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Berührpunktproblem – Berührung zweier Funktionen in einem Punkt zeigen 13:08 min

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Transkript Berührpunktproblem – Berührung zweier Funktionen in einem Punkt zeigen

Hallo, ich bin Anne und ich erkläre dir heute, wie man das Berührpunktproblem löst. Dabei wollen wir überprüfen, wann zwei Funktionen sich in einem Punkt berühren. Dabei wollen wir als erstes Bedingungen formulieren, wann sich zwei Funktionen in einem Punkt berühren, und für zwei Beispiele diese Bedingungen nachrechnen. Wir haben hier erstmal ein Bild gegeben mit zwei Funktionen, f und g. Die berühren sich in einem Punkt an der Stelle x0. Man sieht jetzt erstmal, dass diese erste Bedingung, wann sich zwei Funktionen berühren, einfach die Tatsache ist, dass sie einen gemeinsamen Punkt haben. Und das ist jetzt schon die erste Bedingung. Also zwei Funktionen berühren sich an einem Punkt P(x0, y0), erstens, wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben. Das heißt, die Funktionswerte an dieser Stelle müssen bei beiden Funktionen gleich sein. F(x0) = g(x0). So, jetzt erkennen wir im Bild drei gemeinsame Punkte. Wir haben in der Mitte bei x0 diesen Berührpunkt, aber wir haben auch noch achsensymmetrisch zwei Punkte, wo die Funktionen einen gemeinsamen Punkt haben, aber wo sie sich schneiden. Was ist also der Unterschied zwischen, dass sich zwei Funktionen schneiden, und dass sie sich berühren? Wenn wir uns diesen Berührpunkt in der Mitte an gucken, dann sieht man, dass der Anstieg beider Funktionen an dieser Stelle gleich ist. Das heißt, wenn wir die Tangenten an den Graphen f und g anlegen, dann ist der Anstieg dieser beiden Tangenten gleich. Wir schieben das Bild jetzt einfach mal hoch und gucken uns dieses Bild nochmal genauer an, für den Schnittpunkt, für den rechten. Und wenn wir uns da die Tangenten an den Graphen f und g angucken, dann sehen wir, dass diese Tangenten verschieden sind. Also ihre Anstiege an diesem Schnittpunkt sind verschieden groß, haben also keine gemeinsame Tangente. Also ist die zweite Bedingung dafür, wann sich zwei Funktionen berühren, dass sie eine gemeinsame Tangente an dieser Stelle x0 haben. Also die Anstiege an der Stelle x0 müssen gleich sein, das heißt die ersten Ableitungen der Funktion. Also f’(x0) muss gleich g’(x0) sein.So, jetzt haben wir diese beiden Bedingungen gefunden, und wir wollen jetzt für dieses Beispiel, also für diese beiden Funktionen das mal nachrechnen. Also, als Funktion f haben wir gegeben x4 - x² + 1. Das ist auch die, die man im Bild sieht, genauso wie g(x), und das ist x² + 1. Die Stelle ist jetzt dieses x0 = 0. Also als erstes prüfen wir nach, ob sie wirklich den gemeinsamen Punkt haben, das heißt ich setze jetzt f(x0) ein, also 0. Das ist 04 - 0² + 1 = 1. Und dann g(0) = 0² + 1, ist auch 1. Und hier stimmen jetzt die Funktionswerte überein, also haben wir einen gemeinsamen Punkt, P bei (0, 1). Dann im zweiten Schritt überprüfen wir, ob sie eine gemeinsame Tangente haben, dafür brauchen wir die ersten Ableitungen. Also f‘(x) = 4x³ - 2x, die eins fällt weg. Dann ist f‘(0) = 4 * 0³ - 2 * 0, ist 0. Und g‘(x) brauchen wir jetzt, die Ableitung von g, ist 2x. Jetzt setzen wir wieder an der Stelle x0 ein, also g‘(0) ist auch 0. Das heißt, die Tangente, die jetzt an diesem Berührpunkt liegt, hat keinen Anstieg, das heißt es entsteht eine konstante Funktion. Da wir wissen, dass wir wissen, dass sie auch noch durch diesen Punkt P(0, 1) gehen muss, ist es einfach die Funktion t(x) = 1, kann man ganz schnell nachrechnen. Also sie liegt konstant bei 1 und wir haben jetzt quasi gezeigt mit dieser Rechnung, dass sich diese beiden Funktionen f und g an der Stelle x0 = 0 berühren. Gleich werde ich euch noch ein zweites Beispiel zeigen.Wir wollen jetzt noch ein weiteres Beispiel zum Berührpunktproblem nachrechnen und da haben wir wieder zwei Funktionen gegeben. Einmal die Funktion f, die ist x² + 3x - 3, und die Funktion g(x) = -2x + 3. Und die Stelle x0 = 1. Ja, im ersten Schritt überprüfen wir wieder ob wir einen gemeinsamen Punkt haben. Also die Funktionswerte müssen jetzt gleich sein, also f(1) berechnen wir, das ist 1 + 3 - 3, also 1. Und g(1), -2 * 1 = -2, plus 3 ist auch 1. Also hier stimmen sie überein. Das heißt wir haben den gemeinsamen Punkt P(1, 1). So, jetzt die zweite Bedingung, die gemeinsame Tangente. Dafür brauchen wir die Ableitungen f‘(x) = 2x + 3 und dann ist f‘(1) = 2 * 1 + 3 = 5, dann die Ableitung von g ist -2, das heißt hier ist g‘(1) = -2. Und hier sind die Anstiege jetzt verschieden. Wenn wir uns das im Bild angucken, dann sehen wir, dass g ist ja eine lineare Funktion, und wenn g und f jetzt an der Stelle x0 einen Berührpunkt hätten, dann müsste g schon die Tangente an f sein. Aber g ist diese Tangente nicht und deswegen ist P zwar ein gemeinsamer Punkt, aber kein Berührpunkt. Also P ist kein Berührpunkt, aber dann Schnittpunkt.So zum Schluss möchte ich nochmal kurz zusammenfassen, was du heute gelernt hast: Wir haben uns angeguckt, wann sich zwei Funktionen an einer Stelle x0 berühren, dafür haben wir zwei Bedingungen formuliert. Einmal müssen sie einen gemeinsamen Punkt haben, also f(x0) = g(x0) und sie müssen eine gemeinsame Tangente haben an der Stelle x0, also f‘(x0) = g‘(x0). Und wir haben das für zwei Beispiele nachgerechnet, beim ersten Beispiel war der Punkt ein Berührpunkt, und beim zweiten Beispiel haben wir festgestellt, dass es kein Berührpunkt war. Ich hoffe du hast alles verstanden und auch Spaß dabei gehabt. Bis zum nächsten Video, deine Anne.

