Potenzgleichungen lösen – Übung

Potenzgleichungen lösen – Übung Übung

• Ergänze die Rechenschritte zur Lösung der Potenzgleichung.

  Tipps

  Eine Äquivalenzumformung wird immer auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt.

  Ein Beispiel für eine Äquivalenzumformung.

  Man versucht beim Lösen einer Gleichung immer, die Variable auf eine Seite der Gleichung zu bringen und die übrigen Summanden und Faktoren auf die andere.

  Lösung

  Wir betrachten diese Potenzgleichung:

  $300 + x^3 = 84$

  Zuerst muss die Variable auf der linken Seite alleine stehen. Dazu subtrahieren wir $300$ auf beiden Seiten der Gleichung. Wir erhalten:

  $x^3 = -216$

  Nun erhalten wir die Lösung für $x$, indem wir die dritte Wurzel aus $-216$ ziehen. Das Ergebnis lautet:

  $x=-6$

• Gib die Lösungsmenge der Potenzgleichung an.

  Tipps

  Wurzeln kann man als Potenzen schreiben:

  Ein Beispiel:

  Du musst im Anschluss potenzieren, damit aus dem Bruch in der Potenz eine $1$ wird.

  Lösung

  Bei dieser Aufgabe muss man zunächst eine kleine Umformung vornehmen, bevor man sie lösen kann.

  Wir schreiben die Wurzel zuerst als eine Potenz. Die Potenz selbst ist ein Bruch $\frac{1}{n}$, wobei $n$ der Grad der Wurzel ist.

  Es ergibt sich:

  $(4-x)^{\frac{1}{3}} = 2$

  Nun potenzieren wir mit $3$, damit aus dem Bruch in der Potenz eine $1$ wird:

  $4-x = 8$

  Eine $1$ als Potenz muss man nicht aufschreiben. Somit können wir jetzt die Gleichung lösen, indem wir $4$ subtrahieren:

  $-x=4$

  Dies multiplizieren wir noch mit $-1$ und erhalten als Lösung bzw. Lösungsmenge:

  $x=-4$ bzw. $\mathbb{L}=\{-4\}$

• Ermittle die Lösung der Potenzgleichung.

  Tipps

  Äquivalenzumformungen werden auf beiden Seiten einer Gleichung durchgeführt.

  Eine Potenz wird eliminiert, indem man die Wurzel zieht, deren Grad dem Grad der Potenz entspricht.

  Ein Beispiel:

  Lösung

  Bringen wir bei diesem Beispiel zunächst alle Summanden mit einer Variable auf die linke Seite der Gleichung. Summanden ohne Variable bringen wir auf die rechte Seite.

  \begin{align} 10 + 7x^3 &= 5x^3 - 24 &|&-5x^3 \\ 10 + 2x^3 &= -24 &|&-10 \\ 2x^3 &= -34 & \end{align}

  Jetzt teilen wir durch $2$, damit die Variable keinen Vorfaktor mehr besitzt. Wir erhalten:

  $x^3 = -17$

  Durch Ziehen der dritten Wurzel erhalten wir eine Lösung für $x$:

  $x = \sqrt[3]{-17} \approx -2,57$

• Entscheide, welche Lösungsmenge zu welcher Potenzgleichung gehört.

  Tipps

  Widersprüche innerhalb der Gleichung führen zu einer leeren Lösungsmenge.

  Äquivalenzumformungen werden auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt.

  Ein Beispiel:

  Vergiss nicht zum Schluss die Wurzel zu ziehen, um die Potenzen zu elimieren.

  Lösung

  Wir berechnen nacheinander die Lösungsmengen der Potenzgleichungen:

  \begin{align} (I)~3x^3 + 14 &=-13 &|&-14 \\ 3x^3 &= -27 &|&~:3 \\ x^3 &= -9 &|&\sqrt[3]{~} \\ x &= \sqrt[3]{-9} & \end{align}

  \begin{align} (II)~4x^2 - 6 &= 3x^2 + 4 &|&-3x^2 \\ x^2 -6 &= 4 &|&+6 \\ x^2 &= 10 &|&\sqrt{~} \\ x &= \sqrt{10} & \end{align}

  Bisher waren es nur kleine Äquivalenzumformungen, die uns auf die Lösung gebracht haben. Bei der nächsten Aufgabe tritt eine Besonderheit auf.

  \begin{align} (III)~x^4 + 9 &= x^4 + 6 &|-x^4 \\ 9 & = 6 & \end{align}

  Das ist ein Widerspruch, denn $9$ ist ungleich $6$. Somit ist die Lösungsmenge dieser Gleichung die leere Menge

  $\mathbb{L}=\{\}$

  Beachte, dass damit nicht $0$ gemeint ist. Wir kommen zu der letzten Gleichung:

  \begin{align} (IV)~x^5 - 7 &= 103 &|&+7 \\ x^5 &= 110 &|& \sqrt[5]{~} \\ x &= \sqrt[5]{110} & \end{align}

• Bestimme die Lösung der Potenzgleichung.

  Tipps

  Eine negative Potenz lässt sich als Bruch schreiben:

  Ein Beispiel:

  Stelle nach $x^5$ um und ziehe im Anschluss die fünfte Wurzel.

  Lösung

  Da wir nicht mit einer negativen Potenz rechnen möchten, schreiben wir sie zunächst in einen Bruch um. Der Ausdruck rutscht dabei in den Nenner und die Potenz wird positiv:

  $\frac{1}{x^5}=25$

  Um den Bruch nun vollständig zu eliminieren, multiplizieren wir auf beiden Seiten der Gleichung mit $x^5$. Wir erhalten:

  $1=25x^5$

  Nun dividieren wir durch $25$, damit die Variable keinen Vorfaktor mehr besitzt:

  $\frac{1}{25}=x^5$

  Durch Ziehen der fünften Wurzel erhalten wir eine Lösung und damit die Lösungsmenge:

  $\sqrt[5]{\frac{1}{25}}=x$

  $\mathbb{L}=\{\sqrt[5]{\frac{1}{25}}\}$

  Übrigens: $\sqrt[5]{\frac{1}{25}}$ entspricht ungefähr $0,525$.

• Berechne die Lösung der Potenzgleichung.

  Tipps

  Ein Beispiel für das Eliminieren einer Potenz.

  Ein Beispiel für eine Äquivalenzumformung.

  Manchmal ist es sinnvoll eine Fallunterscheidung vorzunehmen.

  Potenzgleichungen mit einem geraden Exponenten können eine, zwei oder gar keine Lösung haben.

  Die vierte Wurzel aus $2401$ ist entweder $7$ oder $-7$.

  Lösung

  Ziehen wir zunächst die vierte Wurzel. Durch diesen Rechenschritt erhalten wir auf der rechten Seite der Gleichung zwei mögliche Wurzelergebnisse, nämlich $-7$ und $+7$.

  Für diese beiden Möglichkeiten nehmen wir nun eine Fallunterscheidung vor.

  Fall $1$

  \begin{align} 5x+8 &= -7 &|&-8 \\ 5x &= -15 &|&~:5 \\ x &= -3 & \end{align}

  Fall $2$

  \begin{align} 5x + 8 &= +7 &|&-8 \\ 5x &= -1 &|&~:5 \\ x &= -\frac{1}{5} & \end{align}

  Wir erhalten also zwei Lösungen für die Potenzgleichung. Die Lösungsmenge beträgt

  $\mathbb{L}=\{-\frac{1}{5}; -3\}$.