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Potenzgleichungen – Eigenschaften

Potenzgleichungen sind Gleichungen wie $x^{n}=a$. Der Exponent $n$ kann verschiedene Werte annehmen, und je nach Situation gibt es unterschiedliche Lösungen. Es ist notwendig, Äquivalenzumformungen vorzunehmen und die Regeln der Wurzeln anzuwenden. Mehr Beispiele und Details sind im Originaltext verfügbar. Magst du mehr darüber erfahren? Alle Informationen und vieles mehr stehen im kompletten Text!

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Lerntext zum Thema Potenzgleichungen – Eigenschaften

Was sind Potenzgleichungen?

Gleichungen der Form $x^{n}=a$ nennt man Potenzgleichungen. Die gesuchte Zahl $x$ steht dabei in der Basis der Potenz. Der Exponent $n$ kann eine gerade oder ungerade natürliche Zahl oder auch eine negative oder rationale Zahl sein. Je nachdem welche Eigenschaften $n$ hat, musst du verschiedene Fälle beim Lösen der Potenzgleichung beachten, die wiederum vom Ergebnis $a$ der Gleichung abhängen. In diesem Lerntext erhältst du einen Überblick über die unterschiedlichen Fälle und wiederholst dabei auch die Regeln zum Ziehen von Wurzeln. Da Potenzgleichungen der Form $x^{n}=a$ eng mit den Potenzfunktionen $f(x)=x^{n}$ zusammenhängen, schauen wir uns jeweils auch die Graphen der Potenzfunktionen an.

Potenzgleichungen und Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

Wir betrachten zuerst Potenzgleichungen $x^{n}=a$ mit bzw. die Potenzfunktionen $f(x)=x^{n}$ mit $n \in \mathbb{N}$. Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten lassen sich in Gruppen zusammenfassen. Innerhalb einer Gruppe haben die Funktionen viele Gemeinsamkeiten.

Gerade positive Exponenten

Du kennst bestimmt die Potenzfunktion $f(x)=x^{2}$ unter dem Namen quadratische Funktion. Der Funktionsgraph ist eine Normalparabel, deren Scheitelpunkt im Ursprung liegt. Die Potenzfunktionen $f(x)=x^{2}$, $f(x)=x^{4}$ und $f(x)=x^{12}$ sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Potenzfunktionen mit geraden Exponenten

Alle Graphen von Potenzfunktionen mit geraden Exponenten haben Ähnlichkeiten. Der einzige Unterschied ist, dass mit wachsenden Exponenten die Graphen zwischen $-1$ und $1$ flacher verlaufen und außerhalb dieses Bereichs steiler. Als Gemeinsamkeiten zeigen alle Graphen eine Achsensymmetrie zur $y$-Achse und haben einen positiven Wertebereich $y \in \mathbb{R}^{+}$ sowie den tiefsten Punkt im Ursprung.

Die Lösung einer Potenzgleichung der Form $x^{n}=a$ entspricht grafisch der Bestimmung der Schnittpunkte zwischen dem Graphen der Funktion $f(x)=x^{n}$ und einer zur $y$-Achse waagerechten Geraden auf der Höhe $y=a$.

Zur Lösung der Gleichungen betrachten wir drei Beispiele.

Um die Potenzgleichungen zu lösen, musst du die Wurzel ziehen, also die Umkehrrechnung des Potenzierens anwenden.

Beispiel 1: $a>0$

$x^{2}=36 \quad \vert \sqrt{~~} $

$x=\sqrt{36}$

$x_{1}=6$ und $x_{2}={-}6$

$\mathbb{L}=\lbrace -6, 6\rbrace$

Die gerade Wurzel aus einer positiven Zahl hat zwei Lösungen. In der Rechnung wird das deutlich, wenn du dich erinnerst, dass $6\cdot 6=36$ ist, aber auch $(-6)\cdot(-6)=36$. Bei einer geraden Anzahl von negativen Faktoren ist das Ergebnis positiv, da jeweils zwei Minuszeichen, die miteinander multipliziert werden, sich gegenseitig aufheben.

