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Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren addierst du beide Seiten der Gleichungen geschickt bzw. subtrahierst sie voneinander. Damit erreichst du, dass eine der beiden Gleichungen anschließend nur noch eine Variable enthält.

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

In einem linearen Gleichungssystem (LGS) werden mehrere Gleichungen zusammengefasst, die alle erfüllt werden sollen. Es handelt sich hierbei um Gleichungen ersten Grades, deren Exponent höchstens $1$ ist.

Ein LGS ist eindeutig lösbar, wenn es über mindestens ebenso viele Gleichungen wie Variablen verfügt.

Im Folgenden werden zur Vereinfachung nur lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen betrachtet. Es existieren mehrere Schreibweisen, doch geläufig ist die Schreibweise, bei der die Gleichungen mit römischen Zahlen nummeriert sind.

Additionsverfahren

Um ein LGS so zu lösen, dass die Gleichungen des Systems erfüllt sind, gibt es verschiedene Verfahren.

$\begin{array}{lllll} \text{I} && 3x - 2y &=&6 \\ \text{II} && x + 2y &=& 10 \end{array}$

Beim Additionsverfahren fällt durch Addition der Gleichungen eine Variable weg:

$\begin{array}{llllll} \left(\text{I} + \text{II}\right): && 4x &=& 16 & \vert : 4 \\ && x &=& 4 & \end{array}$

Die zweite Variable $y$ bestimmt man durch Einsetzen des $x$-Wertes in eine der beiden Ausgangsgleichungen. In diesem Fall bietet sich die zweite einfachere Gleichung an:

$\begin{array}{llll} 4 + 2y &=&10 & \vert - 4\\ 2y & = &6 & \vert : 2\\ y & = &3 & \end{array}$

Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems lautet $\mathbb{L}=\lbrace(4 ; 3)\rbrace$.

Nicht immer lässt sich eine der Variablen in einem LGS direkt eliminieren, da die Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen) oft verschieden sind. Vor Anwendung des Additionsverfahrens müssen dann eine oder sogar beide Gleichungen durch Multiplikation oder Division umgeformt werden.

Umformung einer Gleichung

$\begin{array}{lllll} \text{I} && x + y &=& 25\\ \text{II} && 3x + 7y &=& 115 \end{array}$

Um die Variable $x$ zu eliminieren, müsste die erste Gleichung mit $(-3)$ multipliziert werden. Damit $y$ sich aufhebt, wäre eine Multiplikation der ersten Gleichung mit $(-7)$ notwendig.

$\begin{array}{llllll} \text{I} && x + y &=& 25 & \vert \cdot(-3)\\ \\ \text{I}' && -3x -3y &=&-75 & \\ \text{II} && 3x + 7y &=& 115 & \end{array}$

Durch die Addition der beiden Gleichungen $\text{I}'$ und $\text{II}$ wird die Variable $x$ eliminiert:

$\begin{array}{llllll} \left(\text{I}' + \text{II}\right): && 4y &=& 40 & \vert : 4 \\ && y &=& 10 & \end{array}$

Das Ergebnis $y = 10$ wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt:

$\begin{array}{llll} 3x + 70 &=&115 & \vert - 70 \\ 3x & = &45 & \vert : 3 \\ x & = & 15 & \end{array}$

Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\lbrace (15 ; 10)\rbrace $.

Umformung beider Gleichungen

Um das Additionsverfahren anzuwenden, müssen oft sogar beide Gleichungen umgeformt werden, sodass eine Variable herausfällt.

$\begin{array}{lllll} \text{I} && 5x + 3y &=& 14 \\ \text{II} && 2x -2y &=& -4 \end{array}$

Dazu betrachtet man die Koeffizienten und sucht das kleinste gemeinsame Vielfache. Im Fall der Variablen $x$ wäre dies $10$, im Fall der Variablen $y$ wäre es $6$, beides ist möglich.

Hier soll sich die Variable $y$ durch Addition aufheben:

$\begin{array}{llllll} \text{I} && 5x + 3y &=& 14 & \vert \cdot 2 \\ \text{II} && 2x -2y &=& -4 & \vert \cdot 3\\ \\ \text{I}' && 10x + 6y &=& 28 & \\ \text{II}' && 6x - 6y &=& -12 & \\ \end{array}$

Die Addition der beiden umgeformten Gleichungen ergibt:

$\begin{array}{llllll} \left(\text{I}' + \text{II}'\right): && 16x &=& 16 &\vert : 16 \\ && x &=& 1 & \end{array}$

Durch Einsetzen der Lösung $x=1$ in eine der beiden Ausgangsgleichungen bestimmt man anschließend $y$:

$\begin{array}{llll} 5 + 3y &=& 14 & \vert - 5 \\ 3y & = & 9 & \vert : 3 \\ y & = & 3 & \end{array}$

Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\lbrace (1 ; 3)\rbrace $.

Überblick

Du gehst beim Additionsverfahren wie folgt vor:

  1. Zunächst schaust du, ob bei einer Variablen die Koeffizienten, mit verschiedenen Vorzeichen, übereinstimmen. Die Koeffizienten sind die Faktoren, mit welchen die Variablen multipliziert werden.
  2. Stimmen die Koeffizienten nicht überein, multiplizierst du eine oder beide Gleichungen so mit einer Zahl, dass bei einer Variablen die Koeffizienten, bis auf das Vorzeichen, übereinstimmen.
  3. Addiere nun die beiden Gleichungen. Dadurch fällt die Variable mit den übereinstimmenden Koeffizienten weg. Daher kommt der Name des Verfahrens.
  4. Du erhältst so eine Gleichung, in welcher nur noch eine Variable vorkommt. Löse diese Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen.
  5. Setze die so erhaltene Lösung in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein und ermittle damit den Wert für die andere Variable.

