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Potenzgleichungen – Eigenschaften 06:50 min

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Transkript Potenzgleichungen – Eigenschaften

Hallo! Schön, dass du mal du mal wieder bei uns bist. Heute werden wir uns mit Potenzgleichungen beschäftigen. Wir schauen uns zunächst die Potenzfunktionen f und g mit den Gleichungen f(x) = x² und g(x) = x³ an. Danach schauen wir uns noch die Lösungsmengen von Potenzgleichungen an. Was ist eine Potenzgleichung? Eine Potenzgleichung ist eine Gleichung der Form a * xn = b. Dabei sind a und b reelle Zahlen und n ist aus dem Bereich der natürlichen Zahlen, während x eine unbekannte Zahl ist. Bei Potenzgleichungen müssen wir zwei Fälle unterscheiden. Entweder ist n gerade oder ungerade. Um die Eigenschaften von Potenzfunktionen herauszuarbeiten, schauen wir uns einfach mal den Verlauf der Graphen der Potenzfunktionen f mit den Gleichungen f(x) = x² und g(x) = x³ genauer an. Diese sollen stellvertretend für gerade, beziehungsweise ungerade Exponenten stehen. Wir fangen mit der Funktionsgleichung f(x) = x² an. Dies ist die Gleichung der sogenannten Normalparabel. Wie du siehst, verläuft ihr Graph symmetrisch zur y-Achse. Das heißt, insbesondere jeder y-Wert außer dem Extremwert kommt zweimal vor. Diese Funktion ist zunächst monoton fallend und nach dem Extremwert monoton steigend. Nun kommen wir zur Funktionsgleichung g(x) = x³. Wie du siehst, ist der Graph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Daher ist jeder y-Wert nur einmal möglich. Diese Funktion ist überall monoton steigend. Betrachten wir zunächst einmal Potenzgleichungen mit geradem Exponenten. Hierzu drei Beispiele. x² = 16. Hier müssen wir auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen und erhalten x1 = 4 und x2 = -4. x4 = -16. Hier müssten wir die vierte Wurzel ziehen, aus einer negativen Zahl ist dies allerdings nicht möglich. Deshalb haben wir hier keine Lösung. 5x² = 125. Zunächst müssen wir die Gleichung auf beiden Seiten durch 5 dividieren und erhalten x² = 25. Nun wird auf beiden Seiten die Wurzel gezogen und wir erhalten als Lösungen x1 = 5 und x2 = -5. Man sagt auch kurz x = ±5. Wenn man eine Potenzgleichung mit geradem Exponenten hat, so gibt es entweder zwei Lösungen oder gar keine, außer wenn die Lösung der Gleichung 0 ist, dann haben wir nur eine einzige Lösung, nämlich x = 0. Nun kommen wir zu Potenzgleichungen mit ungeradem Exponenten. Auch hierzu gibt es wieder drei Beispiele. x³ = 27. Hier müssen wir auf beiden Seiten die dritte Wurzel ziehen und erhalten x = 3. 3x³ = 0,375. Zunächst dividieren wir die Gleichung auf beiden Seiten durch 3 und erhalten x³ = 0,125. Nun müssen wir auf beiden Seiten die dritte Wurzel ziehen und erhalten x = 0,5. Zuletzt noch diese Aufgabe. 2x³ = -16. Wir teilen als erstes durch 2. Das ergibt x³ = -8. Dann ist x = - dritte Wurzel(8). Also ist x = -2. Bei Potenzgleichungen mit ungeradem Exponenten erhalten wir also immer genau eine Lösung. Natürlich gibt es noch schwierigere Potenzgleichungen, aber die Regeln für die Anzahl der möglichen Lösungen gelten immer. Ich hoffe, dass du nun weißt, was Potenzgleichungen sind, wie man diese in einfachen Fällen löst und wie viele Lösungen möglich sind. Schau deshalb immer nach, ob der Exponent gerade oder ungerade ist. Ich wünsche dir noch einen schönen Tag und hoffe, dass wir uns bald mal wiedersehen.

2 Kommentare
  1. Hallo, genau dieselbe Frage habe ich auch. Eine Antwort wäre super. ;-)

    Von Duda, vor fast 4 Jahren
  2. Hallo,
    Ich habe eine Frage: Wieso darf man nicht bei einer gerade Hochzahl die Wurzel von einer negativen Zahl ziehen (Keine Lösung) während bei einer ungeraden Hochzahl möglich ist (eine Lösung). Ich dachte, dass man generell bei einer negativen Zahl nicht die Wurzel ziehen darf, wodurch sich keine Lösung ergibt.

