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Lösen von Wurzelgleichungen

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Mathe-Team
Lösen von Wurzelgleichungen
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Lösen von Wurzelgleichungen

Hallo und herzlich willkommen. Du kennst bereits Wurzeln und Gleichungen. Was versteht man nun unter einer Wurzelgleichung? Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der in mindestens einem Radikanden die Unbekannte vorkommt. Was erwartet dich nun im folgenden Video? Du bekommst von uns eine Anleitung zum Lösen von Wurzelgleichungen. Wir zeigen dir an einigen Beispielen wie du die Anleitung verwenden kannst. Nutze die Chance und lerne die verschiedenen Schritte der Anleitung, sodass du zukünftig keine Probleme beim Lösen von Wurzelgleichungen hast. Viel Erfolg!

Transkript Lösen von Wurzelgleichungen

Hallo und herzlich Willkommen zum Video "Lösen von Wurzelgleichungen". Wurzeln kennst Du ja bereits schon. Auch Gleichungen wirst Du schon in der Schule gelöst haben. Nun soll es um Wurzelgleichungen gehen. Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der in mindestens einem Radikanden die Unbekannte, meistens wird sie mit “x” bezeichnet, vorkommt. Heute bekommst Du eine Anleitung zum Lösen von Wurzelgleichungen. Diese werden wir an Beispielaufgaben anwenden. Zunächst müssen wir die Wurzel auf einer Seite der Gleichung isolieren. Das heißt, die Wurzel soll allein ohne Konstante oder Unbekannte ohne Wurzel auf einer Seite stehen. Im nächsten Schritt müssen wir die Gleichung quadrieren. Wenn in der Gleichung noch eine Variable unter der Wurzel steht, dann wiederhole das Verfahren ab Schritt eins. Wenn keine Variable mehr unter der Wurzel steht, dann löse im dritten Schritt die Gleichung nach der unbekannten Variable auf. Der letzte Schritt ist die Probe. Die Probe ist wichtig, da wir beim Quadrieren die Gleichung nicht äquivalent umgeformt haben. Es können somit Scheinlösungen entstehen. Wie das Verfahren genau funktioniert, werden wir in den folgenden Beispielaufgaben gemeinsam herausfinden. Die erste Gleichung lautet: √(2x) + 2 = -2. Im ersten Schritt isolieren wir die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung. Dazu subtrahiert man 2 auf beiden Seiten der Gleichung. Wir erhalten die √(2x) = -4. Wir quadrieren im zweiten Schritt nun die Gleichung und erhalten 2x = 16. Vorsicht! Wir haben nicht äquivalent umgeformt. Da sich keine Variable mehr unter einem Wurzelzeichen befindet, gehen wir zu Schritt drei über. Wir lösen nun die Gleichung nach der Unbekannten x auf. Wir dividieren beide Seiten mit 2 und erhalten das Ergebnis x = 8. Nun überprüfen wir unser Ergebnis. Wir setzen das Ergebnis x = 8 in die Ausgangsgleichung ein. Und erhalten √(2 * 8) + 2 = -2. Wir erhalten √(16) + 2 = -2. Wir erhalten 6 = -2. Und das ist eine falsche Aussage. Das Ergebnis x = 8 ist somit falsch. Die Scheinlösung entsteht durch das Quadrieren. Wir haben als Lösungsmenge die leere Menge. Unsere zweite Gleichung lautet √(x+1)+√(2-x)=√(6). Der erste Schritt der Anleitung entfällt. Denn alle Wurzeln mit einer Variablen sind bereits auf einer Seite der Gleichung isoliert. Wir quadrieren im zweiten Schritt die Gleichung und erhalten (√(x+1) + √(2-x))² = (√(6))². Um die Klammer auf der linken Seite aufzulösen, wenden wir die 1. Binomische Formel an. Wir setzen für a = √(x+1) und für b √(2-x) ein. Wir erhalten x + 1 + 2√(x+1) * √(2-x) + 2-x = 6. Auf der rechten Seite erhalten wir die 6. Wir fassen den linken Term der Gleichung zusammen und erhalten 2√(x+1) * √(2-x) + 3 = 6. Wir erkennen, dass sich die Variable x immer noch unter der Wurzel befindet. Was nun? Wir wiederholen Schritt eins. Wir bringen die Wurzelterme alle auf eine Seite, indem wir die Gleichungen mit 3 subtrahieren. Wir erhalten 2√(x+1) * √(2-x) = 3. Bevor wir die Gleichung quadrieren, dividieren wir sie mit 2. Die Gleichung lautet dann √(x+1) * √(2-x) = 1,5. Nun sind alle Wurzeln, unter denen sich die Variable befindet, isoliert, und wir können wieder zu Schritt zwei springen. Wir quadrieren die Gleichung erneut. Wir erhalten (x+1) * (2-x) = 2,25. Jetzt befindet sich keine Variable mehr unter einer Wurzel. Wir haben es nun mit einer quadratischen Gleichung zu tun und wollen diese nun gemeinsam lösen. Wir bringen sie in die Form x² + px + q = 0, damit wir die pq-Formel x1,2 = -(p/2) + √((p/2)² - q) anwenden können. Wir formen die linke Seite zu -x² + x + 2 = 2,25 um, indem wir die Klammern ausmultiplizieren. Im nächsten Schritt subtrahieren wir beide Seiten mit 2,25. Die Gleichung lautet dann -x² + x - 0,25 = 0. Wenn wir jetzt noch beide Seiten mit -1 multiplizieren, dann erhalten wir die Gleichung x² - x + 0,25 =0. Wir lösen unsere quadratische Gleichung nach x auf, indem wir die pq-Formel anwenden. Wir setzen in die pq-Formel für p = -1 und für q = 0,25 ein. Wir erhalten x1,2 = (½) +- √((-1/2)² - 0,25). Da der Term unter der Wurzel 0 wird, erhalten wir als Ergebnis x1,2 = (1/2) +- √(0). Also ist x=½. Zuletzt darf die Probe nicht vergessen werden. Wir setzen x = ½ in die Ausgangsgleichung ein und erhalten √((½)+1) + √(2-(½)) = √(6). Wir fassen den linken Term zu √(1,5) + √(1,5) zusammen und erhalten somit 2√(1,5). Auf der rechten Seite wenden wir nun einen kleinen Trick an. Wir schreiben unter die Wurzel für die 6 das Produkt 4 * 1,5: √(4 * 1,5). Wir können nun ein bekanntes Wurzelgesetz anwenden und bekommen auf der rechten Seite der Gleichung √(4) * √(1,5). Die Wurzel aus 4 ist 2 und somit 2 * √(1,5) und somit die wahre Aussage 2√(1,5) = 2√(1,5). Unsere Lösungsmenge ist somit L={1/2}. Du hast gelernt, wie man Wurzelgleichungen systematisch lösen kann. Mit dieser Anleitung lassen sich auch alle anderen Wurzelgleichungen lösen. Ich wünsche Dir noch einen erlebnisreichen Tag. Tschüss.

