Baumdiagramme – Einführung

Baumdiagramm – Definition

Wirfst du auch gern mal eine Münze, um eine Entscheidung zu treffen? Johnny Black jedenfalls macht das sehr oft. Er wirft gleich dreimal – nur wenn dreimal Zahl oben liegt, kann er sich zu einer Entscheidung durchringen.
Bei diesem Zufallsversuch gibt es insgesamt acht mögliche Ergebnisse. Woher wissen wir das? Das wird klar, wenn wir ein Baumdiagramm zeichnen. Aber was ist ein Baumdiagramm und wie zeichnet man es?

So zeigt ein Baumdiagramm beispielsweise alle möglichen Kombinationen von Kopf und Zahl auf, die bei Johnnys dreimaligem Münzwurf auftreten können. Dabei handelt es sich um ein dreistufiges Zufallsexperiment:

• In der ersten Stufe, also beim ersten Münzwurf, gibt es zwei Möglichkeiten: Kopf oder Zahl. Das sind unsere ersten zwei Äste.
• Von jedem dieser beiden Äste gehen nun in der zweiten Stufe wiederum zwei Äste aus, denn beim zweiten Münzwurf kann wieder entweder Kopf oder Zahl herauskommen – unabhängig davon, was vorher kam.
• In der dritten Stufe haben wir dann insgesamt acht weitere Äste und damit auch acht verschiedene Endergebnisse – das sind die Pfade des Baumdiagramms.

Wenn der Zufallsversuch noch um weitere Stufen wächst, verästelt sich das Diagramm immer weiter – wie ein Baum eben – deshalb heißt es Baumdiagramm.

Baumdiagramm – Funktion

Mit einem Baumdiagramm können wir zum einen die verschiedenen Möglichkeiten bzw. Kombinationen schnell erkennen, zum anderen können wir auch die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis leicht ausrechnen.
Ein Pfad, also ein Weg vom Start bis zu einem der Enden des Baumdiagramms, steht für ein Endergebnis des mehrstufigen Zufallsversuchs. Wir können die möglichen Kombinationen rechts neben jedes Endergebnis schreiben, indem wir den Pfad bis zu diesem Punkt durchlaufen. So steht beispielsweise die Kombination $ZZZ$ für das Endergebnis dreimal Zahl. Das schreiben wir ans Ende des Pfades, bei dem wir dreimal, also in jeder Stufe, zum Ergebnis Zahl abgezweigt sind.

Beim Münzwurf ist die Wahrscheinlichkeit für jeden Ast gleich, nämlich gleich $\frac{1}{2}$ für jeweils Kopf bzw. Sofa $\left( S \right)$ oder Zahl $\left( Z \right)$. Deswegen ist am Ende auch jeder Pfad gleich wahrscheinlich: Die Wahrscheinlichkeit für jedes Endergebnis beträgt $\frac{1}{8}$ bei drei Münzwürfen. Das siehst du im folgenden Baumdiagramm, in dem wir einmal alle Pfade des dreifachen Münzwurfs aufgezeichnet haben:

Die Wahrscheinlichkeit für jeden beliebigen Pfad beträgt $\frac{1}{8}$, denn es gilt immer:

$P(???) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$

Das gilt natürlich auch für die Wahrscheinlichkeit $P(ZZZ)$ für dreimal Zahl, die uns und Johnny Black besonders interessiert:

$P(ZZZ) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$

Den zugehörigen Pfad haben wir in folgender Abbildung einmal gesondert markiert:

Entsprechend muss die Wahrscheinlichkeit dafür, dass irgendein anderes Endergebnis als $ZZZ$ eintritt, $ \frac{7}{8}$ betragen. Das sehen wir auch, wenn wir die anderen sieben Pfade addieren:

$P(SSS) + P(SSZ) + P(SZS) + P(SZZ) + P(ZSS) + P(ZSZ) + P(ZZS) =$
$\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = 7 \cdot \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$

Das können wir auch über das Gegenereignis $\overline{P(ZZZ)}$ berechnen:

$\overline{P(ZZZ)} = 1 - P(ZZZ) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$

