Klammern auflösen – Übung

Klammern auflösen – Übung Übung

• Vervollständige die Berechnung des Terms.

  Tipps

  Die jeweilige Farbe der Kästchen zeigt dir, welche Zahlen hineingehören.

  Beispiel:

  $\begin{array}{rcl} 4 \cdot (6 + 3) &=& 4 \cdot 6 + 4 \cdot 3 \\ &=& 24 + 12 \\ &=& 36 \end{array}$

  Lösung

  Um Terme mit Klammern berechnen zu können, sollten wir das Distributivgesetz kennen:

  $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

  Wir lösen die Klammer auf, indem wir den Faktor vor der Klammer mit beiden Summanden in der Klammer multiplizieren. Das nennt man auch ausmultiplizieren:

  $3 \cdot ( 5 + 7 ) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot 7$

  Danach müssen wir die beiden Multiplikationsaufgaben zuerst ausrechnen, denn es gilt Punkt vor Strich. Also:

  $3 \cdot 5 = 15$
  $3 \cdot 7 = 21$

  Zum Schluss fassen wir die beiden Ergebnisse zusammen:

  $15 + 21 = 36$

  Somit ist das Ergebnis des Terms:

  $3 \cdot ( 5 + 7 ) = 36$

• Vereinfache den Term unter Verwendung des Distributivgesetzes.

  Tipps

  Im ersten Schritt lösen wir die hintere Klammer auf.

  Das Kommutativgesetz lautet:

  $(a + b) \cdot c = c \cdot (a + b)$

  Beispiel:

  $(3x + 5) \cdot 4y = 4y \cdot (3x + 5)$

  Lösung

  Um diesen Term berechnen zu können, müssen wir das Distributivgesetz und das Kommutativgesetz kennen. Dank dieser beiden Gesetze wissen wir, was zu tun ist, wenn wir Klammern auflösen wollen.

  $\biggl(\dfrac{1}{2} + 2x \biggr) \cdot \biggl(\dfrac{2}{3} y -6 \biggr)$

  Diesen Term können wir wie folgt darstellen:

  $\biggl(\dfrac{1}{2} + 2x \biggr) \cdot \biggl(\dfrac{2}{3} y + (-6) \biggr) =$

  Im ersten Schritt lösen wir die hintere Klammer auf:

  $\biggl(\dfrac{1}{2} + 2x \biggr)$ $\cdot~ \color{#33CC33}{\dfrac{2}{3}y}$ $+ \biggl(\dfrac{1}{2} + 2x \biggr) \cdot$ $\color{#0070C0}{(-6)}$

  Nun können wir mithilfe des Kommutativgesetzes die beiden Faktoren jeweils vor die Klammer setzen:

  $\color{#33CC33}{\dfrac{2}{3}y}$ $\cdot \biggl(\dfrac{1}{2} + 2x \biggr)$$\color{#0070C0}{-~6}$ $\cdot \biggl(\dfrac{1}{2} + 2x \biggr)$

  Als Nächstes multiplizieren wir die Klammern aus. Hier brauchen wir das Distributivgesetz. Das heißt, wir multiplizieren den Faktor vor der Klammer mit den beiden Summanden in der Klammer:

  $\color{#33CC33}{\dfrac{2}{3}y}$ $\cdot \biggl(\dfrac{1}{2}\biggr) +$ $\color{#33CC33}{\dfrac{2}{3}y}$ $\cdot~2x$ $\color{#0070C0}{-~6}$ $\cdot \biggl(\dfrac{1}{2}\biggr)$$\color{#0070C0}{-~6}$ $\cdot \biggl(\dfrac{1}{2}\biggr)$

  Jetzt müssen wir alle Multiplikationsaufgaben ausrechnen, denn es gilt Punkt vor Strich:

  $\dfrac{2}{6}y + \dfrac{4}{3}xy - \dfrac{6}{2} - 12x$

  Im letzten Schritt können wir noch folgende Brüche kürzen:

  $\dfrac{2:2}{6:2}y = \dfrac{1}{3}y$
  
  $\dfrac{6:2}{2:2} = \dfrac{3}{1} = 3$

  Da wir nicht weiter vereinfachen können, lautet das Ergebnis:

  $\dfrac{1}{3}y + \dfrac{4}{3}xy - 3 - 12x$

• Berechne den Wert des Terms mit Klammern.

  Tipps

  Nach dem Kommutativgesetz darfst du den Faktor hinter der Klammer vor die Klammer setzen:

  ${(3 + 2) \cdot 7} = {7 \cdot (3 + 2)}$

  Beispiel:

  $2 \cdot (5 + 6) + 3 \cdot (5 + 6) = 55$

  Lösung

  Um Terme mit Klammern zu berechnen, gehen wir folgendermaßen vor:

  • Faktor vor oder hinter der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer multiplizieren (Distributivgesetz)
  • Teilergebnisse (wenn möglich) addieren.