Grafisch bedeutet $x^{2}=36$, dass es zwischen der Normalparabel und der Gleichung $y=36$ (also einer Geraden parallel zur $x$-Achse auf der Höhe $36$) zwei Schnittpunkte gibt (und zwar an den Stellen $x_{1}=6$ und $x_{2}={-}6$).

Beispiel 2: $a=0$

$x^{12}=0 \quad \vert \sqrt[12]{~~} $

$x=\sqrt[12]{0}$

$x=0$

$\mathbb{L}=\lbrace 0\rbrace $

Die Wurzel aus $0$ hat nur eine Lösung, nämlich $0$. Es gibt keine andere Zahl, die mit sich selbst multipliziert $0$ ergibt, außer die $0$ selbst. Die Null hat kein Vorzeichen und ist weder positiv noch negativ.

Grafisch bedeutet $x^{12}=0$, dass es zwischen dem Graphen von $x^{12}$ und der Gleichung $y=0$ (also einer Geraden, die auf der $x$-Achse liegt) einen gemeinsamen Punkt gibt.

Beispiel 3: $a<0$

$x^{4}=-81 \quad \vert \sqrt[4]{~~} $

$x=\sqrt[4]{-81} $

$x$ hat keine Lösung.

$\mathbb{L}=\lbrace ~\rbrace $

Für die Wurzel aus einer negativen Zahl gibt es keine Lösung. Es gibt keine Zahl, die viermal mit sich selbst multipliziert $-81$ ergibt, denn es gilt ${3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=+81}$ und ${(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)=+81}$. Grafisch bedeutet $x^4=-81$, dass es zwischen dem Graphen von $x^{4}$ und der Gleichung $y=-81$ (also einer Geraden, die unterhalb der $x$-Achse liegt) keinen Schnittpunkt gibt.

Die Graphen der Funktionen $f(x)=x^{n}$ mit geradem Exponenten sind u-förmig und achsensymmetrisch. Die Potenzgleichungen der Form $x^{n}=a$ entsprechen dem Schnitt des Funktionsgraphen mit der Geraden $y=a$. Bei geradem $n$ ergeben sich:

  • zwei Lösungen für $a>0$,
  • eine Lösung für $a=0$ und
  • keine Lösung für $a<0$.

Ungerade positive Exponenten

Die Potenzfunktion $f(x)=x^{3}$ hat den Verlauf einer S-Kurve. Die Potenzfunktionen ${f(x)=x^{3}}$, ${f(x)=x^{5}}$ und ${f(x)=x^{13}}$ sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten

Alle Potenzfunktionen der Form $f(x)=x^{n}$ mit ungeraden Exponenten haben Ähnlichkeiten. Der einzige Unterschied ist, dass mit wachsenden Exponenten die Graphen zwischen $-1$ und $1$ flacher verlaufen und außerhalb dieses Bereichs steiler. Als Gemeinsamkeiten besitzen sie eine Punktsymmetrie zum Ursprung und einen uneingeschränkten Wertebereich: $y \in \mathbb{R}$.

Zur Lösung der Gleichungen betrachten wir drei Beispiele.

Beispiel 1: $a>0$

$x^{3}=27 \quad \vert \sqrt[3]{~~}$

$x=\sqrt[3]{27} $

$x=3$

$\mathbb{L}=\lbrace 3\rbrace $

Die ungerade Wurzel aus einer positiven Zahl hat eine Lösung. In diesem Beispiel gilt ${3\cdot 3\cdot 3=27}$.

Achtung: $-3$ ist keine Lösung der Gleichung, denn ${(-3)\cdot(-3)\cdot (-3)=-27}$.

Grafisch bedeutet $x^{3}=27$, dass es zwischen dem Graphen von $x^{3}$ und der Gleichung $y=27$ (also einer Geraden parallel zur $x$-Achse auf der Höhe $27$) einen Schnittpunkt gibt.

