdot1-3=1$ und $g(1)=-2\cdot 1+3=1$. Also ist $P(1|1)$ ein gemeinsamer Punkt von $f(x)$ und $g(x)$. Dies reicht noch nicht aus.

  Wir müssen auch noch überprüfen, ob $f'(x_0)=g'(x_0)$ gilt. Zunächst müssen die Ableitungen berechnet werden:

  • $f'(x)=2x+3$ und
  • $g'(x)=-2$. Da $g(x)$ eine lineare Funktion ist, ist die Ableitung konstant.

  Es gilt $f'(1)=2\cdot 1+3=5$, aber $g'(1)=-2$. Das heißt die Steigungen stimmen nicht überein.

  Damit ist gezeigt, dass $P(1|1)$ kein Berührpunkt ist.

• Gib die Gleichung der nach oben geöffneten Normalparabel an, die die Gerade $g(x)=2x+3$ im Punkt $P(-1|1)$ berührt.

  Tipps

  Da es sich um eine Normalparabel handelt, ist $a$ bereits festgelegt.

  Du benötigst die Ableitung der Funktion $f(x)$. Diese ist

  $f'(x)=2ax+b$.

  Die unbekannten Koeffizienten kannst du beim Ableiten wie konstante Faktoren oder, im Falle von c, konstante Summanden betrachten.

  Es gilt $f'(-1)=-2a+b$.

  Da der Punkt $P(-1|1)$ sowohl auf der Geraden als auch auf der Parabel liegt, gilt:

  $1=a(-1)^2+b\cdot(-1)+c$.

  Lösung

  Bei noch unbekannten Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ist die Gerade $g(x)=2x+3$ eine Tangente an die Parabel zu $f(x)$ im Punkt $P(-1|1)$.

  Da es sich bei der Parabel um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt, ist $a=1$.

  Es muss also gelten:

  • $f(-1)=1$ und
  • $f'(-1)=2$, da $g(x)$ eine Gerade ist und die konstante Steigung $2$ hat.

  $f(-1)=1$ führt zu der Gleichung: $(-1)^2+b\cdot (-1)+c=1$. Dies ist äquivalent zu

  $\begin{align*} && 1-b+c&=1 &|& -1+b\\ &\Leftrightarrow& c&=b. \end{align*}$

  Für die folgende Rechnung wird noch die 1. Ableitung von $f(x)$ benötigt: $f'(x)=2x+b$.

  $f'(-1)=2$ führt zu der Gleichung $2\cdot(-1)+b=2$. Durch Addition von $2$ erhält man $b=4$ und damit auch $c=4$.

  Die gesuchte quadratische Funktion ist also $f(x)=x^2+4x+4$.