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Wurzelterme multiplizieren

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Team Digital

Wurzelterme multiplizieren

lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Wurzelterme multiplizieren

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Wurzelterme zu multiplizieren.

Zunächst lernst du, wie du Wurzelterme ausmultiplizieren kannst. Anschließend siehst du, wie du Terme mithilfe des Kommutativgesetzes ordnen und zusammenfassen kannst. Abschließend lernst du, wie Quadratzahlen dir dabei helfen können den Term noch weiter zu vereinfachen.

Lerne etwas über das Multiplizieren von Wirzeltermen.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Wurzel, Quadratzahl, Wurzelterm, Ausmultiplizieren, Kommutativgesetz und Quadratwurzel.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was Wurzelterme sind und wie du Terme vereinfachst.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, das Rechnen mit Wurzeltermen zu lernen. ...

Transkript Wurzelterme multiplizieren

Das ist unser Held Puck. Er hat den Champignonberg erklommen, ist durch den Seitlingswald gerannt und sucht nun nach Schloss Rasentrüffel. Ja, dort. Das Tor der Weisheit. Seine Reise ist fast vollendet. Auf seiner langen Reise hat Puck alle Teile gesammelt, die er benötigt, um das Tor der Weisheit zu öffnen und Schloss Rasentrüffel zu betreten. Aber er hat nur einen Versuch. Andernfalls wird etwas Schreckliches geschehen. Um das Tor zu öffnen, muss er Wurzelterme multiplizieren. Puck holt die Schlüsselsteine aus seiner Tasche, die er auf seiner Reise gesammelt hat. Öffnet er das Tor, so kann er beweisen, dass er der Reichtümer dahinter würdig ist. Jeder der Steine besitzt eine Gravur, die einem Wurzelterm entspricht. Wenn Puck die Aufgabe löst, werden sie ihm vielleicht verraten, welchen Stein er einsetzen muss, um das Tor zu öffnen. Puck untersucht den ersten Schlüssel. Da beide Ausdrücke in einer Klammer stehen, beschließt er, sie aus zu multiplizieren. Erst die vorderen Terme, dann die äußeren, dann die inneren, dann die hinteren. Puck ordnet die Terme zunächst mithilfe des Kommutativgesetzes. Dann multipliziert er die Faktoren vor und die Faktoren unter den Wurzeln. Das macht er für alle Terme. Dann fasst er gleichartige Terme zusammen, zieht die Wurzel aus Quadratzahlen und fasst noch einmal die gleichartigen Terme zusammen. Verflixt! Das ist nicht die richtige Antwort. Vielleicht hat unser Held mit dem anderen Steinen mehr Glück. Zuerst ausmultiplizieren bis zum Gehtnichtmehr. Dann gleichartige Terme zusammenfassen. Aber es gibt keine. Also weiter zum nächsten Schritt. Jetzt die Wurzeln von Quadratzahlen ziehen. Auf den ersten Blick gibt es hier keine Quadratzahlen, aber 18 kann man zerlegen in 2 mal 9, und 9 ist eine Quadratzahl. Wir verwenden die Produktregel andersherum, zerlegen die Wurzel und ziehen dann die Wurzel von 9. Dann noch zusammenfassen. Das ist die vereinfachte Version?! Das ist auf keinen Fall der richtige Schlüssel. Der letzte Schlüssel und die letzte Hoffnung für unseren Helden. Erst ausmultiplizieren. Gleichartige Terme zusammenfassen die Wurzeln aus den Quadratzahlen ziehen. Das sieht vielversprechend aus und geschafft! Juchhu! Das ist er! Der Schlüssel für das Tor der Weisheit. Puck nimmt den Schlüsselstein und legt ihn behutsam in die Aussparung.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. 420 ist der Schlüssel zu unendlichem Reichtum.
    Ne, ich bin gegen Drogen

    Von Agladow1, vor 8 Tagen

Wurzelterme multiplizieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzelterme multiplizieren kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die Produkte.

    Tipps

    Multipliziere die Klammern mit den Wurzeltermen aus. Dabei musst du jeden Term der linken Klammer mit jedem Term der rechten Klammer multiplizieren und die Ergebnisse addieren.

    Das Produkt aus zwei Wurzeln ist die Wurzel aus dem Produkt, also z. B.:

    $\sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{15}$

    Beachte bim Ausmultiplizieren die Vorzeichen und die Regel Minus mal Minus ergibt Plus.

    Lösung

    Um das Produkt auszurechnen, musst du die Klammern ausmultiplizieren. Dazu musst du jeden Term der linken Klammer mit jedem Term der rechten Klammer multiplizieren und die Vorzeichen beachten. Für die Multiplikation der Wurzeln gilt die Regel:

    $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

    Das bedeutet: Das Produkt von Wurzeln ist die Wurzel aus dem Produkt.

