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Baumdiagramme 05:10 min

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Transkript Baumdiagramme

Hallo! Baumdiagramme ist für mathematische Verhältnisse ein relativ beliebtes Thema. Und zwar deshalb, weil man damit komplizierte Zufallsversuche sehr schön vereinfachen kann. Das können wir uns mal an einem konkreten Beispiel ansehen, nämlich am dreifachen Münzwurf. Die Ergebnisse beim dreifachen Münzwurf sind Tripel, zum Beispiel kann man Kopf, Kopf, Zahl werfen, das ist ein Tripel. Man kann auch Zahl, Zahl, Zahl werfen oder erst Kopf, dann Zahl und dann wieder Kopf. Und diesen Zufallsversuch können wir uns jetzt mal im Baumdiagramm ansehen. Wir haben einen Startpunkt beim Baumdiagramm und davon gehen zwei Äste ab. Wir können Kopf oder Zahl werfen beim ersten Münzwurf. Nachdem wir Kopf geworfen haben, können wir wieder Kopf oder Zahl werfen. Und nachdem wir Zahl geworfen haben, können wir auch beim zweiten Münzwurf Kopf oder Zahl werfen. Und so geht es hier weiter, wir haben ja noch einen dritten Münzwurf, da können wir auch wieder Kopf oder Zahl werfen, hier auch Kopf oder Zahl. Da ebenfalls Kopf oder Zahl. Und Kopf oder Zahl. So, und da ist unser Baumdiagramm schon fast fertig für den dreifachen Münzwurf. Es fehlen noch die Wahrscheinlichkeiten hier an den Ästen. Da, diese Dinge hier heißen Äste. Hier kommt die Wahrscheinlichkeit ½ dran, weil beim einfachen Münzwurf die Wahrscheinlichkeit für Kopf = ½ ist. Und da auch. Hier kommen auch wieder die Wahrscheinlichkeiten für den einfachen Münzwurf dran. Also wieder ½ für Kopf, ½ für Zahl. Ja, und so geht das jetzt weiter. Und das führe ich jetzt nur mal eben schnell zu Ende. Und damit ist unser Baumdiagramm für den dreifachen Münzwurf fertig. Zugegeben, ein Baum wäre eigentlich schöner, wenn er so rum stehen würde, aber so zeichnet man diese Baumdiagramme meistens. Na ja, hat sich halt so eingebürgert. Es gibt jetzt noch ein klitzekleines Problem bei diesen Baumdiagrammen, was wir uns mal am Beispiel des zweifachen Würfelns ansehen können, da habe ich mal ein Baumdiagramm zu gemalt. Und das sieht so aus: Wir haben hier sechs Möglichkeiten beim ersten Mal würfeln und jeweils weitere sechs Möglichkeiten beim zweiten Mal würfeln. Und wenn man das so aufmalt, ja dann wird man irgendwann ganz schön tütelig. So geht es nicht! Oft interessiert uns ja beim Würfeln nicht jedes einzelne Ergebnis, sondern uns interessiert zum Beispiel, ob wir eine Sechs haben oder nicht. Und dann kann man dieses Baumdiagramm sehr schön vereinfachen und das können wir uns mal ansehen. Wir können beim ersten Mal würfeln eine Sechs würfeln. Wir können aber auch eine andere Zahl würfeln und das bezeichnet man mit Sechs/Quer oder Sechs/Komplement oder Nicht-Sechs. Beim zweiten Mal würfeln können wir, wenn wir eine Sechs gewürfelt haben, wieder eine Sechs würfeln oder eben eine andere Zahl als Sechs würfeln. Und das geht hier auch. Wenn wir eine andere Zahl als Sechs gewürfelt haben, können wir eine Sechs würfeln oder auch eine andere Zahl. Dann müssen wir hier an die Äste noch die Wahrscheinlichkeiten dran schreiben. Die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln ist bei dem einfachen Würfeln 1/6. Die Wahrscheinlichkeit keine Sechs zu werfen ist 5/6. Und hier schreiben wir wieder die Wahrscheinlichkeit hin, die man beim einfachen Werfen des Würfels für eine Sechs hat, die ist 1/6 und auch die Wahrscheinlichkeit für eine andere Zahl, die ist 5/6, hier wieder 1/6 und 5/6. So. Und damit ist das Baumdiagramm fertig. Du siehst, es ist viel einfacher geworden als das, was du gerade gesehen hast. So kann mal also diesen zweistufigen Zufallsversuch sehr schön darstellen. Wir werden dann noch sehen, wie man Wahrscheinlichkeiten berechnen kann in diesem Baumdiagramm, wie man Ereignisse bilden kann, also man kann da alles Mögliche mit machen, außer vielleicht Pferde stehlen! Aber gut, hier sind wir erst mal fertig. Viel Spaß damit, tschüs.