  
  

  Beispiel 1:

  $\begin{array}{rcl} (3 + 5) ~\cdot~ \color{#33CC33}{7~} \color{black}{+~ (4 + 4) ~\cdot~} \color{#0070C0}{3} &=& 3 ~\cdot~ \color{#33CC33}{7~} \color{black}{+~ 5 ~\cdot~} \color{#33CC33}{7} \color{back}{~+~ 4 ~\cdot~} \color{#0070C0}{3} \color{black}{~+~ 4 ~\cdot~} \color{#0070C0}{3} \\ &=& 21 + 35 + 12 + 12 \\ &=& \underline{\underline{80}} \end{array}$

  Beispiel 2:

  $\begin{array}{rcl} (5 + 7) ~\cdot~ \color{#33CC33}{3~} \color{black}{+~ (9 + 3) ~\cdot~} \color{#0070C0}{4} &=& 5 ~\cdot~ \color{#33CC33}{3} \color{black}{~+~ 7 ~\cdot~} \color{#33CC33}{3} \color{black}{~+~ 9 ~\cdot~} \color{#0070C0}{4} \color{black}{~+~ 3 ~\cdot~} \color{#0070C0}{4} \\ &=&15 + 21 + 36 + 12 \\ &=& \underline{\underline{84}} \end{array}$

  Beispiel 3:

  $\begin{array}{rcl} \color{#33CC33}{4} \color{black}{~\cdot ~ (6 + 7) ~+} \color{#0070C0}{~5~} \color{black}{\cdot~ (5 + 7)} &=& \color{#33CC33}{4} \color{black}{~\cdot~ 6~+~} \color{#33CC33}{4} \color{black}{~\cdot~ 7~+~} \color{#0070C0}{5} \color{black}{~\cdot~ 5~+~} \color{#0070C0}{5} \color{black}{~\cdot~ 7} \\ &=&24 + 28 + 25 + 35 \\ &=& \underline{\underline{112}} \end{array}$

  Beispiel 4:

  $\begin{array}{rcl} \color{#33CC33}{7} \color{black}{~\cdot ~ (6 + 4) ~+} \color{#0070C0}{~5~} \color{black}{\cdot~ (7 + 2)} &=& \color{#33CC33}{7} \color{black}{~\cdot~ 6~+~} \color{#33CC33}{7} \color{black}{~\cdot~ 4 ~+~} \color{#0070C0}{5} \color{black}{~\cdot~ 7 ~+~} \color{#0070C0}{5} \color{black}{~\cdot~ 2} \\ &=&42 + 28 + 35 + 10 \\ &=& \underline{\underline{115}} \end{array}$

• Bestimme die ausmultiplizierten Terme.

  Tipps

  Beachte die Rechenregeln für Vorzeichen:

  1. $+ \cdot + = +$
  2. $- \cdot - = +$
  3. $+ \cdot - = -$
  4. $- \cdot + = -$

  Beispiel:

  ${2 \cdot (4x +6y - 8)} = {8x + 12y -16}$

  Lösung

  Um die Terme lösen zu können, müssen wir ausmultiplizieren. Das bedeutet, dass wir die Zahl vor der Klammer mit jeder Zahl in der Klammer multiplizieren müssen.
  Dabei ist es wichtig, dass du die Vorzeichenregeln bei der Multiplikation kennst:

  1. $+ \cdot + = +$
  2. $- \cdot - = +$
  3. $+ \cdot - = -$
  4. $- \cdot + = -$

  
  

  Beispiel 1:

  $\begin{array}{rcl} 3 \cdot (9 + 6x - 4y) &=& \color{#0070C0}{3~} \color{black}{\cdot ~9 ~+~} \color{#0070C0}{3~} \color{black}{\cdot ~6x ~+~} \color{#0070C0}{3~} \color{black}{\cdot ~(-4y)} \\ &=& 27 + 18x - 12y \end{array}$

  Beispiel 2:

  $\begin{array}{rcl} -10 \cdot (-3 + 2x + 4y) &=& \color{#0070C0}{-10~} \color{black}{\cdot ~(-3) ~} \color{#0070C0}{-~10~} \color{black}{\cdot ~2x~} \color{#0070C0}{-~10~} \color{black}{\cdot ~4y} \\ &=& 30 - 20x - 40y \end{array}$

  Beispiel 3:

  $\begin{array}{rcl} 8y \cdot (2 +5x)~-4 \cdot (2 + 5x) &=& \color{#0070C0}{8y~} \color{black}{\cdot ~2~+~} \color{#0070C0}{8y~} \color{black}{\cdot ~5x~} \color{#33CC33}{-~4~} \color{black}{\cdot ~2~} \color{#33CC33}{-~4~} \color{black}{\cdot ~5x} \\ &=& 16y+ 40xy - 8 - 20x \end{array}$

  Beispiel 4:

  $\begin{array}{rcl} (5x - 4) \cdot (9 + 3y) &=& \color{#0070C0}{5x~} \color{black}{\cdot ~9~+~} \color{#0070C0}{5x~} \color{black}{\cdot ~3y~} \color{#33CC33}{-~4~} \color{black}{\cdot ~9~} \color{#33CC33}{-~4~} \color{black}{\cdot ~3y} \\ &=& 45x + 15xy - 36 - 12y \end{array}$

• Gib die richtige Anwendung des Distributivgesetzes an.

  Tipps

  Es gibt drei richtige Antworten.

  Beispiel:

  $2y \cdot (3x + 4) = 2y \cdot 3x + 2y \cdot 4$

  Lösung

  Das Distributivgesetz wendest du richtig an, indem du den Faktor vor oder hinter der Klammer mit allen Summanden in der Klammer multiplizierst.
  Der Faktor kann eine Zahl (z. B. $3$), eine Variable (z. B. $x$) oder eine Kombination aus Zahl und Variable (z. B. $4y$) sein.

  Nachfolgend siehst du die Lösungen:

  Rechnung 1:

  $~3 \cdot (7 + 3x) = 21 + 9x$

  $\color{yellowgreen}{\text{RICHTIG}}$, denn:
  $\begin{array}{rcl} 3 \cdot (7 + 3x) &=& 3 \cdot 7 + 3 \cdot 3x \\ &=& 21 + 9x \end{array}$

  Rechnung 2:

  $~(4y + 3x) \cdot 2 = 4y + 3x$

  $\color{red}{\text{FALSCH}}$, denn:
  $\begin{array}{rcl} (4y + 3x) \cdot 2 &=& 4y \cdot 2 + 3x \cdot 2 \\ &=& 8y + 6x \end{array}$

  $\Rightarrow$ Fehler: Die Zahlen in der Klammer wurden nicht mit $2$ multipliziert.

  Rechnung 3:

  $~2 \cdot (9y + 10x) = 18y + 20x$

  $\color{yellowgreen}{\text{RICHTIG}}$, denn:
  $\begin{array}{rcl} 2 \cdot (9y + 10x) &=& 2 \cdot 9y + 2 \cdot 10x \\ &=& 18y + 20x \end{array}$

  Rechnung 4:

  $~2x \cdot (5 - 3y) = 10 - 6y$

  $\color{red}{\text{FALSCH}}$, denn:
  $\begin{array}{rcl} 2x \cdot (5 - 3y) &=& 2x \cdot 5 - 2x \cdot 3y \\ &=& 10x - 6xy \end{array}$

  $\Rightarrow$ Fehler: Die Zahlen in der Klammer wurden nur mit der Zahl, nicht aber mit der Variablen vor der Klammer multipliziert.

  Rechnung 5:

  $~(2x + 5) \cdot 7 = 14x + 35$

  $\color{yellowgreen}{\text{RICHTIG}}$, denn:
  $\begin{array}{rcl} (2x + 5) \cdot 7 &=& 2x \cdot 7 + 2x \cdot 7 \\ &=& 14x + 35 \end{array}$

  Rechnung 6:

  $~(10x + 4) \cdot 10 = 20x + 14$

  $\color{red}{\text{FALSCH}}$, denn:
  $\begin{array}{rcl} (10x + 4) \cdot 10 &=& 10x \cdot 10 + 4 \cdot 10 \\ &=& 100x + 40 \end{array}$

  $\Rightarrow$ Fehler: Die Zahl vor der Klammer wurde addiert statt multipliziert.

• Vervollständige den Ausgangsterm.

  Tipps

  Überlege dir, wie du auf die Ergebnisse kommst. Rechne also rückwärts.