Baumdiagramm erstellen

Gehen wir nochmal genauer darauf ein, wie wir das Baumdiagramm im Fall von Johnnys dreimaligem Münzwurf erstellt haben:

• Eine Münze hat zwei Seiten: Kopf (bzw. in unserem Fall Sofa) und Zahl. Das kürzen wir mit $S$ und $Z$ ab.
• Beim ersten Wurf gibt es zwei Möglichkeiten: $S$ oder $Z$. Zu diesen beiden möglichen Ergebnisses ziehen wir die Äste der ersten Stufe unseres mehrstufigen Zufallsexperiments.
• Ausgehend von den beiden Ergebnissen der ersten Stufe ziehen wir wieder jeweils zwei Äste zu den möglichen Ergebnissen $S$ bzw. $Z$ der zweiten Stufe, also des zweiten Münzwurfs. Damit haben wir nun vier Pfade mit den Ergebnissen $SS$, $SZ$, $ZS$ und $ZZ$.
• In der dritten Stufe kommen zu jedem Pfad zwei weitere Äste hinzu. Nach dem dritten Münzwurf gibt es also acht Pfade bzw. acht Endergebnisse: $SSS$, $SSZ$, $SZS$, $SZZ$, $ZSS$, $ZSZ$, $ZZS$ und $ZZZ$.
• An die einzelnen Äste schreiben wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse der jeweiligen Stufe. Da sich die Wahrscheinlichkeit für Kopf oder Zahl beim wiederholten Münzwurf nicht ändert (und für beide Ergebnisse gleich ist), steht in diesem Fall überall die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$.
• Die Wahrscheinlichkeiten der Pfade schreiben wir ans Ende des jeweiligen Pfades. Im Fall des Münzwurfs haben alle Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit $\left( \frac{1}{8} \right)$, da Kopf und Zahl immer mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten und sich die Wahrscheinlichkeit eines Pfades aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten der jeweils zugehörigen Äste ergibt $\left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \right)$.

Prinzipiell kann zu jedem Zufallsexperiment ein Baumdiagramm erstellt werden, solange alle möglichen Ausgänge bekannt sind. Bei Zufallsexperimenten, bei denen ein einzelner Versuch mehr als zwei mögliche Ausgänge hat, kann das allerdings recht schnell kompliziert und unübersichtlich werden.

Baumdiagramm – Zufallsexperimente

Allgemein dienen Baumdiagramme dazu, mehrstufige Zufallsversuche (Zufallsexperimente) darzustellen. Das ist vor allem dann praktisch, wenn ein einzelnes Zufallsexperiment genau zwei Ausgänge hat, zum Beispiel Kopf oder Zahl bei einem einzelnen Münzwurf.
Auch das Ziehen von Kugeln aus einer Urne ist ein typisches Beispiel – insbesondere dann, wenn es nur zwei Sorten von Kugeln gibt (z. B. rot und blau) und wenn mit Zurücklegen gezogen wird. Wenn wir beispielsweise zweimal mit Zurücklegen ziehen, haben wir ein zweistufiges Zufallsexperiment, das wir folgendermaßen darstellen können:

In diesem Fall sind genauso viele rote $\left(r \right)$ wie blaue $\left(b \right)$ Kugeln in der Urne, deshalb sind die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ergebnisse $r$ und $b$ wieder jeweils gleich $\frac{1}{2}$, wie beim Münzwurf.

• In der ersten Stufe führt jeweils ein Ast zu den Ergebnissen rot $\left(r \right)$ und blau $\left(b \right)$.
• In der zweiten Stufe zweigt jeder Ast noch einmal zu den Ergebnissen rot $\left(r \right)$ und blau $\left(b \right)$ ab.
• An jeden Ast schreiben wir die Wahrscheinlichkeit, mit der das jeweilige Ergebnis $r$ oder $b$ eintritt, also jeweils $\frac{1}{2}$.
• Nach zwei Versuchen gibt es insgesamt vier Pfade. Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Pfad (also ein bestimmtes Endergebnis eintritt), beträgt jeweils $\frac{1}{4}$, denn es gilt:

$P(r,r) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2\,\cdot\,2} = \dfrac{1}{4}$