23 Kommentare
  1. Default

    Danke, das Video hat mir sehr geholfen! : ) Ich konnte die davor nicht. Danke ;-)

    Von Young Kunai, vor etwa 2 Monaten
  2. Default

    Gutes Video

    Von Vanessa Ploy, vor 3 Monaten
  3. Default

    also so habe ich es gelernt
    ;)

    Von Mousaalbakour 1975, vor 4 Monaten
  4. Default

    sind die äste nicht eig so :
    / I \

    Von Mousaalbakour 1975, vor 4 Monaten
  5. Re

    Danach! Alle perfekt verstanden ;D

    Von Jonas H., vor 8 Monaten
  1. Default

    Pferde stehlen?

    Von Sabryshaer, vor 9 Monaten
  2. Default

    Awesome

    Von Jonathan B., vor 9 Monaten
  3. Karsten

    @Hxnnxh,

    ja, Pfade und Äste bedeuten das selbe.

    Von Karsten Schedemann, vor fast 2 Jahren
  4. 702fba78 e259 43ae 93a4 d86e8922b0df

    Sind Pfade und Äste das gleiche?

    Von Hxnnxh, vor fast 2 Jahren
  5. Flyer wabnik

    Die Erkenntnis aus den dargebotenen Antwortmöglichkeiten könnte sein: Ein Baumdiagramm kann alles, was im Zusammenhang eines Zufallsversuchs mathematisch relevant ist, denn um zu beantworten, was ein Baumdiagramm nicht kann, muss man schon auf unsinnige Möglichkeiten wie die des Kaffeekocchens ausweichen.

    Von Martin Wabnik, vor etwa 2 Jahren
  6. Cabron

    war sehr hilfreich aber die Aufgabe wo die meisten auch schon ihre Meinung dazu gegeben haben find ich auch das die nicht wirklich herausfordernd war

    Von Maximilian T., vor etwa 2 Jahren
  7. Default

    toll

    Von Emma H., vor etwa 2 Jahren
  8. Default

    Megabyte Video

    !!!@!!!

    Von Dietrich K., vor mehr als 2 Jahren
  9. Default

    Tolles video

    Von Deleted User 309121, vor etwa 3 Jahren
  10. Default

    Da muss ich Lucum recht geben . Warum nimmt man da so eine Quatschfrage ?

    Von Der Mü, vor etwa 3 Jahren
  11. Default

    Das Video war super nur die darauffolgende Übung lies zu wünschen übrig

    Von Lucm, vor mehr als 3 Jahren
  12. Felix

    @Sylvio S.: Die Wahrscheinlichkeit für einen Pfad kannst du mit Hilfe der Pfadregel bestimmen. Dazu multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade. Willst du also du Wahrscheinlichkeit für KKK berechnen, rechnest du
    1/2*1/2*1/2=1/8.
    Willst du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnen, musst du Summenregel anwenden, indem du die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Pfade addierst.
    Ein Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit nur Kopf (KKK) oder nur Zahl (ZZZ) zu werfen, ist gerade
    P(KKK)+P(ZZZ)=1/8+1/8=2/8=1/4.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor fast 4 Jahren
  13. Image

    ich glaube die wahrscheinlichkeit von z.B. KKK ist 1/6 weil du 6 Möglichkeiten hast... (:

    Von Nike & Finn S., vor fast 4 Jahren
  14. Simplefilm lernen

    Nun, ich habe eine Frage.
    Wie bekomme ich nun heraus, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, KKK, ZZZ, KKZ, ZZK, KZK, ZKZ zu bekommen. Würde ich die zum Ergebnis gehörenden Pfade addieren, würde ich ja auf 1,5 kommen. Das kann ja nicht sein.?

    Von Sylvio S., vor fast 4 Jahren
  15. Default

    Sehr hilfreich!

    Von Fieser Furz2, vor etwa 4 Jahren
  16. Default

    Gutes Video,aber warum Pferde stehlen?!?

