Wurzelterme multiplizieren

Wurzelterme multiplizieren Übung

• Berechne die Produkte.

  Tipps

  Multipliziere die Klammern mit den Wurzeltermen aus. Dabei musst du jeden Term der linken Klammer mit jedem Term der rechten Klammer multiplizieren und die Ergebnisse addieren.

  Das Produkt aus zwei Wurzeln ist die Wurzel aus dem Produkt, also z. B.:

  $\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{15}$

  Beachte bim Ausmultiplizieren die Vorzeichen und die Regel Minus mal Minus ergibt Plus.

  Lösung

  Um das Produkt auszurechnen, musst du die Klammern ausmultiplizieren. Dazu musst du jeden Term der linken Klammer mit jedem Term der rechten Klammer multiplizieren und die Vorzeichen beachten. Für die Multiplikation der Wurzeln gilt die Regel:

  $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

  Das bedeutet: Das Produkt von Wurzeln ist die Wurzel aus dem Produkt.

  Mit diesen Vorüberlegungen findest du folgende Rechnung:

  $\begin{align} (15\sqrt{5} + 5\sqrt{3}) \cdot (6\sqrt{3} - 2\sqrt{5}) &= 15\sqrt{5} \cdot 6\sqrt{3} - 15\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} + 5\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} - 5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{5} \\ &= 90 \sqrt{15} - 30 \sqrt{25} + 30 \sqrt{9} - 10\sqrt{15} \\ &= 80\sqrt{15} - 30 \cdot 5 + 30 \cdot 3 \\ &= 80 \sqrt{15} - 60 \end{align}$

• Bestimme die Produkte von Wurzeltermen.

  Tipps

  Die Multiplikation zweier gleicher Wurzeln ergibt die Zahl unter der Wurzel, z. B.:

  $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$

  Beim Multiplizieren von Wurzeltermen multiplizierst du die Zahlen vor der Wurzel und die Zahlen unter der Wurzel separat und schreibst das Ergebnis wieder als Produkt, z. B.:

  $7\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} = (7\cdot 2) \sqrt{2\cdot 3} = 14 \sqrt{6}$

  Du kannst auch umgekehrt das Produkt unter einer Wurzel in Faktoren zerlegen und somit die Multiplikation von Wurzeln bilden:

  $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$

  Lösung

  Puck multipliziert die Wurzelterme aus, indem er die Zahlen vor der Wurzel und die Zahlen unter der Wurzel jeweils separat multipliziert und das Ergebnis wieder als Produkt schreibt. So findet er folgende Gleichungen:

  • $15\sqrt{5} \cdot 6\sqrt{3} = (15 \cdot 6) \sqrt{5 \cdot 3} = 90\sqrt{15}$

  • $5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{5} = (5 \cdot 2) \sqrt{3 \cdot 5} = 10\sqrt{15}$

  • $5\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{6} = (5 \cdot 5) \sqrt{3 \cdot 6} = 25 \sqrt{18} = 25 \sqrt{9 \cdot 2} = 25 \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 25 \cdot 3 \sqrt{2} = 75\sqrt{2}$

  • $5\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2} = (5 \cdot 3) \sqrt{3\cdot 2} = 15\sqrt{6}$

  • $5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = (5\cdot 2) \sqrt{3 \cdot 3} = 10 \cdot 3 =30$

• Erschließe die Terme im Produkt.

  Tipps

  Beachte die Vorzeichen beim Ausmultiplizieren und markiere die vorkommenden Terme mit Vorzeichen.

  Verwende zum Ausmultiplizieren die Vorzeichen-Regel Minus mal Minus ergibt Plus.

  Die Multiplikation einer Wurzel mit sich selbst liefert als Produkt die Zahl unter der Wurzel.

  Lösung

  Durch Ausmultiplizieren der Wurzelterme kannst du alle im Produkt vorkommenden Terme bestimmen. Das passende Vorzeichen erhältst du jeweils aus der Regel Minus mal Minus ergibt Plus.

  Im Folgenden sind die Rechnungen für alle Produkte.

  Aufgabe 1

  $\begin{array}{lll} \\ (5\sqrt{3} + 3\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{2} -5\sqrt{3}) &=& 10\sqrt{6} + 6\sqrt{10} -15\sqrt{15} -25\sqrt{9} \\ &=& 10\sqrt{6} + 6\sqrt{10} -15\sqrt{15} - 75 \end{array}$

  Aufgabe 2

  $\begin{array}{lll} \\ (2\sqrt{5}-5\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{3}+3\sqrt{5}) &=& 10\sqrt{15} -25\sqrt{6} -15\sqrt{10} + 6\sqrt{25} \\ &=& 10\sqrt{15} -25\sqrt{6} -15\sqrt{10} + 30 \end{array}$

  Aufgabe 3

  $\begin{array}{lll} \\ (3\sqrt{2}+7\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{7}-3\sqrt{5}) &=& 6\sqrt{14} + 14\sqrt{21} -21\sqrt{15} - 9\sqrt{10} \\ \\ \end{array}$

  Aufgabe 4

  $\begin{array}{lll} \\ (5\sqrt{2}+5\sqrt{3}) \cdot (3\sqrt{5}-3\sqrt{2}) &=& 15\sqrt{10} +15\sqrt{15} -15\sqrt{6} - 15\sqrt{4} \\ &=& 15\sqrt{10} +15\sqrt{15} -15\sqrt{6} - 30 \end{array}$

• Ordne der linken Seite der Gleichung die zugehörige rechte Seite zu.

