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Zinsrechnung – Konto

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Zinsrechnung – Konto
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Zinsrechnung – Konto

Herzlich Willkommen! Steht eure Abschlussprüfung in der 10. Klasse kurz bevor? Habt ihr noch Fragen zum Thema „ Zinsrechnung “ ? Kein Problem! Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung. Solltest du von der Prozentrechnung also noch keinerlei Ahnung haben, empfiehlt es sich, diese erst einmal in unserem Video zur Prozentrechnung nachzuarbeiten. Im Video wird dir noch einmal ausführlich gezeigt, wie du verschiedene Aufgaben zur Zinsrechnung lösen kannst. Des Weiteren wird mit dir zusammen die Zinsformel behandelt, damit du in der Lage bist die verschiedenen Aufgaben schneller zu bearbeiten. Viel Erfolg beim Lernen!

Transkript Zinsrechnung – Konto

Hallo, wir haben das Thema Zinsen, da bist du vielleicht auch schon so drauf gekommen, wenn man sich das hier so anguckt. Das Thema Prozente und Zinsen kommt vor hier in der Liste der Themen bei den Pflichtaufgaben, deshalb zeige ich ein Thema zu den Zinsen, eine Aufgabe zu den Zinsen meine ich, ich bin schon ganz tüterich hier. Also, wie könnte die Aufgabe lauten: ein Kapital von 1800Euro wird in den ersten beiden Jahren mit jeweils 1,5% verzinst, im 3. Jahr wird es mit 2% verzinst. Wie groß ist das Endkapital bzw. wie viel bekommt man nach dem Ende des 3. Jahres ausgezahlt. Da gibt es 3 Möglichkeiten, ich möchte alle 3 zeigen. Ich fange mit der umständlichsten an. Es wäre möglich, das mit einem Dreisatz zu berechnen. Kommen hier Euro hin, ja, das ist ein Euro-Zeichen, auch wenn man es nicht sehen kann, hier sind die %. Ich fange an mit 1800Euro;, das entspricht also 100%, dann kann man auf 1% herunterrechnen, das sind übrigens 18Euro;, man muss auf beiden Seiten durch 100 teilen, dann möchten wir wissen, also 1,5% von 1800Euro;, da muss ich hier die 18 mit 1,5 multiplizieren, d. h. einfach die Hälfte von 18 drauf und das ist 27 und das bringt dich überhaupt nicht aus der Ruhe, das wusstest du genau so wie ich, genau so schnell, hoffe ich zumindest. Wir haben die Zinsen ausgerechnet, 27Euro;, am Ende des 1. Jahres haben wir 1827, die Zinsen muss man ja jetzt einfach zum Kapital hinzuaddieren. Wenn man das jetzt für das 2. Jahr ausrechnen möchte, muss man hier also statt 1800 1827 ausrechnen. Übrigens, 1% wird dann anders sein, nämlich 18,27Euro und wenn man 18,27Euro mit 1,5 multipliziert kommt auch mehr heraus als 27. Ich sag das nur mal, falls du das so rechnen möchtest. Nicht, dass du dich wunderst, dass da was anderes rauskommt. Ist ja normal so, wenn die Zinsen, die man zu einem Kapital hinzu erhält im nächsten Jahr, im darauf folgenden Jahr, wieder verzinst werden bekommt man Zinseszinsen und das, was man an Zinsen bekommt wird also immer größer, weil das Kapital ja auch immer größer wird. Zweite Möglichkeit.. also diese Möglichkeit ist sehr umständlich, du musst 3 Mal  einen Dreisatz machen und 3 Mal  was dazu addieren. Ich hoffe, du  machst das nicht so und kannst das einfacher und schneller. Ich möchte eine zweite Möglichkeit zeigen, und zwar die Möglichkeit mit der Zinsformel. Du hast die Zinsformel in deiner Formelsammlung angegeben und da steht Folgendes: Z=K×p÷100×i. So und da bekommen wir eine mittelschwere Katastrophe. In deiner Formelsammlung steht, dass i die Zeit ist. Folgendes ist gemeint: du kannst Zinsen ausrechnen, wenn.. also du kannst mit dieser Formel Zinsen ausrechnen, wenn du das Jahr in Monate unterteilst und z. B. wissen möchtest, wie viele Zinsen bekomme ich nach 3,4,5 Monaten ausbezahlt. Das ist x, ist die Anzahl der Monate und weil das Jahr 12 Monate hat, wird hier durch 12 geteilt. Du kannst also hier statt i, statt Zeit, Monate÷12 eingeben, einsetzen für i und dann auf die richtigen Zinsen kommen. Du kannst auch, wenn du wissen möchtest wie viele Zinsen bekomme ich nach 243 Tagen, dann kannst du hier die Anzahl der Tage, ich schreibe mal t dahin, dann hätte ich vielleicht auch hier sinnigerweise m schreiben sollen, Anzahl der Monate, wie auch immer, du weißt, was ich meine. Anzahl der Tage÷360, so kann man das ausrechnen. Was aber nicht geht und wo man.. wo eben die Katastrophe hereinkommt ist, du kannst für i nicht die Anzahl der Jahre