Beispiel 2: $a=0$

$x^{13}=0 \quad \vert \sqrt[13]{~~} $

$x=\sqrt[13]{0} $

$x=0$

$\mathbb{L}=\lbrace 0\rbrace $

Wie bei geraden Wurzeln hat auch die ungerade Wurzel aus $0$ nur eine Lösung, nämlich $0$.

Grafisch bedeutet $x^{13}=0$, dass es zwischen dem Graphen von $x^{7}$ und der Gleichung $y=0$ einen Schnittpunkt gibt.

Beispiel 3: $a<0$

$x^{5}=-32 \quad \vert \sqrt[5]{~~} $

$x=\sqrt[5]{-32} $

$x=-2$

$\mathbb{L}=\lbrace -2\rbrace $

Für die ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl gibt es eine Lösung. Hier gilt ${(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-32}$. Bei einer ungeraden Anzahl von negativen Faktoren ist das Ergebnis negativ, da jeweils zwei Minuszeichen sich gegenseitig aufheben und ein Minuszeichen übrig bleibt.

Grafisch bedeutet $x^{5}=-32$, dass es zwischen dem Graphen von $x^{5}$ und der Gleichung $y=-32$ (also einer Geraden, die unterhalb der $x$-Achse liegt) einen Schnittpunkt gibt.

Die Graphen der Funktionen $f(x)=x^{n}$ mit ungeradem Exponenten sind s-förmig und punktsymmetrisch. Die Potenzgleichungen der Form $x^{n}=a$ entsprechen dem Schnitt des Funktionsgraphen mit der Geraden $y=a$. Bei ungeradem $n$ ergibt sich immer eine Lösung. Weiterhin gilt:

  • $x>0$ für $a>0$
  • $x=0$ für $a=0$
  • $x<0$ für $a<0$

Zusammenfassung – Potenzgleichungen mit natürlichen Exponenten

Hier siehst du die Fallunterscheidung für die Anzahl der Lösungen von Potenzgleichungen mit natürlichen Exponenten.

Fall $n$ gerade Beispiel für $n=2$(gerade) $n$ ungerade Beispiel für $n=3$ (ungerade)
$a>0$ zwei Lösungen $x^{2}=64$
$\mathbb{L}=\lbrace -8, +8\rbrace $
eine Lösung $x^{3}=64$
$\mathbb{L}=\lbrace 4\rbrace $
$a=0$ eine Lösung $x^{2}=0$
$\mathbb{L}=\lbrace 0\rbrace $
eine Lösung $x^{3}=0$
$\mathbb{L}=\lbrace 0\rbrace $
$a<0$ keine Lösung $x^{2}=-64$
$\mathbb{L}=\lbrace ~\rbrace $
eine Lösung $x^{3}=-64$
$\mathbb{L}=\lbrace -4\rbrace $

Äquivalenzumformungen beim Lösen von Potenzgleichungen

Wenn eine Potenzgleichung noch nicht in der Form $x^{n}=a$ vorliegt, musst du zuerst Äquivalenzumformungen vornehmen.

Äquivalenzumformungen – Vorfaktor vor der Potenz

Wenn vor der Potenz ein Faktor steht, musst du beide Seiten der Gleichung durch diesen Faktor dividieren und kannst danach die Wurzel ziehen:

$5x^2=125 \quad \vert :5$

$x^2=25 \quad \vert \sqrt{~~} $

$x_{1}=5$ und $x_{2}={-}5$

Äquivalenzumformungen – gleichartige Potenzen zusammenfassen

Wenn die Gleichung mehrere Summanden enthält, sortiere zunächst (Potenzen nach links, Konstanten nach rechts) und ziehe dann die Wurzel:

$7x^3-300=3x^3+200 \quad \vert +300 \quad \vert -3x^3$

$4x^3=500 \quad \vert :4$

$x^3=125 \quad \vert \sqrt[3]{~~} $ $x= 5$

Potenzgleichungen mit rationalen und negativen Exponenten

Der Exponent muss nicht immer eine natürliche Zahl sein. Es kann auch eine Potenz der Form $x^{\frac{m}{n}}$ mit $m,n \in \mathbb{Z}$ auftreten, sodass der Exponent eine positive oder negative Bruchzahl ist. Mithilfe der Potenzgesetze kann man Regeln herleiten, mit denen man Gleichungen, die rationale und negative Exponenten enthalten, so umformen kann, dass sie nur natürliche Exponenten enthalten. Du kannst dich hier über die Herleitung der Regeln für rationale Exponenten und negative Exponenten informieren oder die Informationen aus dem Kasten verwenden:

Für rationale und negative Exponenten gilt:

$x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}$ und $x^{{-}n}=\frac{1}{x^n}$

Wir betrachten zwei Beispiele:

Beispiel 1 – rationaler Exponent

$x^{\frac{2}{3}}=100$

Diese Gleichung kannst du mithilfe des Potenzgesetzes umschreiben:

$\sqrt[3]{x^{2}}=100$

Anschließend musst du zuerst potenzieren, um die Wurzel aufzulösen. Danach kannst du die Wurzel ziehen, um die verbleibende Potenz aufzulösen. Dadurch kannst du das $x$ isolieren und somit berechnen.

$\sqrt[3]{x^{2}}=100 \quad \vert (~)^{3}$

$x^{2}=100^3 \quad \vert \sqrt{~~}$

$x=\sqrt{100^3} =\sqrt{1 000 000}=1 000$

Gleichungen der Form $x^{\frac{m}{n}}=a$ kannst du lösen, indem du die Gleichung umschreibst, danach potenzierst und dann die Wurzel ziehst, sodass $x$ isoliert ist:

$\sqrt[m]{x^{n}}=a \quad \vert (~)^{m}$

$x^{n}=a^m \quad \vert \sqrt[n]{~~}$

$x=\sqrt[n]{a^m} $

Beispiel 2 – negativer Exponent

$x^{-2}=0,01$

Diese Gleichung kannst du mithilfe des Potenzgesetzes umschreiben:

$\frac{1}{x^{2}}=0,01$

Du erhältst einen Bruch und musst zuerst die ganze Gleichung mit dem Nenner multiplizieren, damit die Unbekannte $x$ nicht im Bruch steht. Danach kannst du durch den Vorfaktor vor $x$ dividieren und anschließend die Wurzel ziehen, um die verbleibende Potenz aufzulösen. Dadurch ist $x$ isoliert und kann berechnet werden.

$\frac{1}{x^{2}}=0,01 \quad \vert \cdot x^{2}$

$1=0,01 x^{2} \quad \vert :0,01 $

$100= x^{2} \quad \vert \sqrt{~~}$

$x_{1}=10$ und $x_{2}={-}10$

Gleichungen der Form $x^{-m}=a$ kannst du lösen, indem du die Gleichung umschreibst, den Bruch auflöst und die Wurzel ziehst, sodass $x$ isoliert ist: $\frac{1}{x^{m}}=a \quad \vert \cdot x^{m}$

$1=a x^{m} \quad \vert :a $

$\frac{1}{a}= x^{m} \quad \vert \sqrt[m]{~~}$

$x=\sqrt[m]{\frac{1}{a}}$

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Potenzgleichungen – Eigenschaften Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Potenzgleichungen – Eigenschaften kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zu Potenzgleichungen.

    Tipps

    Bei einer Potenzgleichung wird die Variable $x$ potenziert.

    Eine Potenz hat die Form $a^n=b$. Dabei ist

    • $a$ die Basis, welche mit
    • $n$, dem Exponenten, potenziert wird.
    • $b$ ist das Ergebnis der Potenz, der Potenzwert.

    Eine Gleichung der Form

    $x^2=4$

    besitzt zwei Lösungen $x_1=-2$ sowie $x_2=2$.

