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Scheitelpunkt und Scheitelpunktform

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Was ist eine quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion vom Grad $2$:

$f(x)=ax^2+bx+c$

Dies ist die allgemeine Darstellung einer quadratischen Funktion. Dabei muss $a\neq 0$ sein. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Hier siehst Du zum Beispiel den Graphen der Funktion $f(x)=x^2$, die sogenannte Normalparabel.

3114_f(x)_x_2.jpg

Wie Du hier erkennen kannst,

  • ist diese Parabel nach oben geöffnet und
  • achsensymmetrisch. Achsensymmetrisch ist übrigens jede Parabel. Die Symmetrieachse ist hier die y-Achse. Die Symmetrieachse verläuft durch den tiefsten Punkt der Parabel.

Eine Parabel kann auch nach unten geöffnet sein. Dann verläuft die Symmetrieachse durch den höchsten Punkt der Parabel.

Was ist der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion?

Der Scheitelpunkt einer nach oben (unten) geöffneten Parabel ist deren tiefster (höchster) Punkt. Durch den Scheitelpunkt verläuft die Symmetrieachse der Parabel.

Die Scheitelpunktform einer quadratischen Form

Eine quadratische Funktion kann auch in Scheitelpunktform

$f(x)=a(x-d)^2+e$

mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$ oder

$f(x)=a(x+d)^2+e$

mit dem Scheitelpunkt $S(-d|e)$ gegeben sein.

Welche Bedeutung haben die Parameter?

Der Parameter $a$

Der Parameter $a$ ist der Streckfaktor:

  • für $|a|>1$ wird die Parabel gestreckt und
  • für $|a|<1$ gestaucht.

Betrachte als Beispiel für $|a|<1$ die Funktion $f(x)=0,5x^2$. Die zugehörige (rote) Parabel ist weiter als die (grüne) Normalparabel.

3114_f(x)_1_2x_2.jpg

Wenn der Streckfaktor im Betrag größer ist als $1$, so ist die, als Beispiel, (blaue) Parabel zu $f(x)=3x^2$ enger als die (grüne) Normalparabel.

3114_f(x)_3x_2.jpg

Was passiert, wenn $a$ negativ ist? Dann ist die Parabel nach unten geöffnet. Dies siehst Du hier am Beispiel der Funktion $f(x)=-x^2$. Die zugehörige (violette) Parabel ist an der x-Achse gespiegelt.

3114_f(x)_-x_2.jpg

Der Scheitelpunkt ist bei jeder der oben angegebenen Parabeln der Koordinatenursprung $S(0|0)$

Der Parameter $e$

Der Parameter $e$ bewirkt eine Verschiebung entlang der y-Achse:

  • nach oben, wenn $e>0$ ist, und
  • nach unten für $e<0$.

Durch die Verschiebung ändert sich auch der Scheitelpunkt.

Hier siehst Du die (orange) Parabel zu $f(x)=x^2+2$, welche um $2$ Längeneinheiten nach oben verschoben ist. Der Scheitelpunkt ist $S(0|2)$.

3114_f(x)_x_2_2.jpg

Die (hellblaue) Parabel gehört zu $f(x)=x^2-2$. Sie ist um $2$ Längeneinheiten nach unten verschoben. Der Scheitelpunkt ist $S(0|-2)$.

3114_f(x)_x_2-2.jpg

Der Parameter $d$

Der Parameter $d$ bewirkt eine Verschiebung entlang der x-Achse. Sei die Scheitelpunktform gegeben durch $f(x)=a(x-d)^2+e$, dann

  • wird die Parabel nach rechts verschoben für $d>0$ und
  • nach links für $d<0$.

Die Parabel zu der Funktion $f(x)=(x-2)^2$ ist um $2$ Längeneinheiten nach rechts verschoben. Der Scheitelpunkt ist $S(2|0)$.

3114_f(x)_(x-2)_2.jpg

Die Parabel zu $f(x)=(x+1)^2$ ist um $1$ Längeneinheit nach links verschoben. Der Scheitelpunkt ist $S(-1|0)$.

3114_f(x)_(x__)_2.jpg

Aufstellen einer Scheitelpunktform bei bekanntem Scheitelpunkt

Wenn Du den Scheitelpunkt einer Parabel sowie den Streckfaktor kennst, kannst Du die zugehörige Scheitelpunktform aufschreiben.

Gegeben sei zum Beispiel der Scheitelpunkt $S(1|2)$ sowie $a=1$. Die Scheitelpunktform der Funktion lautet dann $f(x)=(x-1)^2+2$. Hier siehst du die zugehörige (hellblaue) Parabel.

3114_f(x)_(x-1)_2_2.jpg

Du kannst an allen obigen Beispielen erkennen, dass Du den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform schnell zeichnen kannst. Wie kannst Du eine Scheitelpunktform herleiten?

Aufstellen der Scheitelpunktform einer allgemeinen quadratischen Funktion

Du kannst, ausgehend von einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form, eine Scheitelpunktform

Quadratische Ergänzung

Betrachte das folgende Beispiel $f(x)=2x^2+8x+4$.

$\begin{array}{rcl}2x^2+8x+4&=&2(x^2+4x)+4\\&=&2(x^2+4x+4-4)+4\\&=&2((x+2)^2-4)+4\\&=&2(x+2)^2-4\end{array}$

Somit ist $f(x)=2(x+2)^2-4$.

Der Scheitelpunkt dieser Funktion ist $S(-2|-4)$. Hier siehst die zugehörige Parabel.

3114_f(x)_2(x_2)_2-4.jpg

Ermitteln des Scheitelpunktes

Du kannst den Scheitelpunkt auch so bestimmen:

  • Klammere $a$ aus.
  • Die $x$-Koordinate dess Scheitelpunktes ist die Hälfte des Faktors vor dem $x$ in der Klammer mit umgekehrtem Vorzeichen.
  • Die $y$-Koordinate erhältst Du durch Einsetzen der $x$-Koordinate in der Funktionsgleichung.

Dafür betrachten wir ein abschließendes Beispiel: $f(x)=3x^2-6x+9$.

  • $3x^2-6x+9=3(x^2-2x+3)$
  • Damit ist $d=-\frac{-2}2=1$ die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes.
  • Nun setzt Du $1$ in der Funktionsgleichung ein: $e=f(1)=3\cdot 1^2-6\cdot 1+9=6$. Dies ist die $y$-Koordinate des Scheitelpunktes.

Der Scheitelpunkt ist also $S(1|6)$ und die Scheitelpunktform lautet $f(x)=3(x-1)^2+6$.

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Scheitelpunkt und Scheitelpunktform (3 Arbeitsblätter)