13 Kommentare

13 Kommentare
  1. warum multipliziert man bei minute 6:50 mit -1

    Von Beno D, vor 6 Monaten
  2. Hallo C Whybra,
    du hast recht, dass x eine Variable ist. Die Definition einer Variablen ist aber sehr umfassend. Da wir in diesem Fall nicht wissen, welchen Wert x annehmen muss, damit die Gleichung richtig ist, ist uns der Wert für x unbekannt. Deshalb sagt man manchmal dazu auch, dass x eine Unbekannte ist.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor mehr als einem Jahr
  3. Sehr gutes Video aber x ist doch eine Variable keine unbekannte

    Von C Whybra, vor mehr als einem Jahr
  4. danke dass ist genau das was ich gesucht habe !

    Von Saule Nadile, vor etwa 2 Jahren
  5. Hallo Lariwe,
    kommst du mit diesem Thema noch nicht zurecht? Mit etwas Übung wirst du es ganz bestimmt schaffen! Gib nur nicht auf! Unsere Lehrer helfen dir gerne dabei. Wende dich einfach an unseren Fach-Chat oder auch an die Lehrerbox.
    Liebe Grüße aus der Redaktion und einen guten Start ins neue Jahr!

    Von Jeanne O., vor mehr als 2 Jahren
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Lösen von Wurzelgleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lösen von Wurzelgleichungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Prüfe, ob $x = 8~$ die Lösung der Wurzelgleichung ist.

    Tipps

    Was musst du bei der Probe immer in die Gleichung einsetzen?

    Entscheide, ob die Probe eine wahre Aussage oder eine falsche Aussage ergibt.

    Nur bei einer wahren Aussage wie beispielsweise $2=2$ ist die eingesetzte Zahl auch wirklich Lösung der Gleichung.