    Von Andi352001, vor mehr als 4 Jahren
  17. P1020068

    gutes vidio

    Von Tom M., vor mehr als 4 Jahren
  18. Default

    Danke, hat mir sehr geholfen.

    Von Krull Josef, vor mehr als 4 Jahren
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Baumdiagramme und Pfadregel (2 Videos)

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Baumdiagramme Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Baumdiagramme kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wofür man ein Baumdiagramm verwenden kann.

    Tipps

    Im ersten Durchgang kannst du entweder „Kopf“ oder „Zahl“ werfen. Dann kommt der nächste Durchgang ...

    Ein Tripel ist ähnlich wie ein Paar ein Element mit mehreren Objekten:

    • Ein Paar hat zwei Objekte.
    • Ein Tripel hat drei Objekte.

    Wenn du eine Münze einmal wirfst, handelt es sich um einen einstufigen Zufallsversuch. Wirfst du eine Münze mehrmals, spricht man von einem mehrstufigen Zufallsversuch.

    Lösung

    Baumdiagramme werden verwendet, um mehrstufige Zufallsversuche und deren Ergebnisse darzustellen.

    Sei zum Beispiel der Zufallsversuch das dreifache Werfen einer Münze.

    Die Ergebnisse sind Tripel, also Elemente, welche drei Objekte haben. Diese Tripel stehen immer am Ende eines Pfades des Baumdiagramms. Dabei steht „K“ für „Kopf“ und „Z“ für „Zahl“.

    Schauen wir uns dies einmal an:

    • Der oberste Pfad führt über „Kopf“ im ersten Versuch und „Kopf“ im zweiten Versuch zu „Kopf“ im dritten Versuch. Dies führt zu dem Tripel $($K,K,K$)$.
    • Ebenso kannst du von oben nach unten die weiteren Tripel aufschreiben: $($K,K,Z$)$, $($K,Z,K$)$, $($K,Z,Z$)$, $($Z,K,K$)$, $($Z,K,Z$)$, $($Z,Z,K$)$, $($Z,Z,Z$)$
    Mit Hilfe des Baumdiagramms wirst du ein Tripel nicht so schnell vergessen.

    Du siehst die Zahlen, welche an jedem Ast des Baumes stehen. Dies sind Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Werfen einer Münze „Kopf“ zu werfen, beträgt $\frac12$. Die gleiche Wahrscheinlichkeit ist gegeben für das Werfen von „Zahl“.

    Mit Hilfe eines Baumdiagramms kannst du also Ereignisse besser erkennen und Wahrscheinlichkeiten leichter berechnen.

  • Gib an, zu welchem Zufallsversuch das dargestellte Baumdiagramm gehört.

    Tipps

    Schaue dir an, wie viele Äste zu einem Pfad gehören.

    Daran erkennst, wie oft der Zufallsversuch durchgeführt wird.

    Bei einer Münze sind, egal was auf den beiden Seiten steht, die Wahrscheinlichkeiten für beide Seiten immer gleich groß, nämlich $\frac12$.

    An den Ästen, die zu einem Ergebnis führen, werden immer die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten notiert.

    Lösung

    Jeweils zwei Äste dieses Baumes bilden einen Pfad. Das bedeutet auf jeden Fall schon einmal, dass durch diesen Baum ein zweistufiger Zufallsversuch dargestellt wird.

    Schauen wir uns die Wahrscheinlichkeiten an: Sie lassen wegen des Nenners auf einen Würfel schließen. Natürlich könnte es sich auch um eine Urne handeln, in der sich ein Vielfaches von $6$ Kugeln befinden.

    Beim Würfeln geht es - das kannst du an den Ergebnissen erkennen - darum, ob eine $6$ gewürfelt wird. Die Wahrscheinlichkeit beträgt $\frac16$. Keine $6$ zu würfeln tritt mit der Wahrscheinlichkeit $\frac56$ ein.

    Wird das Ergebnis „gerade Augenzahl“ betrachtet, stimmen weder die Bezeichnungen der Ergebnisse noch die Wahrscheinlichkeiten.

    Dieses Baumdiagramm könnte auch zu dem Zufallsversuch „Zweimaliges Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen“ gehören: In der Urne befinden sich $30$ Kugeln. Auf fünf von diesen Kugeln steht die Zahl $6$, auf den übrigen $24$ irgendeine andere Zahl.

