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Wurzelgleichungen lösen 03:26 min

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Transkript Wurzelgleichungen lösen

Der Universalgelehrte Leo Vitruvius beherrscht viele Dinge. Er ist Erfinder, Maler und ein glänzender Mathematiker. Der Bankier Lorenzo de Medici hat Leo beauftragt, die erste Flugmaschine der Welt zu entwickeln. Lorenzo wünscht sich, dass Leo die Propeller in den Wappenfarben der Familie Medici anmalt. Er gibt Leo besondere Instruktionen. Aber was ist das? Die Farben sind als Gleichung angegeben? Um die Aufgabe zu erfüllen, muss Leo Wurzelgleichungen lösen. Leo Vitruvius geht zum Farbengeschäft seines Vertrauens. Herrje, es gibt so viele verschiedene Farben. Hier sieht es aus wie in einer Farbbibliothek. Schauen wir uns Leos Anweisungen an. Nein! Das Farbengeschäft beschriftet die Farben anders. Der Ladenbesitzer sieht völlig verwirrt aus. Die erste Gleichung lautet wie folgt: Wurzel von x plus 6 ist gleich 9. Wenn man Wurzelgleichungen löst, sollte man als Erstes die Wurzel isolieren. Wir nutzen die Umkehroperation, subtrahieren also sechs, um die Quadratwurzel von x zu isolieren. Die Umkehroperation des Wurzelziehens ist das Quadrieren, daher quadrieren wir beide Seiten, um die Wurzel zu entfernen, und kommen zu der Lösung x ist gleich 9. Diese Farbe kann Leo Vitruvius also schon mal kaufen. Die anderen Gleichungen scheinen nicht so einfach zu sein. Die nächste Farbe auf der Liste hat die Gleichung 4 ist gleich 2 mal Wurzel von x durch 3. Diese Gleichung sieht anders aus. Mal schauen, ob wir dennoch die passende Farbe finden. Zuerst isolieren wir die Wurzel, indem wie beide Seiten durch 2 teilen. Als Nächstes quadrieren wir beide Seiten, wie vorher auch. Und als Letztes lösen wir mit der Umkehroperation nach x auf. Auch diese Farbe legt Leo in den Einkaufskorb. Die nächste Gleichung ist, oh oh jetzt steckt Leo in Schwierigkeiten. Eine Wurzel auf jeder Seite? Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung und lassen so die Wurzeln verschwinden. Das sieht schon viel besser aus. Jetzt isolieren wir einfach das x und teilen zum Schluss durch 4, um nach x aufzulösen. Das Ergebnis: x ist gleich 5. Diese Gleichungen sehen ja immer verwirrender aus. Aber Leo hält sich an seine Checkliste. x ist gleich die Wurzel aus 2x + 8. Die Wurzel steht schon isoliert, also müssen wir beide Seiten quadrieren, um sie loszuwerden. Diese Gleichung kommt Leo bekannt vor. Leo weiß, dass er diese quadratische Gleichung in die Normalform übertragen kann. Dann stehen ihm verschiedene Lösungswege offen. Leo entscheidet sich dazu, sie zu faktorisieren. Er findet die Lösung und legt die letzte Farbe in den Einkaufskorb. Jetzt hat Leo alle Farben, die er braucht. Zurück zur Flugmaschine. So, nur noch der letzte Feinschliff. Zeit für einen kleinen Testflug.

3 Kommentare
  1. Es tut mir leid . Ich habe mich vertippt . Ich meine , deswegen kann das Ergebnis nicht -4 und 2 sein : )

    Von Marta Wojewska, vor 4 Monaten
  2. An Bonnypreikschas:
    bei der letzten Aufgaben kommen zwei Lösungen heraus , weil da zwei mal Klammer vorhanden ist . So hat man zwei Möglichkeiten auf die null zu kommen . Man kann 0 (x +2 ) = 0 , oder ( x-4 ) 0 = 0 rechnen . Das Ergebis kann nicht 4 und - 2 , weil dann bekommt man nicht die 0 raus , sondern -4-4 = -8 und 2+2 =4 : )

    Von Marta Wojewska, vor 4 Monaten
  3. Weshalb kommen hier zwei Lösungen bei der letzten Aufgabe heraus? Und wieso 4 und -2 und nicht -4 und 2 (weil es steht ja da x-4 und x+2)?

    Von Bonnypreikschas, vor 4 Monaten

Wurzelgleichungen lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzelgleichungen lösen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Wurzelgleichungen.

    Tipps

    Eine Umkehroperation ist die mathematische Operation, die du auf eine andere Operation anwenden kannst, um deinen ursprünglichen Wert zu erhalten.