$P(r,b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2\,\cdot\,2} = \dfrac{1}{4}$

$P(b,r) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2\,\cdot\,2} = \dfrac{1}{4}$

$P(b,b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2\,\cdot\,2} = \dfrac{1}{4}$

Die vier möglichen Endergebnisse sind also: $\left(r,r \right)$, $\left(r,b \right)$, $\left(b,r \right)$ und $\left(b,b \right)$.
Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich von Ergebnis zu Ergebnis nicht, da die gezogene Kugel nach dem Ziehen immer wieder zurückgelegt wird und damit stets genauso viele rote wie blaue Kugeln in der Urne bleiben.

Beim Ziehen aus einer Urne mit mehr als zwei verschiedenen Sorten von Kugeln (oder auch beim Würfeln, wenn wir jede der sechs Augenzahlen als einzelne Ereignisse betrachten), gibt es natürlich mehr als nur zwei Ergebnisse pro Zufallsexperiment. Auch in solchen Fällen ist es möglich, alle Ergebnisse in einem Baumdiagramm darzustellen, allerdings wird das dann schnell recht unübersichtlich.
Betrachten wir beispielsweise das Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel, dann gibt es für den ersten Wurf sechs Möglichkeiten. Nach jedem der sechs Ergebnisse gibt es dann wieder sechs Möglichkeiten, also schon $36$ Kombinationen für den zweiten Wurf. Beim dritten Wurf wären es dann bereits $6^3$, also $216$ mögliche Endergebnisse. Wir kommen in solch einem Fall also schon mit wenigen Stufen zu sehr vielen Pfaden.

Dennoch gibt es beim Würfeln Fälle, für die ein Baumdiagramm sinnvoll und übersichtlich ist. Nämlich dann, wenn wir nur zwischen zwei verschiedenen Ergebnissen unterscheiden, z. B. gerade Zahl und ungerade Zahl oder Sechs und Nicht‑Sechs.

Im Fall von Sechs und Nicht‑Sechs ist zu beachten, dass diese beiden Ergebnisse nicht mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten:

• Die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln, beträgt genau $\frac{1}{6}$, da nur eine von sechs Zahlen auf dem Würfel eine Sechs ist.
• Die Wahrscheinlichkeit, keine Sechs zu würfeln, beträgt $\frac{5}{6}$, da fünf von sechs Zahlen auf dem Würfel keine Sechs sind.

Damit haben die beiden Äste eines einzelnen Versuch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten. Das führt dazu, dass auch die Pfade, also die Endergebnisse, mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten auftreten. Das sehen wir, wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Äste miteinander multiplizieren. Mithilfe der folgenden Abbildung können wir die Wahrscheinlichkeiten der Pfade berechnen.

$P(\bar{6},\bar{6}) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{5\,\cdot\,5}{6\,\cdot\,6} = \dfrac{25}{36}$

$P(\bar{6},6) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{5\,\cdot\,1}{6\,\cdot\,6} = \dfrac{5}{36}$

$P(6,\bar{6}) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{1\,\cdot\,5}{6\,\cdot\,6} = \dfrac{5}{36}$

$P(6,6) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{6\,\cdot\,6} = \dfrac{1}{36}$

Beachte: Es kann sein, dass uns beispielsweise das Ergebnis genau einmal eine Sechs interessiert. In diesem Fall ist es egal, ob wir die eine Sechs beim ersten oder beim zweiten Würfelwurf erzielen. Demnach führt sowohl der zweite als auch der dritte Pfad zum gewünschten Ergebnis.
Die Wahrscheinlichkeit für genau eine Sechs ergibt sich folglich aus der Summe des zweiten und dritten Pfades:

$P(\text{genau eine}~6) = P(\bar{6},6) + P(6,\bar{6}) = \dfrac{5}{36} + \dfrac{5}{36} = \dfrac{10}{36}$

Baumdiagramm – Pfadregel

Für das Rechnen mit den Wahrscheinlichkeiten der Äste und Pfade eines Baumdiagramms gibt es ein paar Rechenregeln, die wir hier unter dem Stichwort Pfadregel zusammenfassen.