5 Kommentare
  1. Danke, hat mir total geholfen! Jetzt kann ich morgen beruhigt in meine Mathe-Klausur gehen kann. ; D

    Von Wibblywobblytimeywimey, vor mehr als einem Jahr
  2. Danke, sehr verständlich. Gut wäre immer noch eine schwierigere Aufgabe mit Rechenweg für uns Dummys.

    Von Haifischfrauen10, vor mehr als 4 Jahren
  3. @Ursusglinski:
    Es freut uns, dass dir das Video weitergeholfen hat. Die Gleichheitszeichen sind hier zur Verdeutlichung, dass die beiden Werte für die Steigung identisch sind. Rein formal sind die Zeichen hier nicht zu betrachten. Es soll dir lediglich eine Hilfestellung geben. Du kannst die Gleichheitszeichen auch gerne weglassen. Wir benutzen hier keinen Zeitraffer, damit auch Schüler, die nicht alles sofort verstehen, dem Video folgen können. Wir freuen uns, dass dir das Video gefallen und geholfen hat.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 4 Jahren
  4. Danke. Das hat mir geholfen :) Deine seltsamen senkrechten Gleichheitszeichen sind aber nicht wirklich für den unterricht und arbeiten bestimmt, oder? Vielleicht könntest du das schreiben, dass lange dauert etwas in den zeitraffer packen??!
    Gutes Video

