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Potenzgleichungen – Übungsaufgaben

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Mathe-Team
Potenzgleichungen – Übungsaufgaben
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Potenzgleichungen – Übungsaufgaben

Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video wirst du verschiedene Aufgaben zu Potenzgleichungen lösen. Dabei wirst du sehen, dass eine Potenzgleichung eine unterschiedliche Anzahl von Lösungen besitzen kann. Schritt-für-Schritt gehen wir gemeinsam alle Aufgaben durch. Hast du alles verstanden? Dann versuch dich an der Testfrage zu diesem Video. Wir wünschen dir viel Spaß beim Lernen!

Transkript Potenzgleichungen – Übungsaufgaben

Hallo, schön, dass du mal wieder da bist. Heute wollen wir ein Paar Übungsaufgaben zu Potenzgleichungen rechnen. Wie du sicherlich noch weißt, können Potenzgleichungen unterschiedlich viele Lösungen besitzen. Dies wollen wir zunächst noch einmal an verschiedenen Beispielen betrachten.

Die Anzahl der Lösungen einer einer Potenz x hoch n immer abhängig vom Exponenten n. Ist der Exponent gerade, so kann es zwei Lösungen oder gar keine Lösung geben. Ist der Exponent ungerade, so gibt es genau eine Lösung. Hast du diese Merkregel verinnerlicht, dann können wir uns nun an die fünf Beispiele wagen, die ich zur Übung vorbereitet habe.

Beispielaufgabe 1

5 mal x hoch 2 gleich 5. Da die Potenz x hoch 2 einen geraden Exponenten hat, kann ich dir schon jetzt sagen: Diese Gleichung hat zwei Lösungen.

Nun lösen wir die Gleichung aber erst einmal. Zunächst dividieren wir die Gleichung auf beiden Seiten durch 5 und erhalten x hoch 2 gleich 1. Nun ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel und erhalten als Lösung x gleich plus minus 1. Wir erhalten also zwei Lösungen.

Wir machen nun die Probe und setzen x=1 in die Gleichung ein. 5 mal 1 hoch 2 gleich 5 mal 1 gleich 5. Richtig Setzen wir minus eins ein, so erhalten wir dasselbe Ergebnis. Denn 5 mal -1 in Klammern hoch 2 ist gleich 5 mal 1 gleich 5. Also haben wir richtig gerechnet.

Beispielaufgabe 2

0,5 mal x hoch 3 gleich minus 108. Hier ist der Exponent der Potenz x hoch drei ungerade, dass heißt wir werden nur eine Lösung für die Gleichung erhalten.

Hierfür dividieren wir zunächst die Gleichung auf beiden Seiten durch 0,5. Das ist dasselbe wie die Multiplikation auf beiden Seiten mit 2. Wir erhalten x hoch 3 gleich minus 216. Nun ziehen wir auf beiden Seiten die dritte Wurzel. Mit dem Taschenrechner berechnen wir als Lösung: x gleich minus 6.

Jetzt die Probe: 0,5 mal -6 in Klammern hoch 3 ist gleich 0,5 mal -218 in Klammern gleich -108. Richtig.

Beispielaufgabe 3

7 mal x hoch 4 gleich minus 70.000.

Zunächst dividieren wir die Gleichung auf beiden Seiten durch 7 und erhalten x hoch 4 gleich minus 10.000. Nun müssen wir auf beiden Seiten die vierte Wurzel ziehen, aber halt, das geht doch gar nicht, da der Radikand auf der rechten Seite, das heißt die Zahl unter der Wurzel, minus 10.000 ist. Und dies haben wir bei geraden Exponenten nicht definiert. Wir erhalten also keine Lösung. Die Lösungsmenge ist die leere Menge.

Beispielaufgabe 4

7 mal x hoch 5 gleich minus 700.000.

Zunächst dividieren wir die Gleichung auf beiden Seiten durch 7 und erhalten x hoch 5 gleich minus 100.000. Nun müssen wir auf beiden Seiten die fünfte Wurzel ziehen. das ist dieses Mal möglich, da wir es mit einem ungeraden Exponenten zu tun haben. Wir erhalten mit dem Taschenrechner x gleich - 10.

Jetzt wieder die Probe: 7 mal -10 in Klammern hoch 5 ist gleich 7 mal -100.000 in Klammern gleich -700.000. Das stimmt Ergebnis stimmt überein.

Beispielaufgabe 5

So, wir kommen zu unserem letzten Beispiel: 3 mal x hoch 2 plus 100 gleich 10 mal x hoch 2 minus 75.

Zunächst subtrahieren wir auf beiden Seiten der Gleichung 3 mal x hoch 2 und erhalten 100 gleich 7 mal x hoch 2 minus 75. Nun addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung 75 und erhalten 175 gleich 7 mal x hoch 2. Jetzt wird auf beiden Seiten der Gleichung durch 7 dividiert. Wir erhalten 25 gleich x hoch 2. Nun ziehen wir auf beiden Seiten die Wurzel und das Ergebnis steht da, x gleich plus minus 5.

Zuletzt wieder die Probe: Wir setzen x=5 in die Gleichung ein: 3 mal 5 hoch 2 + 100 = 10 mal 5 hoch 2 minus 75. Auf der linken Seite erhalten wir 3 mal 25 + 100 und auf der rechten Seite 10 mal 25 minus 75. Das ergibt: 75 + 100 = 250 - 75. Beide Seiten ergeben 175 und sind damit ergebnisgleich. Unser Ergebnis x=5 stimmt also.

Dasselbe gilt für unser Ergebnis x=-5. Würden wir x=-5 in die Gleichung einsetzen erhielten wir diesselbe Rechnung. Denn -5 hoch 2 ist genauso wie 5 hoch 2 gleich 25.