einsetzen. Man könnte vielleicht meinen, da steht doch Zeit, also darf Zeit auch Anzahl der Jahre sein, nein, dafür ist diese Formel nicht gemacht für die Anzahl der Jahre musst du was anderes rechnen. Und zwar deshalb, wenn du hier einfach statt i 2 hinschreiben würdest, dann würden ja die Zinsen, die man hier ja so korrekterweise nach dem 1. Jahr ausgerechnet hätte,  sich einfach verdoppeln. Tun sie aber nicht, wie du an dem Dreisatz sehen kannst. Wie ich schon sagte, wenn du den zum 2. Mal ausführst sind die Zinsen, die man bekommt, nicht 27Euro sondern etwas mehr. Das wäre falsch, wenn du für i die Anzahl der Jahre eingibst. Wollte ich nur in aller Deutlichkeit sagen, normalerweise würde man ja sagen, wenn da die Zeit steht und die Zeit 2 Jahre ist, kann ich auch 2 Jahre eingeben. Ist hier aber falsch. So. Noch eine Anmerkung zu dieser Zinsformel: p sind die % bzw. die %-Zahl, d. h. 1,5. Der Fehler wird oft gemacht, dass für p 1,5% hier hingeschrieben wird, das ist falsch. Hier muss die %-Zahl stehen, wenn wir 1,5% Zinsen bekommen, muss hier 1,5 stehen, wenn wir 2% Zinsen bekommen, muss hier eine 2 stehen und nicht 2%, man kann das gar nicht deutlich genug sagen. D. h., wenn du jetzt also mit dieser Formel die Zinsen ausrechnen möchtest, kannst du machen im 1. Jahr, dann musst du die Zinsen zum Kapital dazu addieren, also zu den 1800Euro. Dann erhältst du im Ganzen als neues Kapital im 2. Jahr 1827Euro;, musst das hier für das Kapital wieder eingeben, für p 1,5. Dann erneut die Zinsen ausrechnen, zu dem am Ende des Jahres entstandenen Kapital von 1827 die Zinsen dazu addieren und dann im 3. Jahr hier wieder den Betrag am Ende des 2. Jahres einsetzen und hier für p die 2 einsetzen. Das mach ich jetzt nicht alles, und zwar deshalb, weil es nämlich eine Rechnung gibt, die wesentlich einfacher ist und die möchte ich hier eigentlich zeigen und ich hoffe, dass du sie im Unterricht auch kennengelernt hast, weil das nämlich die Sache ganz enorm vereinfacht. Wir haben 1800Euro und verzinsen diese 1800Euro im 1.Jahr und überlegen uns, wenn wir.. also 1,5% dazubekommen, dann haben wir ja im Ganzen 101,5%. Das bedeutet, ich kann das auch so ausrechnen, dass ich einfach 1800 mit 1,015 multipliziere. 101,5% ist dieselbe Zahl wie 1,015, denn % bedeutet einfach Hundertstel oder ÷100. 101,5÷100 ergibt einfach nur 1,015. Wenn ich das Kapital damit multipliziere, habe ich das Kapital am Ende, das Gesamtkapital am Ende des 1. Jahres. Dann muss ich das also hier im 2. Jahr wieder verzinsen, im 2. Jahr erhalte ich wieder von diesem Kapital hier 101,5%, d. h. ich muss wieder mit 1,015 multiplizieren und dann das Ganze noch mal fürs 3. Jahr machen. Das passt hier nicht mehr hin, deshalb schreib ich das in eine neue Zeile, und zwar gleich in der Form, die dann die eigentliche Rechnung darstellt. Wenn ich nämlich hier das einklammere und noch mal multipliziere, dann kann ich mir die Klammern sparen, hier steht ×1,015×1,015, wie man das platzsparend hinschreibt, weißt du, nämlich das ist ×1,015² und das ist das Kapital am Ende des 2. Jahres. Am Ende des 3. Jahres haben wir 102% dieses Kapitals, d. h. wir müssen mit 1,02 multiplizieren. Und das ist also die gesamte Rechnung, die man braucht, um das Kapital am Ende der 3 Jahre zu kennen. Das rechne ich eben nach: 1800×1,015²×1,02, das sind also1891..  ja, jetzt steht hier Komma 4931, wir sind im Euro-Bereich, wir runden auf Cent selbstverständlich, weil man nur ganze Cent ausbezahlt bekommt, also Komma 49, das ist das Kapital am Ende der 3 Jahre. Und ich wollte das nur mal vormachen, das hier ist eine Sache  von fast wenigen Sekunden, um das auszurechen. Wenn man es jeweils mit dem Dreisatz  macht dauert es doch erheblich viel länger und die Zeit, die man hier spart, die kann man lieber sinnvoller nutzen in der Abschlussarbeit, nämlich sich auf die schwierigen Aufgaben stürzen und schöne Lösungsideen entwickeln, das ist dann effektiver. Ich hoffe also, dass du das so rechnen kannst, weil es dann sehr schnell geht. Ja, ich glaube, das war es dazu. Irgendwie fiel mir noch ein, dass ich noch was dazu sagen wollte.. ach so, der Antwortsatz fehlt noch: Irgendwie fiel mir noch ein, dass ich noch was dazu sagen wollte.. ach so, der Antwortsatz fehlt noch: Das Kapital am Ende der 3 Jahre besteht nun aus Euro fertig . Viel Spaß damit, Tschüss.

