Tangenten, Normalen und Schnittwinkel

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist eine Tangente?
• Beispiel
• Die Tangentengleichung
• Was ist eine Normale
• Der Steigungswinkel einer Funktion
• Der Schnittwinkel zweier Funktionen

Was ist eine Tangente?

Der Begriff der Tangente kommt von dem lateinischen Verb „tangere“ für „berühren“.

Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion an einem bestimmten Punkt berührt. Der Punkt, in dem diese Tangente den Graphen berührt, wird als Berührpunkt bezeichnet.

Du kannst dir die folgenden beiden Eigenschaften einer Tangente merken:

• Eine Tangente hat mit dem Graphen einer Funktion $f$ einen Punkt, den Berührpunkt, gemeinsam.
• In diesem Punkt hat die Tangente die gleiche Steigung wie der Graph der Funktion $f$.

Da die Tangente eine Gerade ist, lautet die zugehörige Tangentengleichung $t(x)=mx+n$, wobei

• $m$ die Steigung und
• $n$ der y-Achsenabschnitt der Tangente ist.

Beispiel

Es soll die Tangente an dem Graphen der Funktion $f(x)=x^2-4x+4$ in dem Punkt $P(1|1)$ bestimmt werden.

• Die Tangenssteigung ist gleich der Steigung der Funktion an der Stelle $x=1$.
• Um die Steigung der Funktion an dieser Stelle zu berechnen, benötigst du die erste Ableitung der Funktion.
• Die Ableitung von $f(x)$ ist gegeben durch $f'(x)=2x-4$.
• Setzt du nun den Wert für $x$ in die erste Ableitung ein, erhältst du die Steigung an dieser Stelle: $x=1$.
• Damit ist $m=f'(1)=2-4=-2$.
• Nun weißt du, dass der Punkt $P(1|1)$ auch auf der Tangente liegt. Du kannst ihn also in die Tangentengleichung $t(x)=mx+n$ einsetzen.
• Das bedeutet: $1=-2\cdot 1+n$.
• Wenn du auf beiden Seiten der Gleichung $2$ addierst, erhältst du $n=3$.

Die Tangentengleichung mit $m=-2$ und $n=3$ lautet somit $t(x)=-2x+3$. Du siehst die Tangente blau eingezeichnet in der obigen Skizze.

Die Tangentengleichung

Du kannst eine Tangentengleichung so herleiten wie bei dem obigen Beispiel. Es gibt auch eine geschlossene Formel, mit deren Hilfe du die Tangentengleichung schneller bestimmen kannst. Sei der Berührpunkt gegeben durch $B(x_B|y_B)$, wobei $y_B=f(x_B)$ ist.

$t(x)=f'(x_B)(x-x_B)+f(x_B)$

Du kannst diese Formel mit dem obigen Beispiel üben:

• Der Berührpunkt ist $P(1|1)$.
• $f'(1)=-2$
• $t(x)=-2(x-1)+1=-2x+2+1=-2x+3$

Du erhältst somit natürlich dieselbe Tangentengleichung: $t(x)=-2x+3$.

Was ist eine Normale

Der Begriff der Normalen hängt sehr eng mit dem der Tangenten zusammen.

Die Normale verläuft orthogonal, das heißt senkrecht, zu der Tangente in dem Berührpunkt.

Weißt du noch, wie die Steigungen von senkrechten Geraden zusammen hängen? Das Produkt der Steigungen ist $-1$ oder, anders ausgedrückt:

Sei $m_T=f'(x_B)$ die Steigung der Tangente, dann ist

$m_N=-\frac{1}{m_T}=-\frac{1}{f'(x_B)}$

die Steigung der Normalen, also der negative Kehrwert der Tangentensteigung.

Die Normalengleichung sieht so „ähnlich“ aus wie die Tangentengleichung.

$n(x)=-\frac{1}{f'(x_B)}(x-x_B)+f(x_B)$.

Es soll die Normale des Graphen zu $f(x)=x^2-4x+4$ in dem Punkt $P(1|1)$ bestimmt werden.

Du kannst die bereits berechnete Steigung $m_T=-2$ verwenden und erhältst

$n(x)=-\frac1{-2}(x-1)+1=\frac12x-\frac12+1=\frac12x+\frac12$ .

In dieser Skizze siehst du den Graphen der Funktion, die Tangente (blau) sowie die Normale (grün) an dem Graphen der Funktion in dem Punkt $P(1|1)$.

Der Steigungswinkel einer Funktion

Der Steigungswinkel einer Funktion an einer gegebenen Stelle ist der Steigungswinkel der Tangente an dem Graphen an dieser Stelle.

Um den Steigungswinkel zu berechnen, benötigst du nicht die Tangentengleichung. Es genügt die Steigung der Tangente, also die Ableitung der Funktion an dieser Stelle.

Dabei musst du unterscheiden, ob ein positiver oder negativer Anstieg vorliegt:

• positiver Anstieg: $\alpha=\tan^{-1}(m)$
• negativer Anstieg: $\alpha=\tan^{-1}(m) + 180^\circ$

$\tan^{-1}$ ist die Umkehrung des Tangens ($\tan$). Sie wird auch als $\arctan$ bezeichnet.

Dies kannst du dir wieder an dem Beispiel $f(x)=x^2-4x+4$ anschauen mit $x=1$. Es ist $m=f'(1)=-2$. Hier musst du also die untere der beiden Formeln verwenden:

$\alpha=\tan^{-1} (-2)+180^\circ\approx -63,4^\circ +180^\circ=116,6^\circ$ .

Der Schnittwinkel zweier Funktionen

Der Schnittwinkel zweier Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ ist der Schnittwinkel der Tangenten der beiden Funktionen in dem Schnittpunkt.

Das bedeutet, dass du die folgenden Schritte durchführen musst, um einen Schnittwinkel zu berechnen:

• Berechne die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Funktionen, indem du die Gleichung $f(x)=g(x)$ nach $x$ umformst. Die Lösung(en) sei(en) $x_S$. Wenn du den Schnittpunkt berechnen sollst, setzt du $x_S$ in einer der beiden Funktionsgleichungen ein, um die y-Koordinate $y_S$ des Schnittpunktes zu erhalten.
• Nun berechnest du die Tangentensteigung für beide Graphen.

$\quad~~m_1=f'(x_S)$ sowie

$\quad~~m_2=g'(x_S)$.

• Wenn $m_1\cdot m_2=-1$ gilt, weißt du, dass die Tangenten orthogonal zueinander sind. Der Schnittwinkel beträgt dann $90^\circ$.
• Andernfalls kannst du den Schnittwinkel $\alpha$ der beiden Graphen mit Hilfe dieser Formel berechnen.

$\quad~~\alpha=\tan^{-1}\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2}\right|$