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Wurzelgleichungen

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Mathe-Team
Wurzelgleichungen
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Grundlagen zum Thema Wurzelgleichungen

Im vorliegenden Video wiederholen wir zunächst was eine Wurzelgleichung ist. Wurzelgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Unbekannte, meist als x bezeichnet, mindestens einmal unter einer Wurzel steht. Im Anschluss lösen wir gemeinsam Wurzelgleichungen und zeigen dir, warum die Probe beim Lösen von Wurzelgleichungen so wichtig ist. Warum bekommen wir in einigen Fällen eine falsche Lösung, obwohl wir richtig gerechnet haben? Was hat das Quadrieren damit zu tun? Im Video klären wir diese Fragen. Nutze die Gelegenheit und verbessere deine Fähigkeiten im Lösen von Wurzelgleichungen.

7 Kommentare
7 Kommentare
  1. @Tanz Cupcake99: Schau dir die folgenden Videos an, hier wird erklärt, wie du Wurzelgleichungen mit der pq-Formel lösen kannst:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/loesen-von-wurzelgleichungen?topic=972
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/loesen-von-wurzelgleichungen-vierschrittvefahren?topic=972
    Ich hoffe, dass ich dir weiterhelfen konnte.

    Von Thomas Scholz, vor mehr als 7 Jahren
  2. Sehr gut:) aber wie rechnet man dann die schwereren mit der pq Formel und der quadratischen Ergänzung? Oder Textaufgaben?

    Von Tanzi, vor mehr als 7 Jahren
  3. @Sabah Abdalhassan: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Bei umfangreicheren Fragen kannst du dich auch gerne an den Hausaufgaben-Chat wenden, der dir von Mo-Fr von 17-19 Uhr zur Verfügung steht.

    Von Martin B., vor fast 9 Jahren
  4. aber schöne schrift

    Von Deleted User 205638, vor fast 9 Jahren
  5. nichts verstanden :(

    Von Deleted User 205638, vor fast 9 Jahren
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Wurzelgleichungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzelgleichungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Erkläre, was Wurzelgleichungen sind.

    Tipps

    Ist $\sqrt9+x=5$ eine Wurzelgleichung?

    Es gilt $-3\neq 3$. Durch Quadrieren erhält man $(-3)^2=3^2$, also eine wahre Aussage.

    Potenzieren kann zu sogenannten Scheinlösungen führen.

    Lösung

    Was ist eine Wurzelgleichung?

    Wurzelgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Unbekannte, meist als $x$ bezeichnet, mindestens einmal unter einer Wurzel steht.

    Dabei kann es sich um Quadratwurzeln oder Wurzeln mit beliebigem Wurzelexponenten handeln.

    Wurzelgleichungen werden mit Potenzieren gelöst. Dies ist jedoch keine Äquivalenzumformung, weshalb unbedingt eine Probe mit der Lösung durchgeführt werden muss.

  • Berechne die Lösung der Wurzelgleichung.

    Tipps

    Wurzelgleichungen werden durch Potenzieren gelöst.

    Potenzieren ist keine Äquivalenzumformung. Deshalb muss eine Probe durchgeführt werden.

    Lösung

    Zunächst muss bei der Gleichung $\sqrt x+4=6$ der Wurzelterm auf einer Seite alleine stehen. Hierfür wird auf beiden Seiten $4$ subtrahiert.

    $\sqrt x=2$.

    Durch Quadrieren gelangt man zu $x=4$. Ob dieses $x$ tatsächlich die Gleichung löst, erfährt man durch die Probe. Diese muss unbedingt durchgeführt werden, da es sich beim Potenzieren nicht um eine Äquivalenzumformung handelt:

    $\sqrt4+4=6\Leftrightarrow2+4=6~\surd$.

    Das bedeutet: $\mathbb{L}=\{4\}$.

  • Untersuche, ob die Wurzelgleichung lösbar ist.

    Tipps

    Es gilt $-2\neq2$. Jedoch gilt nach dem Quadrieren $4=4$.

    Kann eine Wurzel jemals negativ sein?

    Grundsätzlich ist es immer sinnvoll, nach dem Lösen einer Gleichung eine Probe durchzuführen.

    Lösung

    Gelöst werden soll die Gleichung:

    $\sqrt{x+1}=-2$.

    Man könnte so schon sehen, dass diese Gleichung keine Lösung besitzt, da eine Wurzel immer positiv ist.