15 Kommentare

15 Kommentare
  1. Sehr hilfreich

    Von Lucaseidler04, vor etwa 2 Jahren
  2. Hallo Jk Fleischer,
    meinst du die Variable t? Das t steht für die Anzahl an Tagen.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor mehr als 2 Jahren
  3. Bei der Lösung von der 5 Aufgabe weiß ich bei der obersten nicht was das "T" bedeutet
    Kann mir das jemand sagen?

    Von Jk Fleischer, vor mehr als 2 Jahren
  4. Hallo Mja Schwarz 1,
    deine Rechnung stimmt auch, du kannst beide Wege benutzen.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor mehr als 2 Jahren
  5. ich hätte noch eine andere art zu rechnen:
    w=g*p/100 also 1800*1,5/100 das wären auch 27

    Von Mja Schwarz 1, vor mehr als 2 Jahren
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Zinsrechnung – Konto Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zinsrechnung – Konto kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Dreisatztabelle, um die Höhe der Zinsen zu berechnen.

    Tipps

    Die beiden Größen Euro und Prozent sind proportional zueinander. Jeder Rechenschritt, der auf einer Seite ausgeführt wird, wird auf der anderen Seite genauso ausgeführt.

    Letztendlich will man herauszufinden, wie viel $1,5~\%$ von $1800$ Euro sind.

    Lösung

    Auf beiden Seiten der Tabelle muss man denselben Rechenschritt ausführen.

    Auf der rechten Seite rechnen wir uns von $100$ auf $1$ Prozent herunter. Dies gelingt, indem wir durch Hundert teilen.

    Das müssen wir auch auf der linken Seite tun.

    $1800 : 100 = 18$

    Somit entspricht $1~\%$ des angelegten Geldes genau $18$ Euro.

    Nun schreiben wir in die letzte Lücke der rechten Spalte den betrachteten Prozentsatz, in diesem Fall die $1,5~\%$, zu dem das Geld angelegt wird. Darauf kommen wir, indem wir $1 \cdot 1,5$ rechnen. Also müssen wir auch links mit $1,5$ multiplizieren.