    Eine Gleichung der Form

    $x^3=8$

    besitzt eine Lösung $x=2$.

    Lösung

    Was ist eine Potenzgleichung?

    Eine Potenzgleichung ist eine Gleichung der Form

    $a\cdot x^n=b$.

    Dabei sind

    • $a,~b\in\mathbb{R}$,
    • $n\in \mathbb{N}$ und
    • $x$ unbekannt.
    Man unterscheidet zwischen Potenzgleichungen mit geraden, $f(x)=x^2$, oder ungeraden, $f(x)=x^3$, Exponenten.

  • Gib die Lösungen der Potenzgleichungen an.

    Tipps

    Beachte, dass $3^2=(-3)^2=9$ ist.

    Potenzgleichungen $x^n=b$ mit geradem Exponenten und positivem $b$ besitzen zwei Lösungen.

    Falls ein Faktor vor der Potenz steht, musst du zunächst durch diesen teilen.

    Lösung

    Bei der Lösung von Potenzgleichungen gibt es Unterschiede, je nachdem, ob der Exponent gerade oder ungerade ist:

    gerade Exponenten

    • $x^2=16$ wird durch Ziehen der Quadratwurzel gelöst und man erhält $x_1=4$ sowie $x_2=-4$.
    • Wenn die rechte Seite negativ ist, ist die Gleichung nicht lösbar, wie zum Beispiel bei $x^4=-16$.
    • $5x^2=125$. Durch Division durch $5$ erhält man $x^2=25$. Auch hier wird die Quadratwurzel gezogen und die Lösungen sind $x_1=5$ und $x_2=-5$.
    ungerade Exponenten
    • $x^3=27$. Durch Ziehen der dritten Wurzel erhält man $x=3$.
    • $3x^3=0,375$ ist nach Division durch $3$ äquivalent zu $x^3=0,125$. Die dritte Wurzel liefert $x=0,5$.
    • Bei Potenzgleichungen mit ungeradem Exponenten sind auch Gleichungen mit negativer rechter Seite lösbar: $2x^3=-16$ ist äquivalent zu $x^3=-8$. Nun kann die dritte Wurzel gezogen werden und man erhält als Lösung $x=-2$.

  • Ermittle die Lösung der Potenzgleichung.

    Tipps

    Die Umkehrung einer Potenz mit dem Exponenten $n$ ist das Ziehen der $n$-ten Wurzel.

    Bei ungeraden Exponenten gibt es immer eine Lösung.

    Die Lösung von $x^5=32$ ist $2$, da $2^5=32$ ist.

    Lösung

    Um die Gleichung

    $4x^3=500$

    zu lösen, muss man zunächst durch $4$ dividieren:

    $x^3=125$.

    Nun kann die dritte Wurzel gezogen werden und man erhält die Lösung

    $x=5$, da $5^3=125$ ist.

  • Überprüfe die Gleichungen auf ihre Lösbarkeit.

    Tipps

    Der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ ist eine Normalparabel. Diese ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

    Jede Potenzfunktion mit geradem Exponenten ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

    Beim Ziehen einer Wurzel mit geradem Wurzelexponenten erhältst du mit dem Taschenrechner eine Lösung. Das Negative dieser Lösung liefert beim Potenzieren das gleiche Ergebnis.

    Zum Beispiel ist $\sqrt[4]{16}=2$ und es gilt $2^4=(-2)^4=16$.

    Potenzgleichungen $x^n=b$ mit geradem Exponenten sind nur lösbar, wenn $b\ge0$ ist.

    Beachte, dass du gegebenenfalls durch einen Faktor vor der Potenz teilen musst.