    Bei den obigen Auswahlmöglichkeiten ist ausschließlich diese richtig:

    Zweimaliges Werfen eines Würfels: Es wird untersucht, ob eine $6$ gewürfelt wurde.

  • Benenne die Grenzen und Alternativen des Baumdiagramms.

    Tipps

    Ein nicht komplett gezeichneter Baum wird auch als „reduzierter Baum“ bezeichnet.

    Hier siehst du ein Beispiel für ein solches Baumdiagramm.

    Wenn du den Zufallsversuch „Zweimaliges Werfen eines Würfels“ komplett als Baum darstellst, erhältst du insgesamt $6\cdot6=36$ Pfade.

    Stelle dir mal vor, der Würfel wird dreimal geworfen: Dies führt zu $6^3=216$ Pfaden.

    Wahrscheinlichkeiten liegen immer zwischen

    • $P(\emptyset)=0$ (der Wahrscheinlichkeit für das unmögliche Ereignis) und
    • $P(\Omega)=1$ (der Wahrscheinlichkeit für das sichere Ereignis).
    Lösung

    Wenn du den Zufallsversuch „Zweimaliges Werfen eines Würfels“ betrachtest und alle möglichen Pfade aufzeichnest, wirst du feststellen: Das dauert ganz schön lange und wird auch recht unübersichtlich!

    Es gibt immerhin $6\cdot 6=36$ solcher Pfade.

    Du kannst dir nun die Fragestellung genauer anschauen: Worum geht es? Ist vielleicht danach gefragt, ob eine $6$ gewürfelt wird? Wenn keine $6$ gewürfelt wird, ist es egal, ob eine $1$, $2$, $3$, $4$ oder $5$ vorliegt. Alle Würfe, die keine $6$ enthalten, werden zusammengefasst zu $\bar 6$. Dies liest du als „Komplementärereignis von $6$“ oder „Gegenereignis von $6$“ oder „nicht $6$“.

    Nun musst du noch die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnen und kannst dann das Baumdiagramm erstellen. Solch ein Baumdiagramm wird auch als „reduziertes Baumdiagramm“ oder „reduzierter Baum“ bezeichnet.

    Die Wahrscheinlichkeit, eine $6$ zu würfeln, beträgt $\frac16$ und die, nicht die $6$ zu würfeln, $\frac56$.

    Das zugehörige Baumdiagramm kannst du hier sehen.

  • Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse.

    Tipps

    Die vier Wahrscheinlichkeiten müssen sich zu $1$ addieren.

    Hier siehst du den Weg, wie du zu $P($R,R$)$ kommst:

    $P($R,R$)=\frac25\cdot \frac14$

    Jede Wahrscheinlichkeit lässt sich als ein Bruch mit dem Zähler $10$ schreiben, ist also eine Dezimalzahl mit einer Nachkommastelle.

    Lösung

    Die 1. Pfadregel (Produktregel oder Pfadmultiplikationsregel) besagt, dass du zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu diesem Ergebnis führt, multiplizierst.

    Das üben wir einmal anhand der Abbildung. Du siehst hier ein Baumdiagramm. Aus diesem kannst du die sogenannten Pfadwahrscheinlichkeiten entnehmen. Wir erhalten dann:

    • $P($G,G$)=\frac35\cdot \frac12=\frac3{10}=0,3$
    • $P($G,R$)=\frac35\cdot \frac12=\frac3{10}=0,3$
    • $P($R,G$)=\frac25\cdot \frac34=\frac6{20}=\frac3{10}=0,3$
    • $P($R,R$)=\frac25\cdot \frac14=\frac2{20}=\frac1{10}=0,1$
  • Ergänze das Baumdiagramm um die verschiedenen Ergebnisse.

    Tipps

    Schreibe die jeweiligen Buchstaben groß, wie auch die bereits eingetragenen Buchstaben.

    Das Tripel am Ende eines Pfades erhältst du, indem die Ergebnisse entlang des Pfades notiert werden.

    Schauen wir uns den obersten Pfad an: Der erste Ast führt zu R, der nächste wieder zu R und auch der letzte zu R. Das „Ergebnistripel“ ist also $($R,R,R$)$.