    Von Juliane G., vor mehr als 4 Jahren
  5. ... , dass
    <3

    Von S Ghaleb, vor mehr als 4 Jahren

Berührpunktproblem – Berührung zweier Funktionen in einem Punkt zeigen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Berührpunktproblem – Berührung zweier Funktionen in einem Punkt zeigen kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zu dem Berührproblem.

    Tipps

    Wenn der Graph einer quadratischen Funktion einen Berührpunkt mit der x-Achse hat, so ist dieser der Scheitelpunkt der Funktion.

    Also ist dies im Falle einer nach oben geöffneten Parabel der tiefste Punkt und im Falle einer nach unten geöffneten Parabel der höchste Punkt.

    Der Punkt $P(x_0|y_0)$ ist ein Berührpunkt des roten und des blauen Funktionsgraphen.

    Lösung

    Der rote Funktionsgraph, eine Parabel, und der blaue, der Funktionsgraph zu einer kubischen Funktion, berühren sich in dem Punkt $P(x_0|y_0)$. In diesem Bild ist zu erkennen, dass

    • der Punkt ein gemeinsamer Punkt der beiden Funktionen sein muss, das heißt $f(x_0)=g(x_0)$. Diese Eigenschaft reicht noch nicht, denn damit wäre ja jeder Schnittpunkt ein Berührpunkt.
    • Es muss zusätzlich noch gelten, dass die beiden Funktionen in diesem Punkt eine gemeinsame Tangente haben. Da der Punkt bereits überein stimmt, muss also auch noch $f'(x_0)=g'(x_0)$ gelten.

  • Beschreibe die einzelnen Schritte zur Überprüfung, ob in $x_0=1$ ein Berührpunkt von $f(x)$ und $g(x)$ vorliegt.

    Tipps

    Die Überprüfung, ob an einer Stelle ein Berührpunkt vorliegt, besteht aus zwei Bedingungen. Es müssen beide Bedingungen erfüllt sein.

    Jeder Berührpunkt ist ein gemeinsamer Punkt, also ein Schnittpunkt. Es gibt aber auch gemeinsame Punkte, die keine Berührpunkte sind.

    Der lateinische Begriff für „berühren“ ist „tangere“.

    Lösung

    Es müssen 2 Bedingungen erfüllt sein, damit in $x_0=1$ ein Berührpunkt vorliegt:

    • $f(x_0)=g(x_0)$ und
    • $f'(x_0)=g'(x_0)$.
    Wenn eine der beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, liegt kein Berührpunkt vor.

    Zunächst wollen wir untersuchen, ob $f(x_0)=g(x_0)$ stimmt. Es gilt $f(1)=1^2+3\cdot1-3=1$ und $g(1)=-2\cdot 1+3=1$. Also ist $P(1|1)$ ein gemeinsamer Punkte von $f(x)$ und $g(x)$. Dies reicht noch nicht aus.

    Wir müssen auch noch überprüfen, ob $f'(x_0)=g'(x_0)$ gilt. Zunächst müssen die Ableitungen berechnet werden:

    • $f'(x)=2x+3$ und
    • $g'(x)=-2$. Da $g(x)$ eine lineare Funktion ist, ist die Ableitung konstant.
    Es gilt $f'(1)=2\cdot 1+3=5$, aber $g'(1)=-2$. Das heißt die Steigungen stimmen nicht überein.

    Damit ist gezeigt, dass $P(1|1)$ kein Berührpunkt ist.

  • Gib an, ob die beiden Funktionen in $x_0=0$ einen Berührpunkt haben.

    Tipps

    Nachzuweisen sind zwei Bedingungen.

    Wenn zwei Funktionen keinen gemeinsamen Punkt haben, können sie sicher auch keinen Berührpunkt haben.