    Lösung

    Es gilt, dass Potenzgleichungen $x^n=b$

    • bei ungeradem Exponenten immer lösbar sind und
    • bei geradem Exponenten nur, wenn $b\ge 0$ ist. Für $b>0$ gibt es zwei Lösungen und für $b=0$ nur eine, $x=0$.
    Bei der Gleichung $-3x^2=-0,75$ steht auf der rechten Seite zwar eine negative Zahl, jedoch kann wie folgt umgeformt werden:

    $\begin{align*} -3x^2&=-0,75&|&:(-3)\\ x^2&=0,25&|&\sqrt{~}\\ x_1&=0,5\\ x_2&=-0,5. \end{align*}$

    Die Gleichung $-2x^4=32$ ist nicht lösbar, da man nach der Division durch $-2$ den Term $x^4=-16$ erhält. Da eine Potenz mit geradem Exponenten keine negativen Potenzwerte haben kann, kann $x^4=-16$ keine Lösung besitzen.

    Die Gleichung $7x^5=224$ kann man durch Dividieren durch $7$ umformen zu $x^5=32$. Nun kann man die fünfte Wurzel ziehen und erhält $x=2$. Hier ist $-2$ keine Lösung, da $(-2)^5=-32$ ist.

  • Fasse die Eigenschaften von Potenzfunktionen zusammen.

    Tipps

    Beachte, dass zum Beispiel $2^2=(-2)^2=4$.

    Zeichne dir die Graphen der beiden Funktionen in ein Koordinatensystem.

    Die Definition einer Funktion setzt voraus, dass zu jedem x-Wert höchstens ein y-Wert gehört. Ist dies bei einer Symmetrie zur x-Achse möglich?

    Lösung

    Zu $f(x)=x^2$:

    • Der Graph dieser Funktion ist die Normalparabel, diese ist im Bild oben zu sehen.
    • Diese ist symmetrisch zur y-Achse.
    • Für jeden y-Wert, welcher größer als $0$ ist, gibt es zwei x-Werte mit diesem Funktionswert, da zum Beispiel $(-2)^2=2^2=4$ ist.
    • Die Funktion besitzt ein Extremum. Dies ist ein Tiefpunkt.
    • Links von dem Tiefpunkt fällt und rechts davon steigt die Funktion.
    • $f(x)=x^2$ besitzt keine negativen Funktionswerte. Das bedeutet, dass die Gleichung $x^2=b$ mit negativem $b$ nicht lösbar ist.
    Zu $f(x)=x^3$:
    • Der Graph dieser Funktion ist hier im Bild zu sehen.
    • Er ist symmetrisch zum Koordinatenursprung.
    • Für jeden y-Wert gibt es einen x-Wert mit diesem Funktionswert.
    • Die Funktion ist monoton steigend.
    • Daraus folgt, dass jede Gleichung der Form $x^3=b$ für beliebiges $b$ genau eine Lösung besitzt.

  • Arbeite die Lösung der Potenzgleichung heraus.

    Tipps

    Die Potenz ist gerade. Das heißt, dass es zwei Lösungen gibt.

    Forme die Gleichung zunächst so um, dass die Potenzen mit der Basis $x$ alle auf der linken Seite und die gegebenen Zahlen auf der rechten Seite stehen, oder umgekehrt.

    So gelangst du zu der Gleichung

    $100x^2=49$.

    Nun musst du noch durch $100$ dividieren und dann die Quadratwurzel ziehen.

    Lösung

    Die Gleichung $65-53x^2=16+47x^2$ sieht schon etwas komplexer aus. Es handelt sich auch hier um eine Potenzgleichung, da $x$ jedes Mal in Form einer Potenz vorkommt. Da der Exponent gerade ist, hat diese Gleichung auch zwei Lösungen. Zunächst formt man die Gleichung so um, dass man eine Gleichung der Form $x^2=b$ hat:

    $\begin{align*} 65-53x^2&=16+47x^2&|&-16\\ 49-53x^2&=47x^2&|&+53x^2\\ 49&=100x^2&|&:100\\ 0,49&=x^2. \end{align*}$

    Nun kann die Quadratwurzel gezogen werden und man erhält die beiden Lösungen $x_1=0,7$ sowie $x_2=-0,7$.

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