    Da Quadrieren keine Äquivalenzrelation ist, führt dies trotzdem zu einer Lösung. Man nennt eine solche Lösung auch Scheinlösung:

    $\begin{align*} \sqrt{x+1}&=-2&|&(~)^2\\ x+1&=4&|&-1\\ x&=3. \end{align*}$

    Ob dieses $x$ tatsächlich eine Lösung der Wurzelgleichung ist, klärt die Probe:

    $\sqrt{3+1}=\sqrt4=2\neq-2$.

    Die Probe ist also nicht erfüllt, was bedeutet, dass $x=2$ die Wurzelgleichung nicht lösbar. Diese ist unlösbar, also $\mathbb{L}=\{ ~ \}$, die leere Menge.

  • Leite die Lösung der Gleichung her.

    Tipps

    Forme zunächst so um, dass der Wurzelterm auf einer Seite alleine steht.

    Die Umkehrung vom Wurzel-Ziehen ist das Potenzieren.

    Beim Potenzieren handelt es sich nicht um eine Äquivalenzrelation.

    Es muss eine Probe durchgeführt werden.

    Lösung

    Es soll die Wurzelgleichung $2x+\sqrt{x-1}+1=2x+3$ gelöst werden. Dabei werden Äquivalenzumformungen durchgeführt, damit der Term mit der Wurzel auf einer Seite alleine steht:

    $\begin{align*} 2x+\sqrt{x-1}+1&=2x+3&|&-2x\\ \sqrt{x-1}+1&=3&|&-1\\ \sqrt{x-1}&=2. \end{align*}$

    Nun kann auf beiden Seiten quadriert werden:

    $\begin{align*} \sqrt{x-1}&=2&|&(~)^2\\ x-1&=4&|&+1\\ x&=5. \end{align*}$

    Quadrieren ist jedoch keine Äquivalenzumformung. Deshalb muss eine Probe durchgeführt werden:

    $2\cdot5+\sqrt{5-1}+1=2\cdot5+3\Leftrightarrow 10+2+1=10+3~\surd$.

    Die Lösungsmenge ist demnach gegeben durch $\mathbb{L}=\{5\}$.

  • Bestimme, bei welcher Gleichung es sich um eine Wurzelgleichung handelt.

    Tipps

    Bei einer Wurzelgleichung muss die Variable mindestens einmal unter der Wurzel stehen.

    Es muss auf jedem Fall eine Gleichung vorliegen.

    Es gibt $3$ Wurzelgleichungen.

    Lösung

    Wie kann man eine Wurzelgleichung erkennen?

    Wurzelgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Unbekannte, oft als $x$ bezeichnet, mindestens einmal unter einer Wurzel steht.

    • $\sqrt{3x+5}=7$ ist eine Wurzelgleichung. Die Variable $x$ steht unter der Wurzel.
    • $\sqrt4+5x=7$. Hier kommt zwar eine Wurzel vor, jedoch steht die Variable nicht unter der Wurzel. Dies ist keine Wurzelgleichung.
    • $\sqrt{5+7x}=\sqrt9$ ist wieder eine Wurzelgleichung, da die Variable $x$ unter einer Wurzel steht.
    • $\sqrt5+7x=\sqrt9$. Hier stehen zwar $2$ Wurzeln, jedoch steht die Variable nicht unter der Wurzel. Dies ist keine Wurzelgleichung.
    • $\sqrt{7y-6}$. Hier steht die Variable $y$ zwar unter der Wurzel, es liegt allerdings keine Gleichung vor. Dies ist keine Wurzelgleichung.
    • $\sqrt{8z-12}=5z$, die Variable $z$ steht einmal unter der Wurzel und einmal nicht. Dies ist eine Wurzelgleichung.
  • Prüfe, ob die Wurzelgleichung lösbar ist und gebe die Lösungsmenge an.

    Tipps

    Um die Quadratwurzel aufzulösen, muss quadriert werden.

    Verwende die 1. binomische Formel:

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Vergiss' nicht, die Probe durchzuführen.

    Lösung

    Diese Gleichung $\sqrt{x^2+1}=x+1$ sieht etwas komplizierter aus. Zunächst wird auf beiden Seiten quadriert. Dies führt zu

    $x^2+1=(x+1)$.

    Die rechte Seite kann mit der 1. binomischen Formel ausgerechnet werden:

    $x^2+1=x^2+2x+1$.

    Nun kann mit Äquivalenzumformungen wie folgt vorgegangen werden:

    $\begin{align*} x^2+1&=x^2+2x+1&|&-x^2\\ 1&=2x+1&|&-1\\ 0&=2x&|&:2\\ 0&=x. \end{align*}$

    Damit ist die Gleichung jedoch noch nicht gelöst, es muss noch die Probe durchgeführt werden:

    $\sqrt{0^2+1}=0+1\Leftrightarrow 1=1~\surd$.

    Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{0\}$.

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