    Der Begriff „Tangente“ kommt von „tangere“ [Latein] für „berühren“.

    Lösung

    Wenn zwei Funktionen über einen Berührpunkt verfügen, müssen diese beiden Funktionen

    • einen gemeinsamen Punkt haben. Anders ausgedrückt: Sie müssen an einer vorgegebenen Stelle $x_0$ den gleichen Funktionswert besitzen
    • und in diesem Punkt eine gemeinsame Tangente, das heißt die gleiche Steigung, haben.
    1. Es muss gelten $f(0)=g(0)$. Es ist $f(0)=0^4-0^2+1=1$ und $g(0)=0^2+1=1$. Diese Bedingung ist somit erfüllt. Der gemeinsame Punkt ist $P(0|1)$.
    2. Zur Berechnung des Anstiegs der Tangente, benötigt man die 1. Ableitung der betrachteten Funktion: $f'(x)=4x^3-2x$ sowie $g'(x)=2x$.
    3. Die Steigungen der beiden Funktionen an der Stelle $x_0$ müssen übereinstimmen: $f'(x_0)=g'(x_0)$. Dies ist gleichbedeutend damit, dass sie eine gemeinsame Tangente in dem Punkt $P(0|1)$ besitzen. $f'(0)=4\cdot0^3-2\cdot0=0$ und $g'(0)=2\cdot 0=0$.
    4. Der Punkt $P(0|1)$ ist also ein Berührpunkt von $f(x)$ und $g(x)$.

  • Gib die Gleichung der nach oben geöffneten Normalparabel an, die die Gerade $g(x)=2x+3$ im Punkt $P(-1|1)$ berührt.

    Tipps

    Da es sich um eine Normalparabel handelt, ist $a$ bereits festgelegt.

    Du benötigst die Ableitung der Funktion $f(x)$. Diese ist

    $f'(x)=2ax+b$.

    Die unbekannten Koeffizienten kannst du beim Ableiten wie konstante Faktoren oder, im Falle von c, konstante Summanden betrachten.

    Es gilt $f'(-1)=-2a+b$.

    Da der Punkt $P(-1|1)$ sowohl auf der Geraden als auch auf der Parabel liegt, gilt:

    $1=a(-1)^2+b\cdot(-1)+c$.

    Lösung

    Bei noch unbekannten Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ ist die Gerade $g(x)=2x+3$ eine Tangente an die Parabel zu $f(x)$ im Punkt $P(-1|1)$.

    Da es sich bei der Parabel um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt, ist $a=1$.

    Es muss also gelten:

    • $f(-1)=1$ und
    • $f'(-1)=2$, da $g(x)$ eine Gerade ist und die konstante Steigung $2$ hat.
    $f(-1)=1$ führt zu der Gleichung: $(-1)^2+b\cdot (-1)+c=1$. Dies ist äquivalent zu

    $\begin{align*} && 1-b+c&=1 &|& -1+b\\ &\Leftrightarrow& c&=b. \end{align*}$

    Für die folgende Rechnung wird noch die 1. Ableitung von $f(x)$ benötigt: $f'(x)=2x+b$.

    $f'(-1)=2$ führt zu der Gleichung $2\cdot(-1)+b=2$. Durch Addition von $2$ erhält man $b=4$ und damit auch $c=4$.

    Die gesuchte quadratische Funktion ist also $f(x)=x^2+4x+4$.

  • Berechne die Schnittpunkte der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$.

    Tipps

    Um Schnittpunkte zweier Funktionen zu berechnen, müssen die Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden.

    Die Funktion $h(x)=(x-1)^2$ hat die Nullstelle $x_N=1$. Da der Term $(x-1)$ quadriert wird, nennt man eine solche Nullstelle auch doppelte Nullstelle.

    Die zugehörige Parabel siehst du hier. Was fällt dir bei der Nullstelle auf?