    Mit diesen Vorüberlegungen findest du folgende Rechnung:

    $\begin{align} (15\sqrt{5} + 5\sqrt{3}) \cdot (6\sqrt{3} - 2\sqrt{5}) &= 15\sqrt{5} \cdot 6\sqrt{3} - 15\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} + 5\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} - 5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{5} \\ &= 90 \sqrt{15} - 30 \sqrt{25} + 30 \sqrt{9} - 10\sqrt{15} \\ &= 80\sqrt{15} - 30 \cdot 5 + 30 \cdot 3 \\ &= 80 \sqrt{15} - 60 \end{align}$

  • Bestimme die Produkte von Wurzeltermen.

    Tipps

    Die Multiplikation zweier gleicher Wurzeln ergibt die Zahl unter der Wurzel, z. B.:

    $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$

    Beim Multiplizieren von Wurzeltermen multiplizierst du die Zahlen vor der Wurzel und die Zahlen unter der Wurzel separat und schreibst das Ergebnis wieder als Produkt, z. B.:

    $7\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{3} = (7\cdot 2) \sqrt{2\cdot 3} = 14 \sqrt{6}$

    Du kannst auch umgekehrt das Produkt unter einer Wurzel in Faktoren zerlegen und somit die Multiplikation von Wurzeln bilden:

    $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$

    Lösung

    Puck multipliziert die Wurzelterme aus, indem er die Zahlen vor der Wurzel und die Zahlen unter der Wurzel jeweils separat multipliziert und das Ergebnis wieder als Produkt schreibt. So findet er folgende Gleichungen:

    • $15\sqrt{5} \cdot 6\sqrt{3} = (15 \cdot 6) \sqrt{5 \cdot 3} = 90\sqrt{15}$
    • $5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{5} = (5 \cdot 2) \sqrt{3 \cdot 5} = 10\sqrt{15}$
    • $5\sqrt{3} \cdot 5\sqrt{6} = (5 \cdot 5) \sqrt{3 \cdot 6} = 25 \sqrt{18} = 25 \sqrt{9 \cdot 2} = 25 \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 25 \cdot 3 \sqrt{2} = 75\sqrt{2}$
    • $5\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2} = (5 \cdot 3) \sqrt{3\cdot 2} = 15\sqrt{6}$
    • $5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = (5\cdot 2) \sqrt{3 \cdot 3} = 10 \cdot 3 =30$
  • Erschließe die Terme im Produkt.

    Tipps

    Beachte die Vorzeichen beim Ausmultiplizieren und markiere die vorkommenden Terme mit Vorzeichen.

    Verwende zum Ausmultiplizieren die Vorzeichen-Regel Minus mal Minus ergibt Plus.

    Die Multiplikation einer Wurzel mit sich selbst liefert als Produkt die Zahl unter der Wurzel.

    Lösung

    Durch Ausmultiplizieren der Wurzelterme kannst du alle im Produkt vorkommenden Terme bestimmen. Das passende Vorzeichen erhältst du jeweils aus der Regel Minus mal Minus ergibt Plus.

    Im Folgenden sind die Rechnungen für alle Produkte.

    Aufgabe 1

    $\begin{array}{lll} \\ (5\sqrt{3} + 3\sqrt{5}) \cdot (2\sqrt{2} -5\sqrt{3}) &=& 10\sqrt{6} + 6\sqrt{10} -15\sqrt{15} -25\sqrt{9} \\ &=& 10\sqrt{6} + 6\sqrt{10} -15\sqrt{15} - 75 \end{array}$

    Aufgabe 2

    $\begin{array}{lll} \\ (2\sqrt{5}-5\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{3}+3\sqrt{5}) &=& 10\sqrt{15} -25\sqrt{6} -15\sqrt{10} + 6\sqrt{25} \\ &=& 10\sqrt{15} -25\sqrt{6} -15\sqrt{10} + 30 \end{array}$

    Aufgabe 3

    $\begin{array}{lll} \\ (3\sqrt{2}+7\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{7}-3\sqrt{5}) &=& 6\sqrt{14} + 14\sqrt{21} -21\sqrt{15} - 9\sqrt{10} \\ \\ \end{array}$

    Aufgabe 4

    $\begin{array}{lll} \\ (5\sqrt{2}+5\sqrt{3}) \cdot (3\sqrt{5}-3\sqrt{2}) &=& 15\sqrt{10} +15\sqrt{15} -15\sqrt{6} - 15\sqrt{4} \\ &=& 15\sqrt{10} +15\sqrt{15} -15\sqrt{6} - 30 \end{array}$

  • Ordne der linken Seite der Gleichung die zugehörige rechte Seite zu.

    Tipps

    Den Term $(2\sqrt{3} - 2\sqrt{5})$ kannst du vereinfachen zu $2\cdot (\sqrt{3} - \sqrt{5})$.

