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Definition und Schreibweise Lineare Gleichungssysteme

Einfache lineare Gleichungssysteme bestehen aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen. Als Kurzform schreibt man LGS für lineares Gleichungssystem.

Lineare Gleichungssysteme können auch aus mehr als zwei Variablen und Gleichungen bestehen. Da aber für alle die gleichen Regeln zutreffen, betrachten wir hier als Beipsiele nur Systeme mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.

In der folgenden Abbildung siehst du verschiedene Schreibweisen von Gleichungssystemen. Die letzte verdeutlicht mit dem und, dass die beiden Gleichungen verbunden sind und (x ; y) als Lösungspaar für beide Gleichungen gesucht wird.

Schreibweisen Gleichungssysteme

Vielleicht kennst du schon das Additions- oder das Gleichsetzungsverfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Das Einsetzungsverfahren, um das es an dieser Stelle geht, ist ein weiteres Verfahren.

Lösen von linearen Gleichungssystemen: Einsetzungsverfahren

Das Einsetzungsverfahren kommt zum Einsatz, wenn eine der beiden Gleichungen nach y (bzw. x) aufgelöst ist. Man setzt dann diese Gleichung in die andere ein und erhält so die Lösung für x (bzw. y), anschließend die Lösung für y (bzw. x).

Beispiel für das Einsetzungsverfahren:

Gegeben ist das Gleichungssystem

Beispiel Rechnung Einsetzungsverfahren 1

Die erste Gleichung ist bereits nach y aufgelöst. Du kannst sie direkt in die zweite Gleichung einsetzen:

Beispiel Rechnung Einsetzungsverfahren 1

Die so entstandene Gleichung löst du nach x auf und erhältst x = 4. Die Lösung für x setzt du anschließend in die obere Gleichung des LGS ein. Dadurch erhältst du die Lösung für y: y = –4 · 4 + 6 = –10. Die Lösungsmenge lautet L = {(4; –10)}.