    Die Umkehroperation von mit $3$ zu multiplizieren, ist durch $3$ zu teilen. Denn: $\frac{3 x}{3}=x$.

    $\sqrt{9}$ hat die Lösungen $-3$ und $3$, denn beide Zahlen ergeben mit sich selbst multipliziert $9$.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Die Umkehroperation der Quadratwurzel ist die Multiplikation mit einer Konstante.“

    Eine Umkehroperation ist die mathematische Operation, die du auf eine andere Operation anwenden kannst, um deinen ursprünglichen Wert zu erhalten. Die Umkehroperation der Quadratwurzel ist quadrieren. Denn es gilt: $\sqrt{x}^2=x$

    „Ziehst du die Quadratwurzel einer Zahl, ergibt sich immer genau eine Lösung.“

    Eine Quadratwurzel hat oft zwei reelle Lösungen. Zum Beispiel hat $\sqrt{9}$ die Lösungen $-3$ und $3$, denn beide Zahlen ergeben mit sich selbst multipliziert $9$.

    Diese Aussagen sind richtig:

    „ Um eine Wurzelgleichung zu lösen, solltest du, soweit möglich, zuerst die Variablen unter dem Wurzelzeichen isolieren.“

    „Enthält deine Gleichung nur eine Variable unter einer Wurzel, kannst du die Variable isolieren, indem du durch Rechenoperationen alle Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens verschiebst.“

    Das ist eine gute Strategie beim Lösen von Wurzelgleichungen.

    „Quadrieren ist die Umkehroperation der Quadratwurzel.“

  • Bestimme den nächsten Schritt beim Lösen von Wurzelgleichungen.

    Tipps

    Stehen auf der Seite des Wurzelterms noch andere Zahlen, die nicht unter der Wurzel stehen, musst du zuerst die Wurzel isolieren.

    Hast du bereits quadriert, kommt also keine Wurzel in deiner Gleichung mehr vor, kannst du die Variable isolieren.

    Lösung

    Stehen auf der Seite des Wurzelterms noch andere Zahlen, die nicht unter der Wurzel stehen, musst du zuerst die Wurzel isolieren. Das ist bei diesen Gleichungen der Fall:

    $\sqrt{x}+6=9$ und $4=2 \sqrt{\frac{x}{3}}$

    Steht die Wurzel bereits alleine auf einer Seite, kannst du quadrieren. Das ist bei diesen Gleichungen der Fall:

    $\sqrt{x}=3$, $2= \sqrt{\frac{x}{3}}$, $\sqrt{5x-11}=\sqrt{x+9}$ und $x=\sqrt{2x+8}$

    Hast du bereits quadriert, kommt also keine Wurzel in deiner Gleichung mehr vor, kannst du die Variable isolieren. Das geht bei den Gleichungen:

    $4=\frac{x}{3}$ und $5x-11=x+9$

  • Bestimme die Ergebnisse der Wurzelgleichungen.

    Tipps

    Beim Rechnen mit Wurzelgleichungen solltest du die Wurzel zuerst so weit wie möglich isolieren, bevor du quadrierst.

    Steht unter der Wurzel nicht nur eine Variable, sondern ein Term mit Variable (z.B. $\sqrt{3x+4}$), musst du zuerst quadrieren, um mit dem Term rechnen zu können ($\sqrt{3x+4}^2= 3x+4$).

    Lösung

    Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

    „(...)Als ersten Schritt dividiert er durch $2$ und quadriert anschließend die Gleichung. Dann erhält er:

    $4=\frac{x}{3}$

    Durch Multiplikation mit $3$ erhält er seine Lösung:

    $x=12$“

    • In dieser Gleichung musst du die Wurzel zuerst isolieren, bevor du quadrieren kannst.
    „Die nächste Gleichung auf seiner Liste lautet:

    $\sqrt{5x-11}=\sqrt{x+9}$

    Hier quadriert er zuerst:

    $5x-11=x+9$

    Anschließend löst er die Gleichung auf, indem er mit $11$ addiert und $x$ subtrahiert.

    $4x=20$

    Nach einer Division durch $4$ erhält er:

    $x=5$“

    • Hier besteht die ursprüngliche Gleichung bereits aus zwei Wurzeln. Um mit den Werten unter der Wurzel rechnen zu können, musst du zuerst quadrieren.
    „Die letzte Gleichung

    $x=\sqrt{2x+8}$

    (...) quadriert er zuerst.