    Somit erhalten wir den Prozentwert, d.h. die Höhe der Zinsen. Die Zinsen betragen genau:

    $18 \cdot 1,5 = 27$ Euro.

  • Berechne die Höhe des Kapitals nach drei Jahren.

    Tipps

    Wenn man einen Anteil in Prozent zu einem Betrag dazu rechnen möchte, kann man das folgendermaßen tun:

    $100~\% + 7~\% = 107~\% =1,07$.

    Auf diese Weise kann man Rechnungen vereinfachen:

    $a \cdot b \cdot b = a \cdot b^2$.

    Nach einem Jahr haben wir also $(1800 \cdot 1,015)$ Euro Kapital.

    Wir multiplizieren erneut und erhalten $((1800 \cdot 1,015) \cdot 1,015)$ Euro als neues Kapital nach dem zweiten Jahr.

    Lösung

    Betrachten wir die Werte, die uns bekannt sind.

    Wir beginnen mit $1800$ Euro, die drei Jahre lang angelegt werden sollen.

    Im ersten Jahr kommen $1,5~\%$ Zinsen dazu. Diese Zinsen kann man direkt auf das Kapital heraufrechnen, indem man das Kapital mit $1,015$ multipliziert.

    Nach einem Jahr haben wir also

    $(1800 \cdot 1,015)$ Euro Kapital.

    Im zweiten Jahr kommen zu diesem neuen Kapital erneut $1,5~\%$ Zinsen dazu. Wir multiplizieren erneut und erhalten

    $((1800 \cdot 1,015) \cdot 1,015)$ Euro

    als neues Kapital nach dem zweiten Jahr.

    Im dritten Jahr erhöhen sich die Zinsen, auf das zuletzt berechnete Kapital kommen noch einmal $2~\%$ Zinsen.

    Als Rechnung für das Endkapital kann man also rechnen:

    $(((1800 \cdot 1,015) \cdot 1,015) \cdot 1,02)$ Euro.

    Da hier ausschließlich multipliziert wird, kann man die Klammern weglassen und die zwei identischen Faktoren zusammenfassen:

    $1800 \cdot 1,015^2 \cdot 1,02$.

    Nachdem wir dies mit dem Taschenrechner ausrechnen, erhalten wir als neues Kapital nach drei Jahren Verzinsung

    $1891,4931 = 1891,49$ Euro.

    Wir runden bei solchen Aufgaben immer auf zwei Nachkommastellen genau, da es sich um Geldbeträge, also um Euros und Cents handelt.

  • Ermittle die Höhe des Kapitals nach neun Monaten.

    Tipps

    Da hier von Monaten die Rede ist, brauchst du die Formel für Monatszinsen.

    Es gilt:

    Die Formel liefert dir die Höhe der Zinsen, gesucht ist jedoch das neue Kapital nach neun Monaten.

    Lösung

    Da hier von Monaten die Rede ist, brauchen wir die Formel für Monatszinsen.

    Diese lautet:

    $Z=\frac{K \cdot p}{100} \cdot \frac{m}{12}$.

    In diese setzen wir die uns bekannten Werte ein und rechnen aus:

    $Z=\frac{400 \cdot 4,3}{100} \cdot \frac{9}{12} = 12,9$.

    Die Höhe der Zinsen beträgt also $12,90$ Euro. Gesucht ist aber die Höhe $K_{neu}$ des neuen Kapitals. Daher müssen wir das alte Kapital zu den Zinsen dazuaddieren:

    $K_{neu}=400 + 12,9 = 412,90$ Euro.

  • Bestimme die Höhe der Zinsen.

    Tipps

    Es ist jedes Jahr ein neuer Betrag, zu dem die Zinsen dazukommen. Es wird aufgezinst.

    Man kann das neue Kapital auch so berechnen:

    $K_{neu}= K_{alt} \cdot (1+\frac{p}{100})^n$.

    Für n setzt du die Anzahl der Jahre in die neue Formel ein.

    Ziehe von $K_{neu}$ das Ausgangskapital ab.

    Lösung

    Sammeln wir zunächst die Werte aus der Aufgabe.

    Man möchte hier $7000$ Euro zu $6~\%$ für fünf Jahre anlegen.