    Lösung

    Um die Probe durchzuführen, setzt du in die Gleichung $x=8$ ein. Anschließend löst du die Gleichung schrittweise.

    Wenn die Gleichung am Ende eine wahre Aussage enthält, ist die anfangs eingesetzte Zahl die Lösung der Gleichung.

    Hier erhältst du eine Gleichung, die $6= -2$ lautet. Das ist eine falsche Aussage, denn die beiden Seiten der Gleichung sind nicht gleich.

    Das bedeutet, dass $x=8$ keine Lösung der Gleichung ist und die Lösungsmenge insofern leer ist.

  • Berechne alle Lösungen der Gleichung mit Hilfe der p-q-Formel.

    Tipps

    Deine Ausgangsgleichung hat die Form $x^2+px+q=0$.

    $-x$ ist das Gleiche wie $-1\cdot x$.

    Achte auf die Vorzeichen!

    Die p-q-Formel lautet:

    $x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$.

    $-(-1)$ ist das Gleiche wie $1$.

    Lösung

    Die Gleichung lautet

    $x^2-x+0,25=0$.

    Die Gleichung hat die Form

    $x^2+px+q=0$.

    Wir wissen, dass $-x$ das Gleiche ist wie $-1\cdot x$, also ist $p=-1$ und $q=0,25$.

    Die p-q-Formel lautet:

    $x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$.

    Wenn wir die Werte für p und q in die p-q-Formel einsetzen, erhalten wir:

    $x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^2-0,25}$.

    Unter der Wurzel steht $0,25-0,25$, was Null ergibt. Insofern ist die Lösung $x=\frac{1}{2}$ richtig.

  • Berechne die Lösungsmengen.

    Tipps

    Wende nacheinander die Schritte zum Lösen von Wurzelgleichungen an.

    Bei manchen Gleichungen musst du eine der binomischen Formeln anwenden.

    Mache immer eine Probe!

    Bei manchen Gleichungen musst du die p-q-Formel anwenden.

    Die p-q-Formel lautet:

    $x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

    Lösung

    Du kannst alle Aufgaben mit der gleichen Strategie lösen:

    1. Wurzel isolieren
    2. Gleichung quadrieren
    3. nach x auflösen
    4. Probe
    Sehen wir uns zum Beispiel die Gleichung $\sqrt{x+7}=-6$ an:

    $ \begin{align*} \sqrt{x+7}&=-6 &|& (~)^2\\ x+7&=36 &|& -7\\ x&=29 \end{align*} $

    Probe:

    $ \begin{align*} \sqrt{29+7}&=-6\\ \sqrt{36}&=-6\\ 6 &= -6 && \text{f.A.} \end{align*} $

    Die Probe ergibt, dass $x=29$ keine Lösung der Gleichung ist und die Gleichung somit eine leere Lösungsmenge hat.

    Bei manchen Gleichungen musst du eine der binomischen Formeln anwenden und die p-q-Formel.

    Schauen wir uns zum Beispiel die Gleichung $\sqrt{x+1}=x-1$ an:

    $ \begin{align*} \sqrt{x+1}&=x-1\\ x+1&=(x-1)^2\\ x+1&=x^2-2x+1\\ x^2-3x+0&=0 \end{align*} $

    In die p-q-Formel eingesetzt ergibt:

    $ \begin{align*} x_{1,2}&=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-3}{2}\right)^2-0}\\ x_{1,2}&=\frac{3}{2}\pm\frac{3}{2} \end{align*} $

    Die Lösungen lauten also $x_1=0$ und $x_2=3$. Die Probe ergibt, dass die Lösungsmenge $\mathbb{L} =\{3\}$ ist, weil $x=0$ in die Gleichung eingesetzt eine falsche Aussage ergibt.

  • Gib die Lösungsmenge der gegebenen Gleichung an.

    Tipps

    Wende die Schritte zum Lösen von Wurzelgleichungen an.

    Du musst die binomischen Formeln anwenden.

    Welchen Schritt musst du wiederholen, wenn in der Gleichung immer noch eine Wurzel vorkommt?

    Die p-q-Formel lautet:

    $x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

    Führe unbedingt eine Probe durch!

