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Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Lokale Extremwerte ohne Nebenbedingungen – Übungen

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Dem Bestimmen von Extremwerten kommt in der Analysis eine sehr zentrale Bedeutung zu. Dabei musst du zunächst ein notwendiges Kriterium untersuchen (1. Ableitung gleich 0) und dann ein hinreichendes (2. Ableitung ungleich 0). Auch bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen gibt es diese Kriterien. Hier müssen die partiellen Ableitungen erster Ordnung jeweils 0 sein. Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung müssen die Eigenschaft erfüllen, dass f_xy und f_yx auch 0 sind. Dann reicht die Untersuchung des Vorzeichens von f_xx und f_yy. Ich wünsche dir viel Spaß mit dem Video. Bis bald, Frank.

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Aufgaben in dieser Übung
Gib das notwendige sowie das hinreichende Kriterium für Extrema bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen an.
Bestimme die Extrema der Funktion.
Leite die Funktion $f(x;y)=\frac12x^2-2y^2$ zweimal ab.
Untersuche die Funktion auf Extrema.
Gib die partiellen Ableitungen der Funktion $f(x;y)=\frac13x^3-4x+y^2$ an.
Bestimme die Extrema der Funktion $f(x;y)=2(x^2-1)^2+y^2-2y$.