    Wenn man zum Beispiel zehn Prozent zu Hundert dazurechnen will, rechnet man

    $100 \cdot 1,1 = 110$.

    So funktioniert das auch hier. Die sechs Prozent multipliziert man zum Ausgangskapital hinzu.

    $7000 \cdot 1,06$

    Das wäre allerdings nur die Verzinsung des Kapitals für ein Jahr. Für mehrere Jahre ergibt sich diese Formel, mit n in Jahren:

    $K_{neu}= K_{alt} \cdot (1+\frac{p}{100})^n$.

    Wir rechnen also:

    $7000 \cdot 1,06^5 = 9367,579048 \approx 9367,58$.

    Dies ist das Kapital nach fünf Jahren, gesucht sind aber nur die Zinsen, daher ziehen wir von diesem Ergebnis das Ausgangskapital ab:

    $Z= 9367,58 - 7000 = 2367,58$ Euro.

  • Benenne die Formeln für Zinsrechnung.

    Tipps

    Die Variablen einer Formel bestehen meistens aus den Anfangsbuchstaben der zu berechnenden Größen.

    Der zweite Bruch beschreibt jeweils den Anteil an einem ganzen Jahr.

    Lösung

    Wie in vielen anderen Formel der Mathematik besteht auch ein Großteil der Formeln aus der Zinsrechnung aus den Anfangsbuchstaben der betrachteten Größen. So ergibt sich diese allgemeine Formel für Zinsen:

    $\large{\text{Zinsen}=\frac{\text{Kapital}~ \cdot~ \text{Prozentzahl}}{100} \cdot \text{Zeit}}$.

    Im Fall der Zeit müssen wir zwischen zwei Fällen unterscheiden: den Monats- und Tageszinsen. Hier dürfen wir keine Jahre einsetzen.

    Die folgenden Formeln muss man also dann verwenden, wenn man nicht mit Jahren rechnet.

    Zuerst die Formel für Monatszinsen:

    $Z=\frac{K \cdot p}{100} \cdot \frac{m}{12}$.

    Für m setzt man die Anzahl der Monate ein, nach denen man die Zinsen berechnen möchte. Man teilt durch die Anzahl aller Monate eines Jahres, weil man den Anteil am ganzen Jahr berechnen möchte.

    Kann man auch nicht mit ganzen Monaten rechnen, nimmt man die Formel für Tageszinsen:

    $Z=\frac{K \cdot p}{100} \cdot \frac{t}{360}$.

    Hier kann man für t die Anzahl der Tage einsetzen. Auch dieser Bruch soll wieder den Anteil am ganzen Jahr darstellen.

  • Gib die Anzahl der Tage an.

    Tipps

    Hier brauchst du die Formel für Tageszinsen.

    Es gilt:

    Du musst versuchen, die Formel nach t umzustellen und die richtigen Werte einzusetzen.

    Lösung

    Da es hier um Tage geht, benötigen wir die Formel für Tageszinsen. Sie lautet:

    $Z=\frac{K \cdot p}{100} \cdot \frac{t}{360}$.

    Wir müssen sie nach t umstellen, um die Tagesanzahl zu ermitteln.

    Da die zwei Brüche miteinander multipliziert werden, können wir sie auch als einen einzigen Bruch schreiben:

    $Z=\frac{K \cdot p \cdot t}{100 \cdot 360}$.

    Nun multiplizieren wir mit dem Nenner, um den Bruch zu eliminieren:

    $Z \cdot 100 \cdot 360 = K \cdot p \cdot t$.

    Nun teilen wir noch durch die beiden Faktoren, die wir nicht berechnen wollen, tauschen die Seiten und erhalten als Formel für die Tage:

    $t=\frac{Z \cdot 100 \cdot 360}{K \cdot p}$.

    Wir haben auch schon alle Werte, die wir einsetzen müssen. Der Wert für Z ist die Differenz zwischen altem und neuem Kapital:

    $Z=2545,83 - 2500 = 45,83$.

    Für K nehmen wir das Ausgangskapital, nicht das neue.

    Wir setzen ein und berechnen die Anzahl der Tage:

    $t= \frac{45,83 \cdot 100 \cdot 360}{2500 \cdot 2,5} = 263,9808 \approx 264$ Tage.

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