Baumdiagramm – Produktregel

Die wichtigste Pfadregel ist die sogenannte Produktregel, auch Pfadmultiplikationsregel oder 1. Pfadregel genannt. Durch siekönnen die Wahrscheinlichkeiten der Endergebnisse eines Baumdiagramms berechnet werden.

Wir haben diese Regel bei unserem dreimaligen Münzwurf schon angewendet, als wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses dreimal Zahl hintereinander berechnet haben:

$P(ZZZ) = P(Z_1) \cdot P(Z_2) \cdot P(Z_3) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8}$

Die Produktregel gilt auch, wenn wir die Wahrscheinlichkeit bei nur zwei Münzwürfen berechnen wollen:

$P(ZZ) = P(Z_1) \cdot P(Z_2) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

In diesem Fall ist uns das Ergebnis des dritten Münzwurfs egal.

Auch bei Baumdiagrammen, bei denen nicht alle Äste bzw. Pfade die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, ist die Produktregel anwendbar. Das haben wir auch schon gesehen – bei unserem Beispiel mit dem Würfeln einer Sechs oder Nicht‑Sechs bei drei Würfen:

$P(\bar{6},\bar{6}) = P(\bar{6}) \cdot P(\bar{6}) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{5\,\cdot\,5}{6\,\cdot\,6} = \dfrac{25}{36}$

$P(\bar{6},6) = P(\bar{6}) \cdot P(6) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{5\,\cdot\,1}{6\,\cdot\,6} = \dfrac{5}{36}$

$P(6,\bar{6}) = P(6) \cdot P(\bar{6}) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{1\,\cdot\,5}{6\,\cdot\,6} = \dfrac{5}{36}$

$P(6,6) = P(6) \cdot P(6) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{6\,\cdot\,6} = \dfrac{1}{36}$

Baumdiagramm – Summenregel

Manchmal werden mehrere Endergebnisse zu einem Ereignis zusammengefasst. Beim Würfeln haben wir beispielsweise schon gesehen, dass sich das Ereignis genau einmal eine Sechs bei zwei Würfelwürfen aus den Endergebnissen $\left( 6,\bar{6} \right)$ und $\left( \bar{6},6 \right)$ zusammensetzt. Es kann also erst eine Sechs kommen und dann etwas anderes – oder umgekehrt.
Um die Gesamtwahrscheinlichkeit des Ereignisses genau einmal eine Sechs zu berechnen, wenden wir die Summenregel an. Diese wird auch Pfadadditionsregel oder 2. Pfadregel genannt.

Für unser Beispiel genau einmal eine Sechs bei zwei Würfelwürfen gilt demnach:

$P(\text{genau eine}~6) = P(\bar{6},6) + P(6,\bar{6}) = \dfrac{5}{36} + \dfrac{5}{36} = \dfrac{10}{36}$

Und auch den Münzwurf können wir so noch einmal genauer betrachten:
Wir hatten oben festgestellt, dass die Wahrscheinlichkeit für zweimal Zahl bei den ersten beiden Würfen genau $\frac{1}{4}$ beträgt, wobei wir den dritten Münzwurf einfach nicht beachtet hatten.
Aber betrachten wir nun wieder alle drei Münzwürfe und bzw. acht Pfade:

$P(SSS) = \dfrac{1}{8} \qquad \qquad P(SSZ) = \dfrac{1}{8}$

$P(SZS) = \dfrac{1}{8} \qquad \qquad P(SZZ) = \dfrac{1}{8}$

$P(ZSS) = \dfrac{1}{8} \qquad \qquad P(ZSZ) = \dfrac{1}{8}$

$P(ZZS) = \dfrac{1}{8} \qquad \qquad P(ZZZ) = \dfrac{1}{8}$

Die letzten beiden Ergebnisse $\left(ZZS \right)$ und $\left(ZZZ \right)$ erfüllen die Bedingung des Ereignisses zweimal Zahl bei den ersten beiden Würfen. Diese beiden müssen wir also laut der Summenregel addieren, wenn wir die Gesamtwahrscheinlichkeit des entsprechenden Ereignisses bei drei Münzwürfen berechnen wollen:

$P(\text{bei den ersten beiden Würfen Zahl}) = P(ZZS) + P(ZZZ) = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$

Sowohl die Produktregel als auch die Summenregel führen uns also hier zum richtigen Ergebnis.