    $x^2 = 2x + 8$

    Dann schreibt er die quadratische Gleichung in die Normalform um:

    $0=x^2 -2x-8$

    Anschließend löst er die Gleichung durch Faktorisierung und erhält:

    $0=(x-4) \cdot (x+2)$

    Die Gleichung hat also die Lösungen $x_1=-2$ und $x_2=4$.“

    • Auch hier musst du zuerst quadrieren, damit du mit den Zahlen unter der Wurzel rechnen kannst. Dabei entsteht eine quadratische Gleichung, die hier durch Faktorisieren gelöst wird. Du könntest aber auch die Mitternachts- oder $p-q$-Formel anwenden.
  • Erschließe, welche Gleichungen korrekt gelöst wurden.

    Tipps

    Bei der Gleichung

    $\dfrac{3+x}{\sqrt{3x}} = \dfrac{3+x}{3x}$

    kannst du durch geschicktes Dividieren zur Lösung gelangen. Der Faktor $3+x$ kommt auf beiden Seiten der Gleichung vor.

    Die Gleichung

    $\sqrt{\dfrac{5x-15}{x^3-3x^2}}=\sqrt{5}x$

    kannst du im Bruch geschickt ausklammern und kürzen.

    Die Gleichung $x^2=1$ hat eine positive und eine negative Lösung.

    Lösung

    Diese Rechnungen sind falsch:

    „$\dfrac{3+x}{\sqrt{3x}} = \dfrac{3+x}{3x}$ hat die Lösung $x=\frac{1}{6}$“

    Hier kannst du durch geschicktes Dividieren zur Lösung gelangen. Der Faktor $3+x$ kommt auf beiden Seiten der Gleichung vor. Du kannst also durch ihn teilen.

    $\begin{array}{&&&} \dfrac{3+x}{\sqrt{3x}} &= \dfrac{3+x}{3x} &\vert :(3+x) \\ \dfrac{1}{\sqrt{3x}} &= \dfrac{1}{3x} &\vert \cdot 3x \\ \dfrac{3x}{\sqrt{3x}} &=1 \\ \sqrt{3x} &=1&\vert ()^2\\ 3x &= 1&\vert :3\\ x &= \frac{1}{3}\\ \end{array}$

    „$\dfrac{\sqrt{2x+6}}{\sqrt{5x-5}}=\dfrac{6}{5}$ hat die Lösung $x=1$“

    Setzt du $x=1$ in die Gleichung ein, erhältst du $0$ im Nenner des Bruchs. Das ist nicht definiert, da man nicht durch $0$ teilen kann. Die Gleichung hat stattdessen die Lösung $x=15$. (Überzeuge dich davon durch Einsetzen!)

    Diese Rechungen sind richtig. Du kannst sie auf ähnliche Art und Weise wie die beiden ersten Rechnungen bestimmen:

    „$\sqrt{\dfrac{5x-15}{x^3-3x^2}}=\sqrt{5}x$ hat die Lösung $x=1$“

    Hier kannst du im Bruch geschickt ausklammern und kürzen. Beachte außerdem, dass die Gleichung $x^2=1$ eine positive und eine negative Lösung hat.

    „$\begin{array}{&&&} \sqrt{\dfrac{5x-15}{x^3-3x^2}}&=\sqrt{5}x \\ \sqrt{\dfrac{5(x-3)}{x^2(x-3)}}&=\sqrt{5}x \\ \sqrt{\dfrac{5}{x^2}}&=\sqrt{5}x \\ \dfrac{\sqrt{5}}{x}&=\sqrt{5}x &\vert :\sqrt{5} \\ \dfrac{1}{x} &=x &\vert \cdot x\\ x^2&=1 &\vert \sqrt{}\\ x&= \pm 1\\ \end{array}$

    Die negative Lösung $x=-1$ ist allerdings eine „faule“ Lösung, da sie in die Wurzelgleichung eingesetzt, diese nicht löst.

    „$\sqrt{\dfrac{3x^2-6x}{3x}}=1$ hat die Lösung $x=3$“

    „$\sqrt{\dfrac{3x^3-5x^2}{27x-45}}=2x^2$ hat die Lösung $x=\frac{1}{6}$“

  • Ermittle die Lösung der Gleichungen.

    Tipps

    Du kannst die Lösungen zuordnen, indem du die Wurzelgleichungen löst. Dazu musst du zuerst den Wurzelterm isolieren, also auf eine Seite der Gleichung bringen. Anschließend quadrierst du und löst nach $x$ auf.