Nun kannst du dich fragen, ob du einfach so zwei Gleichungen addieren darfst: Ja, du darfst, da es sich hier um eine Äquivalenzumformung handelt.

Im Folgenden siehst du nun Beispiele zu diesem Verfahren.

Beispiel 1

Wir beginnen mit einem Beispiel, bei welchem du nicht wie im 2. Schritt multiplizieren musst.

$\begin{array}{crcl} \text{I}&3x+2y&=&8\\\ \text{II}&x-2y&=&-4 \end{array}$

1. Schritt: Du siehst, dass der Koeffizient bei $y$ in der oberen Gleichung $2$ und in der unteren $-2$ ist.

2. Schritt: Dieser entfällt.

3. Schritt: Addiere die beiden Gleichungen zu $4x=4$.

4. Schritt: Löse diese Gleichung.

Dividiere durch $4$, so erhältst du $x=1$. Das ist die gesuchte Lösung für $x$. Ein Schritt bleibt noch:

5. Schritt: Setze $x=1$ in die Gleichung $3x+2y=8$ ein. Löse nun diese Gleichung:

$\begin{array}{rclll} 3+2y&=&8&|&-3\\\ 2y&=&5&|&:2\\\ y&=&2,5 \end{array}$

Das gesuchte Lösungspaar ist gefunden: $(1|2,5)$.

Beispiel 2

Was musst du tun, wenn die Koeffizienten nicht übereinstimmen. Hierfür betrachten wir das folgende Beispiel:

$\begin{array}{crcl} \text{I}&5x+2y&=&-2\\\ \text{II}&3x+3y&=&6 \end{array}$

1. Schritt: Weder bei $x$ noch bei $y$ stimmen die Koeffizienten überein.

2. Schritt: In diesem Beispiel musst du beide Gleichungen multiplizieren.

Schau dir die Koeffizienten vor $x$ an:

  • In der oberen Gleichung lautet dieser $5$ und in der unteren $3$.
  • Multipliziere die obere Gleichung mit $-3$, so erhältst du den Koeffizienten $-15$ bei $x$.
  • Multipliziere die untere Gleichung mit $5$, so erhältst du den Koeffizienten $15$ bei $x$.

So sieht dann das folgende, äquivalent umgeformte Gleichungssystem aus:

$\begin{array}{crcl} \text{III}&-15x-6y&=&6\\\ \text{IV}&15x+15y&=&30 \end{array}$

Beachte, dass du in jeder der beiden Gleichungen jeden Term mit der entsprechenden Zahl multiplizieren musst.

3. Schritt: Addiere nun die Gleichungen.

Du erhältst dann die Gleichung $9y=36$, welche nur noch von einer Variablen abhängt, nämlich $y$.

4. Schritt: Löse diese Gleichung.

Division durch $9$ führt zu $y=4$.

5. Schritt: Setze $y=4$ in eine der beiden Gleichungen ein. Hier zum Beispiel in $5x+2y=-2$. Dies führt zu $5x+8=-2$.

Löse nun diese Gleichung:

  • Subtrahiere zunächst $8$ zu $5x=-10$.
  • Dividiere nun durch $5$. So erhältst du $x=-2$.

Das Paar $(-2|4)$ löst das Gleichungssystem.

Beispiel 3

In diesem Beispiel siehst du, wie du ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und ebenso vielen Unbekannten lösen kannst.

Übrigens: Genau so gehst du auch vor, wenn du mehr als drei Gleichungen und mehr als drei Unbekannte hast.

$\begin{array}{crcl} \text{I}&5x-2y+z&=&-2\\\ \text{II}&3x+2y+3z&=&6\\\ \text{III}&x+y+z&=&3 \end{array}$

Da in der oberen und mittleren Gleichung bei $y$ einmal $-2$ und einmal $2$ als Koeffizienten vorkommen, addierst du diese beiden Gleichungen: Du erhältst dann $8x+4z=4$. Diese Gleichung hängt von $x$ und von $z$ ab.

Du musst nun durch Addition und gegebenenfalls vorheriger Multiplikation der Gleichungen $\text{I}$ und $\text{III}$ oder $\text{II}$ und $\text{III}$ eine weitere Gleichung bekommen, welche ebenfalls von $x$ und $z$ abhängt. Multipliziere zum Beispiel die Gleichung $\text{III}$ mit der Zahl $2$. So kommst du zu $2x+2y+2z=6$. Addiere nun diese Gleichung zu der Gleichung $\text{I}$. Dies führt zu $7x+3z=4$.

Du erhältst also das folgende lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{crcl} \text{IV}&8x+4z&=&4\\\ \text{V}&7x+3z&=&4 \end{array}$

Das kennst du nun bereits: Multipliziere die obere Gleichung mit $-3$ und die untere mit $4$:

$\begin{array}{crcl} \text{VI}&-24x-12z&=&-12\\\ \text{VII}&28x+12z&=&16 \end{array}$

Nun kannst du die beiden Gleichungen addieren zu $4x=4$. Dividiere durch $4$ und du erhältst $x=1$.

Setze nun $x=1$ in $8x+4z=4$ ein: Dies führt zu $8+4z=4$.

  • Subtrahiere $8$ zu $4z=-4$.
  • Dividiere noch durch $4$. Du kommst so zu $z=-1$.

Nun fehlt noch $y$: Setze $x=1$ und $z=-1$ in $x+y+z=3$ ein. So gelangst du schließlich zu $y=3$.

Das Triple $(1|3|-1)$ löst das lineare Gleichungssystem.

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