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Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen

Lineare Gleichungssysteme können keine oder eine oder unendlich viele Lösungen besitzen. Dies kannst du auch grafisch untersuchen.

Lineare Gleichungssysteme

Unter linearen Gleichungssystemen versteht man zwei oder mehr lineare Gleichungen, in welchen zwei oder mehr Unbekannte (Variablen) vorkommen. Im Folgenden schauen wir uns Beispiele für lineare Gleichungssysteme mit zwei linearen Gleichungen und zwei Unbekannten an.

Dabei untersuchen wir die Lösbarkeit solcher Gleichungssysteme grafisch.

Dafür überlegen wir uns, wie die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit zwei Unbekannten grafisch dargestellt werden kann. Schau dir hierfür folgendes Beispiel an:

$x-2y=4$

Forme diese Gleichung nach $y$ um:

  • Subtrahiere zunächst $x$ zu $-2y=-x+4$.
  • Dividiere nun durch $-2$. Dies führt zu $y=\frac12x-2$.

Erkennst du, was das ist? Das ist eine lineare Funktionsgleichung. Deren Funktionsgraph ist die im Folgenden abgebildete Gerade:

lineare GLS 1

Wenn du nun zwei lineare Gleichungen mit jeweils zwei Unbekannten betrachtest, erhältst du zwei Geraden. Wie können diese Geraden zueinander liegen? Sie können parallel zueinander sein oder identisch. Sie können sich aber auch schneiden. Sie haben dann einen gemeinsamen Punkt, einen Schnittpunkt.

Damit erhältst du auch schon die Lösungsmöglichkeiten für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und ebenso vielen Unbekannten:

  • Parallele Geraden bedeuten, dass keine Lösung existiert.
  • Identische Geraden bedeuten, dass es unendlich viele Lösungen gibt.
  • Bei sich schneidenden Geraden ist der Schnittpunkt gegeben durch das Lösungspaar $(x|y)$ des linearen Gleichungssystems. Das Gleichungssystem ist also eindeutig lösbar.

Nun schauen wir uns jeweils ein Beispiel an.

Eindeutige Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

Betrachte folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{cllll} \text{(I)} && x-2y &=& 4 \\ \text{(II)} && 2x+y &=& 3 \end{array}$

Ebenso wie bei der ersten Gleichung formst du auch die zweite nach $y$ um zu $y=-2x+3$.

Nun kannst du dieses Gleichungssystem grafisch lösen. Du zeichnest die beiden zugehörigen Geraden in ein gemeinsames Koordinatensystem ein. Du kannst bereits an den verschiedenen Steigungen der beiden Geraden erkennen, dass diese sich schneiden müssen:

lineare GLS 2

Aus dieser Darstellung kannst du den Schnittpunkt $S(2|-1)$ ablesen. Die Lösung des betrachteten Gleichungssystems ist somit gegeben durch $\mathbb{L}=\{(2|-1)\}$.

Nun folgen noch weitere Beispiele zum zeichnerischen Lösen von linearen Gleichungssystemen.

Unendlich viele Lösungen von Gleichungssystemen

Nun folgt der Fall unendlich vieler Lösungen. Auch diesen kannst du durch zeichnerisches Lösen untersuchen. Betrachte folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{cllll} \text{(I)} && x-2y &=& 4 \\ \text{(II)} && 2x-4y &=& 8 \end{array}$

Wenn du die obere der beiden Gleichungen mit $2$ multiplizierst, erhältst du die untere. Das bedeutet, dass beide Gleichungen zu der gleichen Geraden führen:

lineare GLS 1

Das bedeutet auch, dass das betrachtete Gleichungssystem alle Punkte auf dieser Geraden als Lösungspaar besitzt. Es gibt also unendlich viele Lösungen.

Keine Lösungen bei Gleichungssystemen

Schließlich bleibt noch der Fall, dass es keine Lösungen gibt. Schau dir hierzu nun dieses lineare Gleichungssystem an:

$\begin{array}{cllll} \text{(I)} && x-2y &=& 4 \\ \text{(II)} && 2x-4y &=& 4 \end{array}$

Um dieses System zeichnerisch zu lösen, formst du jeweils nach $y$ um. Bei der oberen Gleichung hast du dies bereits gesehen. Die untere führt zu $y=\frac12x-1$.

Du erhältst somit die folgenden beiden Geraden:

lineare GLS 3

Diese beiden Geraden sind parallel zueinander. Das ist bereits an den übereinstimmenden Steigungen sowie den verschiedenen $y$-Achsenabschnitten erkennbar.

Das betrachtete Gleichungssystem besitzt somit keine Lösung.