    Lösung

    Du kannst die Lösungen zuordnen, indem du die Wurzelgleichungen löst. Dazu musst du zuerst den Wurzelterm isolieren, also auf eine Seite der Gleichung bringen. Anschließend quadrierst du und löst nach $x$ auf. Zum Beispiel erhältst du für:

    $\begin{array}{&&&} -\sqrt{x}-4&=\sqrt{x} +2 &\vert + \sqrt{x} \\ -4&=2\sqrt{x} +2 &\vert -2 \\ -6&=2\sqrt{x} &\vert :2 \\ -3&=\sqrt{x} &\vert ()^2 \\ 9&=x\\ \end{array}$

    Ähnlich kannst du die anderen Gleichungen berechnen. Dann erhältst du:

    • Die Lösung zu $\sqrt{3x}-4=-1$ lautet $x=3$.
    • $x=4$ löst die Gleichung $\sqrt{x}-6=-4$.
    • Die Gleichung $\sqrt{x-3}=\sqrt{4x}$ wird durch $x=1$ gelöst.
    • $-\sqrt{x}-4=\sqrt{x} +2$ ergibt $x=9$.
  • Ermittle die Lösung der Gleichungen.

    Tipps

    Die Gleichung $x^2-2x-8=0$ kannst du folgendermaßen faktorisieren:

    Betrachte den Faktor vor dem $x$ (in diesem Fall $-2$) und die Zahl, die alleine steht (hier $-8$). Jetzt musst du überlegen, welche beiden Zahlen addiert $-2$ ergeben, und gleichzeitig zu $-8$ multiplizieren. Das funktioniert nur für die Zahlen $-4$ und $2$. Denn $-4+2=-2$ und $-4 \cdot 2=8$. Hier ergibt sich also

    $0=x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$

    Diese Gleichung hat die Lösungen $x_1=4$ und $x_2=-2$, denn wenn du eine dieser beiden Zahlen in die Gleichung einsetzt, verschwindet sie.

    So kannst du die Lösungen vieler quadratischer Gleichungen bestimmen.

    Wenn du die Gleichung nicht auf diese Weise lösen möchtest, kannst du auch die Mitternachts- oder $p-q$-Formel verwenden.

    Nachdem du die Lösungen bestimmt hast, musst du überprüfen, ob diese Sinn ergeben. Setze sie dazu in deine ursprüngliche Wurzelgleichung ein.

    Lösung

    Die Gleichungen kannst du mit dem bekannten Verfahren lösen. Zum Beispiel erhältst du:

    $\begin{array}{&&&} \sqrt{5} &=\sqrt{2x+15} &\vert ()^2 \\ 5 &=2x+15 &\vert-15 \\ -10 &= 2x &\vert :2 \\ -5 &= x \\ \end{array}$

    und

    $\begin{array}{&&&} x&=\sqrt{x+6} &\vert ()^2 \\ x^2 &=x+6 &\vert -x -6\\ 0 &= x^2 -x -6 \\ 0 &= (x-3)(x+2) \\ \end{array}$

    Hier kannst du die Lösungen $x_1=-2$ und $x_2=3$ ablesen. Um auf die letzte Zeile zu kommen, musst du die Gleichung faktorisieren. Eine praktische Art und Weise das zu tun, ist den Faktor vor dem $x$ (in diesem Fall $-1$) und die Zahl, die alleine steht (hier $-6$) zu betrachten. Jetzt musst du die überlegen, welche beiden Zahlen addiert $-1$ ergeben und gleichzeitig zu $-6$ multiplizieren. Das funktioniert nur für die Zahlen $-3$ und $2$. Denn $-3+2=-1$ und $-3 \cdot 2=6$. So kannst du die Lösungen vieler quadratischer Gleichungen bestimmen. Wenn du die Gleichung nicht auf diese Weise lösen möchtest, kannst du auch die Mitternachts- oder $p-q$-Formel verwenden.

    Jetzt musst du allerdings noch prüfen, ob die Lösungen Sinn ergeben. Setzt du $x_1=-2$ in die Gleichung ein, erhältst du:

    $\begin{array}{&&&} -2&=\sqrt{-2+6} \\ -2 &=\sqrt{4}\\ -2 &= 2 \\ \end{array}$

    Diese Gleichung ist offensichtlich nicht erfüllt. Die gefundene Lösung $x_1=-2$ ist eine sogenannte „faule“ Lösung. Du solltest immer überprüfen, ob deine gefundenen Lösungen wirklich die Gleichung lösen. Die andere Lösung $x_2=3$ löst die Gleichung.

    Die Lösungen der anderen Gleichungen kannst du ähnlich bestimmen. Dann erhältst du:

    • $x=\sqrt{x+6}$ hat die Lösung $x=3$
    • Die Gleichung $\sqrt{5}=\sqrt{2x+15}$ wird durch $x=-5$ gelöst.
    • Für $\sqrt{\frac{-3x}{5}+3}=0$ ergibt sich $x=5$
    • $\sqrt{3x+4}-5=0$ ergibt $x=7$
    • $\sqrt{x^2-1}=0$ hat die Lösungen $x_1=-1$ und $x_2=1$