  Beispiel:

  $\color{#0070C0}{2} \color{black}{~\cdot~ (3x ~+}$ ___ $) = 6x + \color{#0070C0}{20}$
  $\color{#0070C0}{20} \color{black}{~:~} \color{#0070C0}{2}$ $\color{black}{=}$ $\color{#33CC33}{10}$, also:
  $ \color{#0070C0}{2} \color{black}{~\cdot~ (3x ~+} \color{#33CC33}{~10} \color{black}{) = 6x~ +} \color{#0070C0}{~20}$

  Lösung

  Beispiel 1:

  $\color{#0070C0}{5}$ $\cdot~(3x~-$ ___ $) = 15x ~-$ $\color{#0070C0}{30}$
  Du musst herausfinden, welche Zahl multipliziert mit der $\color{#0070C0}{5}$ das Ergebnis $\color{#0070C0}{30}$ ergibt.
  Also rechnest du rückwärts:
  $\color{#0070C0}{30}$ $:$ $\color{#0070C0}{5}$ $=$ $\color{#33CC33}{6}$
  $\color{#0070C0}{5}$ $\cdot~(3x~-$ $\color{#33CC33}{6}$$) = 15x ~-$ $\color{#0070C0}{30}$

  Beispiel 2:

  ___ $ \cdot~($$\color{#0070C0}{4}$ $-~ 6x) =$ $\color{#0070C0}{-32}$ $+~ 48x$
  Du musst herausfinden, welche Zahl multipliziert mit der $\color{#0070C0}{4}$ das Ergebnis $\color{#0070C0}{-32}$ ergibt.
  Also rechnest du rückwärts:
  $\color{#0070C0}{-32}$ $:$ $\color{#0070C0}{4}$ $=$ $\color{#33CC33}{-8}$
  $\color{#33CC33}{-8}$ $ \cdot~($$\color{#0070C0}{4}$ $-~ 6x) =$ $\color{#0070C0}{-32}$ $+~ 48x$
  $\Rightarrow$ Hinweis: Hier kannst du auch $48x : (-6x) = -8$ rechnen.

  Beispiel 3:

  $\color{#0070C0}{8}$ $\cdot~($ ___ $-~ 7y) ~+$ $\color{#0070C0}{3}$ $\cdot~($ ___ $+~ 5)$
  $ =$ $\color{#0070C0}{72}$ $-~ 56y ~+$ $\color{#0070C0}{12x}$ $+~ 15$
  Du musst herausfinden, welche Zahl multipliziert mit der $\color{#0070C0}{8}$ das Ergebnis $\color{#0070C0}{72}$ ergibt.
  Also rechnest du rückwärts:
  $\color{#0070C0}{72}$ $:$ $\color{#0070C0}{8}$ $=$ $\color{#33CC33}{9}$
  Du musst herausfinden, welche Zahl multipliziert mit der $\color{#0070C0}{3}$ das Ergebnis $\color{#0070C0}{12x}$ ergibt.
  Also rechnest du rückwärts:
  $\color{#0070C0}{12x}$ $:$ $\color{#0070C0}{3}$ $=$ $\color{#33CC33}{4x}$
  $\color{#0070C0}{8}$ $\cdot~($$\color{#33CC33}{9}$ $-~ 7y) ~+$ $\color{#0070C0}{3}$ $\cdot~($$\color{#33CC33}{4x}$ $+~ 5) =$ $\color{#0070C0}{72}$ $-~ 56y ~+$ $\color{#0070C0}{12x}$ $+~ 15$
  $\Rightarrow$ Hinweis: Hier kannst du auch $-56y : (-7y) = 8$ bzw. $15 : 5 = 3$ rechnen.

  Beispiel 4:

  $(\color{#0070C0}{2x}$ $~+$ ___ $) ~\cdot~ ($ ___ $~ \color{#0070C0}{-~7~} \color{black}{)}$
  $ = ~\color{#0070C0}{10xy} \color{black}{ ~- 14x ~+ 20y~} \color{#0070C0} {- 28~}$
  Du musst herausfinden, welche Zahl multipliziert mit der $\color{#0070C0}{2x}$ das Ergebnis $\color{#0070C0}{10xy}$ ergibt.
  Also rechnest du rückwärts:
  $\color{#0070C0}{10xy}$ $:$ $\color{#0070C0}{2x}$ $=$ $\color{#33CC33}{5y}$
  Du musst herausfinden, welche Zahl multipliziert mit der $\color{#0070C0}{-7}$ das Ergebnis $\color{#0070C0}{-28}$ ergibt.
  Also rechnest du rückwärts:
  $\color{#0070C0}{-28}$ $:~($ $\color{#0070C0}{-7}$ $)=$ $\color{#33CC33}{4}$
  $(\color{#0070C0}{2x} \color{black}{~+~} \color{#33CC33}{4} \color{black}{) ~\cdot~ (} \color{#33CC33}{5y}~ \color{#0070C0}{-~7~} \color{black}{) =} ~\color{#0070C0}{10xy} \color{black}{ ~-~ 14x ~+ 20y~} \color{#0070C0} {- ~28~}$