    Prüfe, ob du das Ergebnis vereinfachen kannst, indem du gemeinsame Faktoren ausklammerst.

    Lösung

    Durch Ausmultiplizieren der Wurzelterme kannst du die passende rechte Seite finden. Dazu musst du evtl. noch die entstehenden Terme auf beiden Seiten der Gleichung vereinfachen. Hier ist die korrekte Zuordnung:

    • $(2\sqrt{3}-3\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2} + 3\sqrt{3}) = 6\sqrt{6} - 9\sqrt{4} + 6\sqrt{9} - 9\sqrt{6}$
    • $(5\sqrt{3}-3\sqrt{5}) \cdot (3\sqrt{5} - 3\sqrt{3}) = 15\sqrt{15} - 90 + 9\sqrt{15}$
    • $(5\sqrt{7}-5\sqrt{2}) \cdot (3\sqrt{2}-3\sqrt{7}) = 15 \cdot (2\sqrt{14} -9)$
    • $(2\sqrt{3} + 2\sqrt{7}) \cdot (3\sqrt{7} -5\sqrt{3}) = -4\sqrt{21} + 12 $
  • Berechne die Produkte der Wurzeln.

    Tipps

    $\sqrt{2}$ ist die positive reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert $2$ ergibt, also:

    $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$

    Multiplizierst du zwei verschiedene Wurzeln, so kommt wieder eine Wurzel heraus:

    $\sqrt{2} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{14}$

    Multiplizierst du zwei gleiche Wurzeln, so gilt:

    $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2$

    Lösung

    Die Wurzel einer positiven reellen Zahl ist die eindeutige positive reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der Wurzel ergibt. D.h. $\sqrt{2}$ ist die eindeutige Zahl, die mit sich selbst multipliziert $2$ ergibt:

    $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$.

    Multiplizierst du zwei Wurzeln, so ist das Ergebnis einfach die Wurzel aus dem Produkt:

    $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$

    Dass die Gleichung stimmt, kannst du leicht nachrechnen, indem du das Produkt der Wurzeln mit sich selbst mutliplizierst:

    $(\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}) = (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 2 \cdot 3 = 6$

    Mit dieser Rechenregel kannst du die Produkte der Wurzeln ausrechnen:

    • $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{15}$
    • $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{9} = 3$
    • $\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}$
    • $\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
    • $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{25} = 5$
  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    Verwende zum Quadrieren einer Summe die binomische Formel. Überlege dann, was du daraus über das Wurzelziehen herausfinden kannst.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Das Produkt zweier Wurzeln ist die Wurzel eines Produktes.“ Denn es gilt: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
    • „Die Wurzel einer natürlichen Zahl $>1$ kann man als Produkt von Wurzeln von Primzahlen schreiben.“ Die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl $>1$ stellt die Zahl als Produkt von Primzahlen dar. Die Wurzel aus der Primfaktorzerlegung liefert eine Darstellung der Wurzel einer natürlichen Zahl $>1$ als Produkt von Wurzeln von Primzahlen.
    • „Das Quadrat der Wurzel einer Zahl ist dasselbe wie die Wurzel aus dem Quadrat dieser Zahl.“ Denn $(\sqrt{a})^2 = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = \sqrt{a \cdot a} = \sqrt{a^2}$.
    • „Das Quadrat der Summe zweier Wurzeln ist größer als die Summe der Quardate der Wurzeln.“ Die binomische Formel lautet: $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2 \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} + (\sqrt{b})^2$. Da für den mittleren Term $2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} >0$ gilt, ist das Quadrat der Summe der Wurzeln $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ größer als die Summe der Quadrate der Wurzeln $(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2$.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Es gibt keine Produkte von Wurzeln, die man ohne Wurzelzeichen schreiben kann.“ Das Produkt $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{9} = 3$ kann man ohne Wurzelzeichen schreiben.
    • „Die Wurzel aus dem Quadrat einer Zahl ist wieder die ursprüngliche Zahl.“ Die Wurzel $\sqrt{a}$ einer natürlichen Zahl ist die positive Lösung $x$ der Gleichung $x^2 = a$. Ist $a = (-b)^2$ und $b>0$, so ist $\sqrt{a} = b$ und nicht die Zahl $-b$, aus deren Quadrat $a = (-b)^2$ wir die Wurzel gezogen haben.
    • „Die Summe von Wurzeln natürlicher Zahlen ist die Wurzel der Summe.“ Die binomische Formel lautet: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Mit $a=\sqrt{x}$ und $b=\sqrt{y}$ erhalten wir: $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + y$. Daher ist $\sqrt{x} + \sqrt{y} \neq \sqrt{x+y}$, sondern es gilt: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \sqrt{(x + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + y)}$.
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