    Von Jasmin Mecid1, vor fast 4 Jahren

Potenzgleichungen – Eigenschaften Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzgleichungen – Eigenschaften kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zu Potenzgleichungen.

    Tipps

    Bei einer Potenzgleichung wird die Variable $x$ potenziert.

    Eine Potenz hat die Form $a^n=b$. Dabei ist

    • $a$ die Basis, welche mit
    • $n$, dem Exponenten, potenziert wird.
    • $b$ ist das Ergebnis der Potenz, der Potenzwert.

    Eine Gleichung der Form

    $x^2=4$

    besitzt zwei Lösungen $x_1=-2$ sowie $x_2=2$.

    Eine Gleichung der Form

    $x^3=8$

    besitzt eine Lösung $x=2$.

    Lösung

    Was ist eine Potenzgleichung?

    Eine Potenzgleichung ist eine Gleichung der Form

    $a\cdot x^n=b$.

    Dabei sind

    • $a,~b\in\mathbb{R}$,
    • $n\in \mathbb{N}$ und
    • $x$ unbekannt.
    Man unterscheidet zwischen Potenzgleichungen mit geraden, $f(x)=x^2$, oder ungeraden, $f(x)=x^3$, Exponenten.

  • Fasse die Eigenschaften von Potenzfunktionen zusammen.

    Tipps

    Beachte, dass zum Beispiel $2^2=(-2)^2=4$.

    Zeichne dir die Graphen der beiden Funktionen in ein Koordinatensystem.

    Die Definition einer Funktion setzt voraus, dass zu jedem x-Wert höchstens ein y-Wert gehört. Ist dies bei einer Symmetrie zur x-Achse möglich?

    Lösung

    Zu $f(x)=x^2$:

    • Der Graph dieser Funktion ist die Normalparabel, diese ist im Bild oben zu sehen.
    • Diese ist symmetrisch zur y-Achse.
    • Für jeden y-Wert, welcher größer als $0$ ist, gibt es zwei x-Werte mit diesem Funktionswert, da zum Beispiel $(-2)^2=2^2=4$ ist.
    • Die Funktion besitzt ein Extremum. Dies ist ein Tiefpunkt.
    • Links von dem Tiefpunkt fällt und rechts davon steigt die Funktion.
    • $f(x)=x^2$ besitzt keine negativen Funktionswerte. Das bedeutet, dass die Gleichung $x^2=b$ mit negativem $b$ nicht lösbar ist.
    Zu $f(x)=x^3$:
    • Der Graph dieser Funktion ist hier im Bild zu sehen.
    • Er ist symmetrisch zum Koordinatenursprung.
    • Für jeden y-Wert gibt es einen x-Wert mit diesem Funktionswert.
    • Die Funktion ist monoton steigend.
    • Daraus folgt, dass jede Gleichung der Form $x^3=b$ für beliebiges $b$ genau eine Lösung besitzt.

  • Gib die Lösungen der Potenzgleichungen an.

    Tipps

    Beachte, dass $3^2=(-3)^2=9$ ist.

    Potenzgleichungen $x^n=b$ mit geradem Exponenten und positivem $b$ besitzen zwei Lösungen.

    Falls ein Faktor vor der Potenz steht, musst du zunächst durch diesen teilen.

    Lösung

    Bei der Lösung von Potenzgleichungen gibt es Unterschiede, je nachdem, ob der Exponent gerade oder ungerade ist:

    gerade Exponenten

    • $x^2=16$ wird durch Ziehen der Quadratwurzel gelöst und man erhält $x_1=4$ sowie $x_2=-4$.
    • Wenn die rechte Seite negativ ist, ist die Gleichung nicht lösbar, wie zum Beispiel bei $x^4=-16$.
    • $5x^2=125$. Durch Division durch $5$ erhält man $x^2=25$. Auch hier wird die Quadratwurzel gezogen und die Lösungen sind $x_1=5$ und $x_2=-5$.
    ungerade Exponenten
    • $x^3=27$. Durch Ziehen der dritten Wurzel erhält man $x=3$.
    • $3x^3=0,375$ ist nach Division durch $3$ äquivalent zu $x^3=0,125$. Die dritte Wurzel liefert $x=0,5$.
    • Bei Potenzgleichungen mit ungeradem Exponenten sind auch Gleichungen mit negativer rechter Seite lösbar: $2x^3=-16$ ist äquivalent zu $x^3=-8$. Nun kann die dritte Wurzel gezogen werden und man erhält als Lösung $x=-2$.