    Es gibt 2 Schnittpunkte. Das heißt ein Schnittpunkt ist ein doppelter Schnittpunkt.

    Zwei x-Koordinaten sind identisch.

    Lösung

    Um die Schnittpunkte zweier Funktionen zu berechnen, werden die entsprechenden Funktionsgleichungen gleichgesetzt:

    $\begin{align*} && f(x)&=g(x)\\ &\Leftrightarrow& x^3+4x+1&=4x^2+1 &|& -4x^2-1\\ &\Leftrightarrow& x^3-4x^2+4x&=0. \end{align*}$

    Da kein Term ohne $x$ vorhanden ist, kann $x$ ausgeklammert werden:

    $x^3-4x^2+4x=x(x^2-4x+4)=0$.

    Damit die Gleichung erfüllt ist, muss entweder der eine Faktor $x_1=0$ oder der andere $x^2-4x+4=0$ sein. Zur Berechnung der Nullstellen des zweiten Faktors könnte man die p-q-Formel verwenden. Hier liegt jedoch die 2. binomische Formel vor. Das vereinfacht die Rechnung:

    $x^2-4x+4=(x-2)^2$.

    Also sind die weiteren Stellen $x_2=2$ und $x_3=2$. $x=2$ ist eine sogenannte doppelte Nullstelle.

    Die Schnittpunkte sind $S_1(0|1)$ sowie $S_2(2|17)$ und $S_3(2|17)$.

  • Untersuche, ob einer der Schnittpunkte der beiden Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ ein Berührpunkt ist.

    Tipps

    Zwei Funktionen berühren sich in einem Punkt $P(x_0|y_0)$

    1. wenn dieser ein gemeinsamer Punkt ist und
    2. wenn sie eine gemeinsame Tangente an dieser Stelle haben.

    Eine doppelte Nullstelle ist ein Tiefpunkt oder ein Hochpunkt. In beiden Fällen berührt die Funktion die x-Achse.

    Das ist zum Beispiel hier an der Parabel zu $h(x)=(x+2)^2$ zu erkennen.

    Ein doppelter Schnittpunkt ist ein Berührpunkt.

    Lösung

    Die Schnittpunkte wurden bereits in der vorherigen Aufgabe berechnet:

    $\begin{align*} && f(x)&=g(x)\\ &\Leftrightarrow& x^3+4x+1&=4x^2+1 &|& -4x^2-1\\ &\Leftrightarrow& x^3-4x^2+4x&=0 \\ &\Leftrightarrow& x(x^2-4x+4)&=0\\ &\Leftrightarrow& x(x-2)^2&=0. \end{align*}$

    Ein Term der Form $x(x-2)^2=0$ wird in der Mathematik als eine Faktorisierung bezeichnet. Liegt eine Funktion in der faktorisierten Form vor, so können die Nullstellen, hier die x-Koordinaten der Schnittpunkte, abgelesen werden.

    Die eine x-Koordinate ist $x_1=0$, sie ist eine einfache Schnittstelle. Die zweite x-Koordinate ist $x_2=x_3=2$, sie ist eine doppelte Schnittstelle. Wie bei den doppelten Nullstellen handelt es sich auch hier um einen Berührpunkt.

    Dies kann auch über die Bedingung belegt werden, dass die Funktionen eine gemeinsame Tangente in dem Punkt haben müssen, das heißt: $f'(x_0)=g'(x_0)$.

    Zunächst müssen die Ableitungen der Funktionen berechnet werden:

    • $f'(x)=3x^2+4$ und
    • $g'(x)=8x$.
    Schauen wir uns zunächst den Punkt $S_1(0|1)$ genauer an: $f'(0)=3\cdot 0^2+4=4\neq 0=g'(0)$. Hier liegt ein Schnittpunkt aber kein Berührpunkt vor.

    Richten wir nun unser Augenmerk auf den Punkt $S_2(2|17)$: $f'(2)=3\cdot 2^2+4=16=g'(2)$. Der Punkt $S_2$ ist also ein Berührpunkt.