Quadratische Gleichungen – Überblick

Quadratische Gleichungen – Überblick Übung

• Gib die allgemeine Form und die Normalform quadratischer Gleichungen an.

  Tipps

  Eine quadratische Gleichung hat immer ein quadratisches Glied.

  Folgendes gilt für die Exponenten der Variablen der jeweiligen Glieder:

  • Die Variable des absoluten Gliedes hat den Exponenten $0$.
  • Die Variable des linearen Gliedes hat den Exponenten $1$.
  • Die Variable des quadratischen Gliedes hat den Exponenten $2$.

  In der Normalform ist der Koeffizient des quadratischen Gliedes gleich $1$.

  Wenn eine Variable den Exponenten $0$ hat, dann steht sie nach Definition für $1$.
  So gilt beispielsweise $x^0 = 1$.
  Das ist immer so, egal, um welche Variable es geht. Deshalb ist die Variable des absoluten Gliedes nicht sichtbar. Sie steht als unsichtbare $\cdot 1$ hinter dem $c$ beziehungsweise $q$ in der Gleichung.

  Lösung

  Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der der höchste Exponent der Variablen (zum Beispiel $x$) die $2$ ist. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet:

  $ax^2+bx+c=0$

  Dabei sind die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ beliebige, aber feste Zahlen. Für den Koeffizienten $a$ gilt außerdem $a\neq 0$. Das heißt, dass der Koeffizient $a$ nicht gleich $0$ sein darf, denn anderenfalls gäbe es das quadratische Glied ja gar nicht.

  Da $a$ nicht $0$ sein darf, können wir beide Seiten der Gleichung durch $a$ teilen. Dann erhalten wir:

  $x^2+\frac ba x+ \frac ca =0$

  Ersetzen wir den Koeffizienten $\frac ba$ des linearen Gliedes druch $p$ und den Koeffizienten $\frac ca$ des absoluten Gliedes durch $q$, erhalten wir die Normalform:

  $x^2+px+q=0$

  Dabei sind die Koeffizienten $p$ und $q$ beliebige, aber feste Zahlen. In der Normalform ist der Koeffizient des quadratischen Gliedes immer gleich $1$.

• Bestimme, welche der gegebenen Gleichungen eine reinquadratische Gleichung ist.

  Tipps

  Eine reinquadratische Gleichung besitzt kein lineares Glied.

  Im Folgenden ist eine lineare Gleichung gegeben:

  $3x-6=0$

  Eine reinquadratische Gleichung besitzt entweder nur ein quadratisches Glied oder ein quadratisches und absolutes Glied.

  Folgende Gleichungen sind reinquadratisch:

  $x^2-16=0$ und $x^2=0$

  Lösung

  Eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form $ax^2+bx+c=0$ ist genau dann reinquadratisch, wenn Folgendes gilt:

  • $a\neq 0$
  • $b=0$ und
  • $c\in \mathbb{R}$.

  Der Koeffizient $c$ des absoluten Gliedes ist eine beliebige Zahl und kann auch gleich null sein.

  Für die Normalform $x^2+px+q=0$ gilt dann:

  • $p=0$ und
  • $q\in \mathbb{R}$.

  Der Koeffizient $q$ des absoluten Gliedes ist hier ebenfalls eine beliebige Zahl und kann gleich null sein.

  Somit sind folgende Gleichungen reinquadratisch:

  • $ax^2+c=0$
  • $ax^2=0$
  • $x^2+q=0$

• Erkläre das Vorgehen beim Lösen einer quadratischen Gleichung in Normalform.

  Tipps

  Die Diskriminante der Mitternachtsformel lautet $b^2-4ac$.

  Die Gleichung $f(x)=0$ für die hier abgebildete Parabel liefert eine Diskriminante mit $D=0$.

  Hinter dem $\mathbb{L}$ stehen in den geschweiften Klammern die Lösungen der Gleichung. Die einzelnen Lösungen werden durch Strichpunkte (Semikolons) voneinander getrennt.
  Wenn die Klammer leer ist, dann gibt es keine Lösung.

  Lösung

  Möchtest du eine quadratische Gleichung in Normalform lösen, so verwendest du die pq-Formel. Diese lautet:

  $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

  Der Ausdruck unter der Wurzel ist die Diskriminante. Für die Diskriminante $D=$$\left(\frac p2\right)^2-q$ gelten folgende Zusammenhänge:

  • $D>0$: Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, also ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x_1;\ x_2\}$.
  • $D=0$: Die quadratische Gleichung hat eine Lösung, also ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x_1\}$.
  • $D<0$: Die quadratische Gleichung hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{\}$.

• Ermittle, was für die jeweilige Diskriminante zutrifft.

  Tipps

  Eine quadratische Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ hat für $\left(\frac p2\right)^2-q>0$ zwei Lösungen.

  Die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ hat die Diskriminante $\left(\frac p2\right)^2-q$.

