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Definition und Schreibweise Lineare Gleichungssysteme

Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen bilden ein einfaches lineares Gleichungssystem (kurz: ein LGS). Lineare Gleichungssysteme können auch mehr als zwei Variablen und Gleichungen haben. Für alle Gleichungssysteme gilt aber im Prinzip dasselbe, deshalb reicht es hier aus, nur zwei Gleichungen und zwei Variablen zu betrachten. Für Gleichungssysteme werden verschiedene Schreibweisen verwendet:

Schreibweisen Gleichungssysteme

Die letzte Schreibweise macht deutlich, dass die beiden Gleichung mit und verbunden sind. Das bedeutet: Als Lösung ist das Paar (x ; y) gesucht, das beide Gleichungen erfüllt.

Lösen von linearen Gleichungssystemen: Additionsverfahren

Gleichungssysteme kann man mit verschiedenen Verfahren lösen: mit dem Additionsverfahren, mit dem Gleichsetzungsverfahren oder mit dem Einsetzungsverfahren. Dabei ist das Additionsverfahren dasjenige Verfahren, das sich am ehesten verallgemeinern lässt.

Beim Additionsverfahren addierst du beide Seiten der Gleichungen geschickt (man sagt kurz: Die Gleichungen werden addiert.) bzw. subtrahierst sie voneinander. Damit erreichst du, dass eine der beiden Gleichungen anschließend nur noch eine Variable enthält. Dann kannst du sie ohne Probleme lösen. Ob du addieren oder subtrahieren musst, hängt von den Gleichungen ab.

Beispiele 1 zum Additionsverfahren:

Gegeben ist das Gleichungssystem

Beispiel Rechnung Additionsverfahren 1

In beiden Gleichungen hat der Term mit x den Koeffizienten 3. Hier musst du die untere Gleichung von der oberen subtrahieren. Dadurch fällt in der oberen Gleichung der x-Term weg:

Beispiel Rechnung Additionsverfahren 2

Die obere Gleichung 6y = 11 kannst du leicht lösen: y = 11/6. Diese Lösung setzt du jetzt in die untere Gleichung 3x – 2y = –4 ein:

Beispiel Rechnung Additionsverfahren 3

Die Lösungsmenge lautet also

Beispiel Rechnung Additionsverfahren 3

Beispiele 2 zum Additionsverfahren:

Gegeben ist das Gleichungssystem

Beispiel Rechnung Additionsverfahren 5

Hier hat der Term mit y in der oberen Gleichung den Koeffizienten +2 und in der unteren Gleichung den Koeffizienten –2. Hier ist es also geschickt, wenn du addierst.

Beispiel Rechnung Additionsverfahren 6

Die obere Gleichung löst du nach x auf: x = – 13/7. Dieses Ergebnis setzt du in die untere Gleichung ein:

Beispiel Rechnung Additionsverfahren 3

Die Lösungsmenge lautet

Beispiel Rechnung Additionsverfahren 3

Im Allgemeinen Fall sind die Koeffizienten von x oder y jedoch nicht gleich (oder unterscheiden sich nur durch ein Minuszeichen). Sind die Koeffizienten unterschiedlich, lässt sich durch einfaches Subtrahieren oder Addieren nicht erreichen, dass in einer der beiden Gleichungen eine Variable herausfällt. In diesem Fall müssen die beiden Gleichungen erst umgeformt werden, bevor du sie addieren kannst. Der Einfachheit halber machst du den ersten Umformungsschritt immer so, dass du anschließend addieren musst.

Ein Beispiel mit einzelnen Lösungsschritten:

Beispiel Rechnung Lösungsschritte

  1. In Schritt (1) wird die obere Gleichung mit 2 multipliziert.
  2. Anschließend wird sie in Schritt (2) zur unteren Gleichung addiert.
  3. Dadurch fällt in der oberen Gleichung die Variable y heraus.
  4. Sie lässt sich nun im Schritt (4) nach x auflösen.
  5. Diese Lösung wird in die untere Gleichung eingesetzt. Diese kannst du jetzt nach y auflösen.

Die Lösungsmenge beträgt also

Beispiel Rechnung Additionsverfahren 3