  • Arbeite die Lösung der Potenzgleichung heraus.

    Tipps

    Die Potenz ist gerade. Das heißt, dass es zwei Lösungen gibt.

    Forme die Gleichung zunächst so um, dass die Potenzen mit der Basis $x$ alle auf der linken Seite und die gegebenen Zahlen auf der rechten Seite stehen, oder umgekehrt.

    So gelangst du zu der Gleichung

    $100x^2=49$.

    Nun musst du noch durch $100$ dividieren und dann die Quadratwurzel ziehen.

    Lösung

    Die Gleichung $65-53x^2=16+47x^2$ sieht schon etwas komplexer aus. Es handelt sich auch hier um eine Potenzgleichung, da $x$ jedes Mal in Form einer Potenz vorkommt. Da der Exponent gerade ist, hat diese Gleichung auch zwei Lösungen. Zunächst formt man die Gleichung so um, dass man eine Gleichung der Form $x^2=b$ hat:

    $\begin{align*} 65-53x^2&=16+47x^2&|&-16\\ 49-53x^2&=47x^2&|&+53x^2\\ 49&=100x^2&|&:100\\ 0,49&=x^2. \end{align*}$

    Nun kann die Quadratwurzel gezogen werden und man erhält die beiden Lösungen $x_1=0,7$ sowie $x_2=-0,7$.

  • Ermittle die Lösung der Potenzgleichung.

    Tipps

    Die Umkehrung einer Potenz mit dem Exponenten $n$ ist das Ziehen der $n$-ten Wurzel.

    Bei ungeraden Exponenten gibt es immer eine Lösung.

    Die Lösung von $x^5=32$ ist $2$, da $2^5=32$ ist.

    Lösung

    Um die Gleichung

    $4x^3=500$

    zu lösen, muss man zunächst durch $4$ dividieren:

    $x^3=125$.

    Nun kann die dritte Wurzel gezogen werden und man erhält die Lösung

    $x=5$, da $5^3=125$ ist.

  • Überprüfe die Gleichungen auf ihre Lösbarkeit.

    Tipps

    Der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ ist eine Normalparabel. Diese ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

    Jede Potenzfunktion mit geradem Exponenten ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

    Beim Ziehen einer Wurzel mit geradem Wurzelexponenten erhältst du mit dem Taschenrechner eine Lösung. Das Negative dieser Lösung liefert beim Potenzieren das gleiche Ergebnis.

    Zum Beispiel ist $\sqrt[4]{16}=2$ und es gilt $2^4=(-2)^4=16$.

    Potenzgleichungen $x^n=b$ mit geradem Exponenten sind nur lösbar, wenn $b\ge0$ ist.

    Beachte, dass du gegebenenfalls durch einen Faktor vor der Potenz teilen musst.

    Lösung

    Es gilt, dass Potenzgleichungen $x^n=b$

    • bei ungeradem Exponenten immer lösbar sind und
    • bei geradem Exponenten nur, wenn $b\ge 0$ ist. Für $b>0$ gibt es zwei Lösungen und für $b=0$ nur eine, $x=0$.
    Bei der Gleichung $-3x^2=-0,75$ steht auf der rechten Seite zwar eine negative Zahl, jedoch kann wie folgt umgeformt werden:

    $\begin{align*} -3x^2&=-0,75&|&:(-3)\\ x^2&=0,25&|&\sqrt{~}\\ x_1&=0,5\\ x_2&=-0,5. \end{align*}$

    Die Gleichung $-2x^4=32$ ist nicht lösbar, da man nach der Division durch $-2$ den Term $x^4=-16$ erhält. Da eine Potenz mit geradem Exponenten keine negativen Potenzwerte haben kann, kann $x^4=-16$ keine Lösung besitzen.

    Die Gleichung $7x^5=224$ kann man durch Dividieren durch $7$ umformen zu $x^5=32$. Nun kann man die fünfte Wurzel ziehen und erhält $x=2$. Hier ist $-2$ keine Lösung, da $(-2)^5=-32$ ist.