Die Summenregel zeigt außerdem, dass die Summe aller Pfade die Wahrscheinlichkeit $1$ ergibt. In unserem Beispiel gilt:

$P(SSS) + P(SSZ) + P(SZS) + P(SZZ) + P(ZSS) + P(ZSZ) + P(ZZS) + P(ZZZ) =$
$\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$

Dieser Zusammenhang gilt für jedes Baumdiagramm.
Wenn wir Produktregel und Summenregel kombinieren, sehen wir außerdem, dass auch für die zweite Stufe des mehrstufigen Zufallsexperimentes gilt, dass alle Pfade (bis zu dieser Stufe) zusammen die Wahrscheinlichkeit $1$ ergeben:

$P(SS) + P(SZ) + P(ZS) + P(ZZ) =$
$\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{4} = 1$

Baumdiagramm – Aufgaben

Gehen wir nun noch einmal anhand einer Beispielaufgabe durch, wie man ein Baumdiagramm erstellt und die Pfadregeln anwendet:

Aus einer Urne mit zwei roten und zwei blauen Kugeln wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eine rote Kugel gezogen wird?

Hier haben wir ein zweistufiges Zufallsexperiment mit jeweils zwei möglichen Ausgängen – rot $\left( r \right)$ und blau $\left( r \right)$ – allerdings diesmal ohne Zurücklegen. Wir können trotz dieser kleinen Schwierigkeit ein Baumdiagramm aufstellen, wenn wir alles sauber durchdenken:

• Beim ersten Ziehen sind genauso viele rote wie blaue Kugeln in der Urne, also beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, eine der beiden Farben zu ziehen, jeweils $\frac{1}{2}$.
• Beim zweiten Ziehen sind nur noch drei Kugeln in der Urne. Welche das sind, hängt davon ab, welche Kugel wir zuvor gezogen haben.
• Haben wir zuerst eine rote Kugel gezogen, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, nun noch die zweite rote Kugel zu ziehen, $\frac{1}{3}$. Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine der beiden verbleibenden blauen Kugeln zu ziehen, beträgt hingegen $\frac{2}{3}$.
• Haben wir zuerst eine blaue Kugel gezogen, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, nun eine der beiden roten Kugeln zu ziehen, $\frac{2}{3}$. Die Wahrscheinlichkeit dafür,
  die verbleibende zweite blaue Kugel zu ziehen, beträgt hingegen $\frac{1}{3}$.

Damit können wir folgendes Baumdiagramm skizzieren:

Hier sind auch bereits die Wahrscheinlichkeiten der vier Pfade notiert. Diese können wir mit der Produktregel berechnen:

$P(r,r) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2\,\cdot\,3} = \dfrac{1}{6}$

$P(r,b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1\,\cdot\,2}{2\,\cdot\,3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

$P(b,r) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1\,\cdot\,2}{2\,\cdot\,3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$

$P(b,b) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2\,\cdot\,3} = \dfrac{1}{6}$

Nun können wir die Frage beantworten. Wir sehen im Baumdiagramm zwei Möglichkeiten, bei denen genau eine rote Kugel gezogen wird. Das sind die beiden mittleren Pfade. Gemäß der Summenregel müssen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser beiden Pfade addieren, um die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Ereignis genau eine rote Kugel zu erhalten:

$P(\text{genau einmal}~r) = P(r,b) + P(b,r) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, beim zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen aus der gegebenen Urne genau eine rote Kugel zu ziehen, beträgt also genau $\frac{2}{3}$.

Wahrscheinlichkeiten berechnen

Auch in der folgenden Beispielaufgabe geht es darum, eine bestimmte Wahrscheinlichkeit mithilfe eines Baumdiagramms zu berechnen. Versuch es doch selbst einmal und schau dir dann die Lösung an!

Häufig gestellte Fragen zum Thema Baumdiagramm