  Lösung

  Die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ entsprechen den Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2+px+q$. Diese kannst du mit der pq-Formel berechnen. Dann erhältst du:

  $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

  Der Ausdruck $\left(\frac p2\right)^2-q$ unter der Wurzel ist die Diskriminante. Diese kann größer, gleich oder kleiner null sein. Folgende Zusammenhänge gelten für die Diskriminante:

  • $D>0$: Die Quadratische Gleichung hat zwei Lösungen.
  • $D=0$: Die Quadratische Gleichung hat eine Lösung.
  • $D<0$: Die Quadratische Gleichung hat keine Lösung.

  Für die Diskriminanten der gegebenen Parabeln gilt dann Folgendes:

  • Parabel 1 hat eine Nullstelle und somit gilt $D=0$.
  • Parabel 2 hat zwei Nullstellen und somit gilt $D>0$.
  • Parabel 3 hat zwei Nullstellen und somit gilt $D>0$.
  • Parabel 4 hat keine Nullstelle und somit gilt $D<0$.

• Beschreibe die einzelnen Terme der allgemeinen Form quadratischer Gleichungen.

  Tipps

  Die Variable im absoluten Glied hat den Exponenten $0$.

  In der Normalform $x^2+px+q=0$ hat das quadratische Glied den Koeffizienten $1$.

  Lösung

  Die allgemeine Form quadratischer Gleichungen lautet $ax^2+bx+c=0$.
  Dabei sind die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ beliebige, aber feste Zahlen. Für den Koeffizienten $a$ gilt zudem $a\neq 0$. Diese Gleichung setzt sich aus folgenden Gliedern zusammen:

  • quadratisches Glied: $~ ax^2$
  • lineares Glied: $~ bx$
  • absolutes Glied: $~ c$

• Bestimme die Anzahl der Nullstellen der gegebenen Funktionen.

  Tipps

  Ist die quadratische Funktion in der Normalform $f(x)=x^2+px+q$ gegeben, so kannst du mittels pq-Formel die Nullstellen bestimmen. Die Information zu der Anzahl der Nullstellen liefert dir bereits die Diskriminante.

  Ist die quadratische Funktion in der:

  • Normalform $f(x)=x^2+px+q$ gegeben, löst du die Gleichung $f(x)=0$ mittels der pq-Formel $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  • allgemeinen Form $f(x)=ax^2+bx+c$ gegeben, löst du die Gleichung $f(x)=0$ mittels der Mitternachtsformel $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Du kannst die Gleichung aber auch in die Normalform bringen, indem du sie durch $a$ teilst, und dann die pq-Formel anwenden.

  Folgende Zusammenhänge gelten für die Diskriminante:

  • $D>0$: zwei Nullstellen
  • $D=0$: eine Nullstelle
  • $D<0$: keine Nullstelle

  Lösung

  Es sind vier quadratische Funktionen gegeben. Davon liegen zwei in der allgemeinen Form und zwei in der Normalform vor. Ist die quadratische Funktion in der:

  • Normalform $f(x)=x^2+px+q$ gegeben, löst du die Gleichung $f(x)=0$ mittels der pq-Formel $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

  • allgemeinen Form $f(x)=ax^2+bx+c$ gegeben, löst du die Gleichung $f(x)=0$ mittels der Mitternachtsformel $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Du kannst die Gleichung aber auch in die Normalform bringen, indem du sie durch $a$ teilst, und dann die pq-Formel anwenden. So musst du dir nur eine Formel merken.

  Im Folgenden verwenden wir pq-Formel und Mitternachtsformel.
  Die Information bezüglich der Anzahl der Nullstellen liefert bereits die jeweilige Diskriminante:

  • $\left(\frac p2\right)^2-q$ oder
  • $b^2-4ac$.

  Dabei gelten diese Zusammenhänge:

  • $D>0$: zwei Nullstellen
  • $D=0$: eine Nullstelle
  • $D<0$: keine Nullstelle

  Für die gegebenen Beispiele bestimmen wir nun die jeweiligen Diskriminanten:

  Beispiel 1: $f(x)=x^2+4x-5$

  Wir betrachten hier die Gleichung $x^2+4x-5=0$. Da diese in der Normalform vorliegt, erhalten wir folgende Diskriminante:

  $\left(\frac p2\right)^2-q=\left(\frac 42\right)^2-(-5)=4+5=9>0$

  Somit hat diese Funktion zwei Nullstellen.

  Beispiel 2: $f(x)=2x^2+8x+8$

  Wir betrachten hier die Gleichung $2x^2+8x+8=0$. Da diese in der allgemeinen Form vorliegt, erhalten wir folgende Diskriminante:

  $b^2-4ac=8^2-4\cdot 2\cdot 8=64-64=0$

  Somit hat diese Funktion eine Nullstelle.

  Beispiel 3: $f(x)=2x^2+4x+6$

  Die Gleichung $2x^2+4x+6=0$ ist in der allgemeinen Form gegeben. Die Diskriminante lautet:

  $b^2-4ac=4^2-4\cdot 2\cdot 6=16-48=-32<0$

  Somit hat diese Funktion keine Nullstelle.

  Beispiel 4: $f(x)=x^2+8x+7$

  Die Gleichung $x^2+8x+7=0$ liegt in der Normalform vor und wir erhalten die Diskriminante:

  $\left(\frac p2\right)^2-q=\left(\frac 82\right)^2-7=16-7=9>0$

  Somit hat diese Funktion zwei Nullstellen.