  Tipps

  Den Term $(2\sqrt{3} - 2\sqrt{5})$ kannst du vereinfachen zu $2\cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})$.

  Prüfe, ob du das Ergebnis vereinfachen kannst, indem du gemeinsame Faktoren ausklammerst.

  Lösung

  Durch Ausmultiplizieren der Wurzelterme kannst du die passende rechte Seite finden. Dazu musst du evtl. noch die entstehenden Terme auf beiden Seiten der Gleichung vereinfachen. Hier ist die korrekte Zuordnung:

  • $(2\sqrt{3}-3\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2} + 3\sqrt{3}) = 6\sqrt{6} - 9\sqrt{4} + 6\sqrt{9} - 9\sqrt{6}$

  • $(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}) \cdot (3\sqrt{5} - 3\sqrt{3}) = 15\sqrt{15} - 90 + 9\sqrt{15}$

  • $(5\sqrt{7}-5\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2}-3\sqrt{7}) = 15 \cdot (2\sqrt{14} -9)$

  • $(2\sqrt{3} + 2\sqrt{7}) \cdot (3\sqrt{7} -5\sqrt{3}) = -4\sqrt{21} + 12 $

• Berechne die Produkte der Wurzeln.

  Tipps

  $\sqrt{2}$ ist die positive reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert $2$ ergibt, also:

  $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$

  Multiplizierst du zwei verschiedene Wurzeln, so kommt wieder eine Wurzel heraus:

  $\sqrt{2} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{14}$

  Multiplizierst du zwei gleiche Wurzeln, so gilt:

  $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2$

  Lösung

  Die Wurzel einer positiven reellen Zahl ist die eindeutige positive reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der Wurzel ergibt. D.h. $\sqrt{2}$ ist die eindeutige Zahl, die mit sich selbst multipliziert $2$ ergibt:

  $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$.

  Multiplizierst du zwei Wurzeln, so ist das Ergebnis einfach die Wurzel aus dem Produkt:

  $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$

  Dass die Gleichung stimmt, kannst du leicht nachrechnen, indem du das Produkt der Wurzeln mit sich selbst mutliplizierst:

  $(\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) = (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 2 \cdot 3 = 6$

  Mit dieser Rechenregel kannst du die Produkte der Wurzeln ausrechnen:

  • $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{15}$

  • $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{9} = 3$

  • $\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}$

  • $\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$

  • $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{25} = 5$

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  Verwende zum Quadrieren einer Summe die binomische Formel. Überlege dann, was du daraus über das Wurzelziehen herausfinden kannst.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Das Produkt zweier Wurzeln ist die Wurzel eines Produktes.“ Denn es gilt: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

  • „Die Wurzel einer natürlichen Zahl $>1$ kann man als Produkt von Wurzeln von Primzahlen schreiben.“ Die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl $>1$ stellt die Zahl als Produkt von Primzahlen dar. Die Wurzel aus der Primfaktorzerlegung liefert eine Darstellung der Wurzel einer natürlichen Zahl $>1$ als Produkt von Wurzeln von Primzahlen.

  • „Das Quadrat der Wurzel einer Zahl ist dasselbe wie die Wurzel aus dem Quadrat dieser Zahl.“ Denn $(\sqrt{a})^2 = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a \cdot a} = \sqrt{a^2}$.

  • „Das Quadrat der Summe zweier Wurzeln ist größer als die Summe der Quardate der Wurzeln.“ Die binomische Formel lautet: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2 \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2$. Da für den mittleren Term $2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} >0$ gilt, ist das Quadrat der Summe der Wurzeln $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ größer als die Summe der Quadrate der Wurzeln $(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Es gibt keine Produkte von Wurzeln, die man ohne Wurzelzeichen schreiben kann.“ Das Produkt $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{9} = 3$ kann man ohne Wurzelzeichen schreiben.

  • „Die Wurzel aus dem Quadrat einer Zahl ist wieder die ursprüngliche Zahl.“ Die Wurzel $\sqrt{a}$ einer natürlichen Zahl ist die positive Lösung $x$ der Gleichung $x^2 = a$. Ist $a = (-b)^2$ und $b>0$, so ist $\sqrt{a} = b$ und nicht die Zahl $-b$, aus deren Quadrat $a = (-b)^2$ wir die Wurzel gezogen haben.

  • „Die Summe von Wurzeln natürlicher Zahlen ist die Wurzel der Summe.“ Die binomische Formel lautet: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Mit $a=\sqrt{x}$ und $b=\sqrt{y}$ erhalten wir: $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + y$. Daher ist $\sqrt{x} + \sqrt{y} \neq \sqrt{x+y}$, sondern es gilt: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{(x + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + y)}$.