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Proportionale und antiproportionale Zuordnungen

Proportionalitätsfaktor, Quotientengleichheit, Wertetabelle, Produktgleichheit, Wertetabelle

Proportionale Zuordnung

Eine Zuordnung heißt proportional, wenn gilt: Zum Doppelten der Ausgangsgröße gehört das Doppelte der zugeordneten Größe, zum Dreifachen der Ausgangsgröße gehört das Dreifache der zugeordneten Größe, usw. Entsprechend gilt auch: zur Hälfte der Ausgangsgröße gehört die Hälfte der zugeordneten Größe usw.

Beispiel für eine proportionale Zuordnung

Frau Schmitt tankt 30 Liter Superbenzin und bezahlt dafür 45 Euro. Diese Aussage ist eine Zuordnung zwischen Bezinmenge und Preis. Das Volumen des Benzins in Litern ist die Ausgangsgröße, der Preis in Euro die zugeordnete Größe. In Kurzschreibweise: Volumen (l) → Preis (EUR).

Im obigen Beispiel gilt: 30 l → 45 Euro, gelesen: 30 Liter werden 45 Euro zugeordnet. Hätte Frau Schmitt 60 l getankt, hätte sie 90 Euro bezahlen müssen. Für die Zuordnung Benzinmenge → Preis gilt also: Verdoppelt sich die Ausgangsgröße, verdoppelt sich auch die zugeordnete Größe. Es handelt sich demnach um eine proportionale Zuordnung.

Da die Zuordnung proportional ist, kannst du auf einfache Weise weitere Wertepaare berechnen. Dazu stellst du eine Wertetabelle auf und multiplizierst oder dividierst Ausgangsgröße und zugeordnete Größe jeweils mit demselben Faktor:

Beispiel Wertetabelle proportionale Zuordnung

Quotientengleichheit

Wenn du in der Wertetabelle die zugeordnete Größe durch die entsprechende Ausgangsgröße teilst, erhälst du einen gleichbleibenden Wert:

Beispiel Rechnung proportionale Zuordnung

Diese Eigenschaft nennt man Quotientengleichheit. Du kannst sie nutzen, um zu überprüfen, ob es sich bei einer Zuordnung um eine proportionale Zuordnung handelt. Wenn du den konstanten Wert kennst, kannst du damit auch die zugeordnete Größe berechnen: zugeordnete Größe = konstanter Wert mal Ausgangsgröße.

Graphische Darstellung proportionale Zuordnung

Eine Zuordnung lässt sich grafisch in einem Koordinatensystem darstellen. Dabei wird die Skala für die Ausgangsgröße auf der Rechtsachse (x-Achse) abgetragen und die Skala für die zugeordnete Größe auf der Hochachse (y-Achse). Im obigen Beispiel gehört also das Volumen (l) auf die Rechtsachse und der Preis (Euro) auf die Hochachse.

Die Wertepaare (Volumen/Preis) werden als Punkte in das Koordinatensystem eingetragen. Im Beispiel sind das die Punkte (5/7,50), (10/15), (15/22,50), (30/45), (60/90) und (90/135). Verbindest du die Punkte miteinander, so stellst du fest, dass sie auf einer Halbgeraden liegen, die im Punkt (0/0) beginnt.

Koordinatensystem proportionale Zuordnung

Antiproportionale Zuordnung

Eine Zuordnung heißt antiproportional oder umgekehrt proportional, wenn gilt: Zum Doppelten der Ausgangsgröße gehört die Hälfte der zugeordneten Größe, zum Dreifachen der Ausgangsgröße gehört das Drittel der zugeordneten Größe usw. Entsprechend gilt auch: Zur Hälfte der Ausgangsgröße gehört das Doppelte der zugeordneten Größe usw.

Beispiel für eine antiproportionale Zuordnung

Der Lebensmittelvorrat im Basislager einer Himalaja-Expedition reicht bei zehn Teilnehmern 24 Tage. Wie lange reicht derselbe Vorrat bei 20 oder 30 Teilnehmern? Wie lange reicht er bei fünf oder gar nur zwei Teilnehmern?

Bei diesem Beispiel wird vorausgesetzt, dass jedes Mitglied der Expedition jeden Tag gleich viele Lebensmittel verbraucht. Dann reicht der Vorrat für 20 Teilnehmer nur halb so lange wie für zehn Teilnehmer und für fünf Teilnehmer doppelt so lange wie für zehnt Teilnehmer. Die Ausgangsgröße ist die Anzahl der Teilnehmer und die zugeordnete Größe die Zeit in Tagen. In Kurzschreibweise: Teilnehmer (Anzahl) → Zeit (Tage), im Beispiel also 10 Teilnehmer → 24 Tage.

In der Wertetabelle musst du im Unterschied zur proportionalen Zuordnung auf der rechten Seite immer die Gegenoperation zu der Operation auf der linken Seite durchführen. Wenn du links mit einer Zahl multiplizierst, musst du rechts durch die Zahl dividieren und umgekehrt.

Beispiel Wertetabelle antiproportionale Zuordnung

Produktgleichheit

Wenn du bei einer antiproportionalen Zuordnung in der Wertetabelle die Ausgangsgröße und die zugeordnete Größe multipliziert, erhälst du stets denselben Wert: Ausgangsgröße ∙ zugeordnete Größe = konstanter Wert. Im Expeditionsbeispiel erhälst du den konstanten Wert 240.

Diese Eigenschaft nennt man Produktgleichheit. Du kannst sie benutzen, um zu überprüfen, ob es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt. Wenn du den konstanten Wert kennst, kannst du damit auch die zugeordnete Größe berechnen: zugeordnete Größe = konstanter Wert : Ausgangsgröße.

Graphische Darstellung antiproportionale Zuordnung

Auch die antiproportionale Zuordnung kannst du im Koordinatensystem darstellen. Die Skala für die Ausgangsgröße wird wieder auf der Rechtsachse (x-Achse) abgetragen und die Skala für die zugeordnete Größe auf der Hochachse (y-Achse).

Koordinatensystem antiproportionale Zuordnung

Die Punkte des Graphen einer antiproportionalen Zuordnung liegen immer auf einer Kurve. Diese Kurve nennt man Hyperbel.