    Ein Baumdiagramm ist immer so aufgebaut:

    • Zeichne Zweige zu den möglichen Ergebnissen des einstufigen Zufallsexperimentes: hier R oder G.
    • Zeichne von jedem dieser Ergebnisse wiederum Zweige zu den möglichen Ergebnissen des einstufigen Zufallsexperimentes.
    • Dies wiederholst du, je nachdem wie häufig der Zufallsversuch durchgeführt wird.
    Lösung

    Ein Baumdiagramm ist folgendermaßen aufgebaut:

    • Zeichne Zweige zu den möglichen Ergebnissen des einstufigen Zufallsexperimentes: hier R oder G.
    • Zeichne von jedem dieser Ergebnisse wiederum Zweige zu den möglichen Ergebnissen des einstufigen Zufallsexperimentes.
    • Dies wiederholst du, je nachdem wie häufig der mehrstufige Zufallsversuch durchgeführt wird.
    Hier siehst du das komplette Baumdiagramm. Die ergänzten Ergebnisse sind jeweils eingekreist. Wir schauen uns die Pfade - sofern in diesen eine Lücke war - von oben nach unten an:

    • Zweiter Pfad: Dieser verläuft über R und R und G und gehört also zu dem Tripel $($R,R,G$)$.
    • Dritter Pfad: Da in den oberen beiden Pfaden an zweiter Stufe bereits R eingetragen ist, gehört als zweites Element hier sowohl im Baumdiagramm als auch im Tripel das Element G.
    • Fünfter Pfad: Da das „Ergebnistripel“ $($G,R,R$)$ lautet, gehört als zweites Element R dorthin.
    • Sechster Pfad: Das „Ergebnistripel“ wird über den Ast zu G, dann zu R und zuletzt zu G erreicht. Es lautet somit $($G,R,G$)$.
    • Achter Pfad: Hier bleibt jeweils nur das Ergebnis G übrig, welches eingetragen werden kann.
  • Untersuche das Baumdiagramm auf Fehler.

    Tipps

    Beachte: Die bereits gezogene Kugel wird nicht wieder zurückgelegt.

    Das bedeutet: Nach dem ersten Zug befinden sich nur noch vier Kugeln in der Urne.

    Das dargestellte Baumdiagramm hätte bei einem Urnenmodell mit Zurücklegen vier Fehler weniger.

    Die Ergebnisse des zweistufigen Zufallsversuchs sind Paare.

    Jedes Ergebnispaar wird in der Reihenfolge aufgeschrieben, wie die Kugeln gezogen wurden: Links steht die zuerst gezogene Kugel und rechts die zuletzt gezogene.

    Paul hat sieben Fehler gemacht: Da muss er noch ein bisschen üben.

    Lösung

    Hier ist das korrekte Baumdiagramm zu sehen.

    Die jeweiligen Ergebnisse hat Paul schon einmal richtig in das Baumdiagramm eingetragen. Das Baumdiagramm sieht auch sehr schön aus.

    Leider hat er nicht darauf geachtet, dass die jeweils gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird. Daraus folgt, dass sich die Wahrscheinlichkeiten im zweiten Zug verändern: je nach Ausgang im ersten Zug.

    Es befinden sich im zweiten Zug also nur noch vier Kugeln in der Urne:

    • Wurde im ersten Zug eine grüne Kugel gezogen, bleiben zwei grüne und zwei rote Kugeln übrig. Die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten sind $\frac24=\frac12$.
    • Wurde im ersten Zug eine rote Kugel gezogen, bleiben drei grüne und eine rote Kugel übrig. Somit ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten $\frac34$ für grün und $\frac14$ für rot.
    Der arme Paul: Wenn die Kugeln zurückgelegt worden wären, wären die Wahrscheinlichkeiten alle richtig. Achte also immer darauf, ob ein Modell mit oder ohne Zurücklegen vorliegt.

    Paul hat aber noch drei weitere Fehler gemacht:

    • Die Ergebnisse von zweistufigen Zufallsversuchen sind Paare und nicht Tripel. Ganz oben rechts gehört somit $($G,G$)$ hin.
    • Wichtig ist auch, dass die Ergebnispaare in der Reihenfolge aufgeschrieben werden, in welcher die Kugeln gezogen wurden. Damit lautet das Ergebnis am Ende des zweiten Pfades $($G,R$)$ und nicht umgekehrt $($R,G$)$. Dies gilt ebenso für den dritten Pfad.