    Lösung

    Wenn du die Strategie zum Lösen von Wurzelgleichungen anwendest, sieht dein Lösungsweg so aus:

    $ \begin{align*} \sqrt{x+1}+\sqrt{2\cdot x+4}&=\sqrt{50} &|& (~)^2\\ (x+1)+2\cdot \sqrt{x+1}\cdot\sqrt{2\cdot x+4}+(2x+4)&=50 &|& T\\ 3x+5+2\cdot \sqrt{x+1}\cdot\sqrt{2\cdot x+4}&=50 &|& -3x-5\\ 2\cdot \sqrt{x+1}\cdot\sqrt{2\cdot x+4}&=45-3x &|& :2\\ \sqrt{x+1}\cdot\sqrt{2\cdot x+4}&=22,5-1,5x &|& (~)^2 \\ (x+1)\cdot(2\cdot x+4)&=(22,5-1,5x)^2 \\ \end{align*} $

    Nachdem wir nun zweimal quadriert haben und umgeformt haben, steht keine Wurzel mehr da. Als nächstes multiplizieren wir die Klammern und überführen die quadratische Gleichung in Normalform:

    $ \begin{align*} 2x^2+6x+4&=2,25x^2-67,5x+506,25 &|& -2,25x^2+67,5x-506,25\\ 0,25x^2-73,5x+502,25&=0 &|& \cdot 4\\ x^2-294x+2009&=0\ \end{align*} $

    Nun können wir die p-q-Formel anwenden:

    $\begin{align*} x_{1,2}&=\frac{294}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-294}{2}\right)^2-2009}\\ x_{1,2}&=147\pm\sqrt{19600} \\ x_{1,2}&=147\pm 140 \end{align*} $

    Die möglichen Lösungen lauten also $x_1=7$ und $x_2=287$. Wenn du nun die Proben durchführst, indem du jeweils den $x$-Wert in die Gleichung einsetzt, stellst du fest, dass nur $x=7$ eine wahre Aussage ergibt; $x=287$ ergibt eine falsche Aussage.

    Daher lautet die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{7\}$.

  • Gib an, wie du bei der Lösung einer Wurzelgleichung vorgehen solltest.

    Tipps

    Hinter jedem Schritt kommt erst einmal die entsprechende Rechnung.

    Schau genau hin, was in dem jeweiligen Rechenschritt gemacht wird.

    Die Probe ermittelt immer, ob es sich um eine wahre oder eine falsche Aussage handelt.

    Lösung

    Die Wurzelgleichung löst du folgendermaßen. Du isolierst zunächst die Wurzel, quadrierst dann die Gleichung und löst zum Schluss noch nach $x$ auf:

    $ \begin {align*} \sqrt{x+1}-3&=1 &|& +3\\ \sqrt{x+1}&=4 &|& (~)^2 \\ x+1&=16 &|& -1\\ x&=15 \end {align*} $

    Zum Schluss machst du noch die Probe, indem du $x=15$ in die Gleichung einsetzt:

    $ \begin {align*} \sqrt{15+1}-3&=1 &|& +3\\ \sqrt{16}&=4 \\ 4&=4 \end {align*} $

    Es handelt sich um eine wahre Aussage, also ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{15\}$.

  • Finde Zahlen, für die die Gleichung ebenfalls funktioniert.

    Tipps

    Wende die Schritte zum Lösen von Wurzelgleichungen an.

    Wenn du eine Summe oder Differenz quadrierst, denke an die binomischen Formeln!

    Versuche, aus der allgemeinen Gleichung durch Umstellen das $x$ zu isolieren.

    Lösung

    Um weitere Zahlen zu finden, für die diese Gleichung zutrifft, formst du die allgemeine Gleichung für $a, b, x \in \mathbb{N}$ um:

    $ \begin{align*} \sqrt {a}-\sqrt{b}&=\sqrt{x}\\ (\sqrt {a}-\sqrt{b})^2&=\sqrt{x}^2\\ (\sqrt {a})^2-2\cdot\sqrt {a}\cdot\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2&=\sqrt{x}^2\\ a-2\cdot(\sqrt {a\cdot b})+b&=x\\ \end{align*} $

    Wenn du nun für $a$ und $b$ zwei natürliche Zahlen einsetzt, deren Produkt eine Quadratzahl ergibt (also z. B. $3$ und $27$, denn $3\cdot 27=81$), dann kannst du mit Hilfe der Formel nun noch das $x$ ausrechnen. Dann setzt du die Zahlen für $a$, $b$ und $x$ in die Gleichung ein.

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