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Lineare Gleichungssysteme – Definition und Schreibweise

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht häufig aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen, auch Unbekannte genannt. Lineare Gleichungssysteme können auch aus mehr als zwei Gleichungen und zwei Variablen bestehen, es gelten aber für alle Gleichungssysteme dieselben Grundlagen.

Um Gleichungssysteme darzustellen, gibt es verschiedene Schreibweisen, zum Beispiel:

$\begin{array}{lrcl} (I)&2x +5y &=& 23\\ (II)&2x~– 3y &=& -1 \\ \end{array}$

$\begin{array}{|lcr|} ~y & = & x -5~ \\ ~y & = & 2x +3~ \\ \end{array}$

$\begin{array}{rcr} ~2x +5y &=& 23\\ \wedge~2x ~– 3y &=& -1 \\ \end{array}$

Im letzten Beispiel siehst du durch den logischen Operator $\wedge$, der und bedeutet, dass beide Gleichungen verknüpft sind. Es wird also das Lösungspaar (x; y) gesucht, das beide Gleichungen erfüllt.

Lösungsmöglichkeiten linearer Gleichungssysteme

Es gibt unterschiedliche Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. In der Schule begegnen dir zunächst diese Verfahren:

Das Gleichsetzungsverfahren solltest du dann wählen, wenn beide Gleichungen bereits nach $y$ aufgelöst sind. Dann kannst du die beiden Terme rechts vom Gleichheitszeichen gleichsetzen , da sie jeweils nur noch die Variable $x$ enthalten. Anschließend löst du die neue Gleichung dann nach $x$ auf.

Anzahl der Lösungen linearer Gleichungssysteme

Bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen gibt es drei unterschiedliche Fälle:

Bei der graphischen Lösung bedeutet das

  • die Geraden verlaufen parallel und haben somit keinen Schnittpunkt (keine Lösung),
  • die Geraden schneiden sich in einem Punkt (eine Lösung), oder
  • die Geraden sind identisch und haben somit unendlich viele Schnittpunkte (unendlich viele Lösungen).

Schrittweise Lösung mit dem Gleichsetzungsverfahren:

Gegeben ist folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{|lcr|} ~y & = & x -5~ \\ ~y & = & 2x +3~ \\ \end{array}$

Beide Gleichungen sind bereits nach $y$ aufgelöst, du kannst sie also direkt gleichsetzen:

$x – 5 = 2x + 3$

Diese Gleichung kannst du sortieren und umformen und erhältst die Lösung für $x$, nämlich:

$x = –8$

Diese Lösung setzt du nun in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein, beispielsweise in die obere, $y = x – 5$. Daraus ergibt sich die Lösung für $y$, nämlich:

$y = –8 –5 = –13$

Insgesamt erhältst du die folgende Lösungsmenge:

$L = {(–8; –13)}$

Das Gleichsetzungsverfahren funktioniert natürlich auch, wenn die beiden Gleichungen nach $x$ statt nach $y$ aufgelöst sind. Nach dem Gleichsetzen erhältst du dann zunächst eine Lösung für $y$, die du anschließend in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzt und so eine Lösung für $x$ ermittelst.