So das war es mal wieder für heute. An den Beispielen hast du gelernt, wie du Potenzgleichungen lösen kannst. Außerdem kannst du nun mit einem Blick auf den Exponenten einschätzen, wie viele Lösungen die Gleichung besitzen könnte. Ich wünsche dir noch einen schönen und erlebnisreichen Tag!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. @Maas0804: Ob du die Wurzel aus der Wurzel ziehen kannst, hängt davon ob die Wurzel ungerade ist oder nicht. Ein Beispiel: Die 3-te Wurzel aus -64 kannst du ziehen und ergibt -4, denn (-4)^3=-64.
    Die 2-te Wurzel aus -64 kannst du hingegen nicht ziehen, denn eine reelle Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt immer eine nichtnegative Zahl.
    Bei weiteren Fragen wende dich gerne an den Fach-Chat, der täglich von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor mehr als 6 Jahren
  2. hä ich verstehe nicht..bei dem einem konnte man die wurzel ziehen obwohl es negativ war un bei dem andren nicht.?!

    Von Deleted User 185772, vor mehr als 6 Jahren

Potenzgleichungen – Übungsaufgaben Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzgleichungen – Übungsaufgaben kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Probe zur Überprüfung der Ergebnisse.

    Tipps

    Bei einer Potenzgleichung mit geraden Exponenten kann es eine, zwei oder gar keine Lösung geben.

    Zur Probe werden die Werte in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt. Danach gilt erst das Auflösen von Klammern bzw. Potenzen und schließlich Punkt-vor-Strich-Rechnung.

    Lösung

    Man führt die Probe durch, um zu überprüfen, ob die zuvor ermittelten Werte für $x$ (oder jede andere Variable einer Gleichung) stimmen.

    Dazu setzt man die möglichen Lösungen in die Gleichung ein und rechnet solange, bis man zu einer wahren Aussage oder zu einem Widerspruch kommt.

    Eine wahre Aussage ist zum Beispiel $7=7$.

    Einen Widerspruch stellt $3=6$ dar.

    Setzen wir zunächst die positive und dann die negative Lösungsmöglichkeit in die Gleichung ein und sehen was passiert:

    $\begin{array}{lrl} &5\cdot (1)^2 &= 5 \\ \Leftrightarrow&5\cdot 1 &=5 \\ \Leftrightarrow&5 &=5 \end{array}$

    $\begin{array}{lrl} &5\cdot (-1)^2 &=5 \\ \Leftrightarrow&5\cdot 1 &=5 \\ \Leftrightarrow&5 &=5 \end{array}$

    Beide Ergebnisse führen zu einer wahren Aussage.

    Die Probe hat also die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-1;1\}$ bestätigt.

  • Gib die Lösung der Potenzgleichung an.

    Tipps

    Ist der Exponent gerade, kann die Gleichung eine, zwei oder gar keine Lösung haben.

    Beim Wurzelziehen erhält man immer zwei Ergebnisse.

    Lösung

    Beim Lösen dieser Potenzgleichung bringen wir zunächst alle Summanden ohne $x$ auf die eine und Summanden mit $x$ auf die andere Seite der Gleichung.

    Durch einige kleine Äquivalenzumformungen erhalten wir nach dem Wurzelziehen zwei Ergebnisse für $x$:

    $\begin{array}{lrll} &3x^2 + 100 &= 10x^2 -75 &|-3x^2 \\ \Leftrightarrow&100 &=7x^2 -75 &|+75 \\ \Leftrightarrow&175 &=7x^2 &|~:7 \\ \Leftrightarrow&25 &=x^2 &|\sqrt{~} \\ \Leftrightarrow&\pm 5 &= x & \end{array}$

    Wir erhalten als Lösungsmenge also $\mathbb{L}=\{-5;5\}$.

    Setzen wir diese zur Probe in die Gleichung ein, erhalten wir sowohl für die positive als auch für die negative $5$ den Wert $25$ – das liegt daran, dass das $x$ zuerst quadriert wird:

    $\begin{array}{lrl} &3\cdot (25) + 100 &=10\cdot (25) -75 \\ \Leftrightarrow&175 &= 175 \end{array}$

    Wir erhalten eine wahre Aussage, beide Ergebnisse stimmen.

  • Bestimme die Lösung der Potenzgleichung.

    Tipps

    Bei einem geraden Exponenten sind eine, zwei oder keine Lösung möglich.

    Um den Exponenten am Ende der Rechnung zu eliminieren, ist die vierte Wurzel notwendig.

    Runde auf die vierte Nachkommastelle wie in diesen beiden Fällen $x=\sqrt{8}=2,828427125...\approx 2,828$ und $x=\sqrt{3}=1,732050808... \approx 1,7321$.

    Lösung

    In diesem Beispiel muss man zunächst versuchen, alle Summanden mit der Variable $x$ auf die eine und alle Summanden ohne Variable auf die andere Seite der Gleichung zu bringen.

    Danach führt man einige Umformungen durch, sodass die Variable keinen Vorfaktor mehr hat.

    $\begin{array}{lrll} &2x^4 + 16 &= 5x^4 - 8 &|-5x^4 \\ \Leftrightarrow&-3x^4 +16 &= -8 &|-16 \\ \Leftrightarrow&-3x^4 &= -24 &|~:(-3) \\ \Leftrightarrow&x^4 &= 8 &|\sqrt[4]{~} \\ \Leftrightarrow&x &\approx \pm 1,6818 & \end{array}$

    Durch Ziehen der vierten Wurzel erhalten wir einen positiven und einen negativen Wert für $x$.

  • Entscheide, welche der Potenzgleichungen eine leere Lösungsmenge besitzen.

    Tipps

    Eine Potenzgleichung mit einem ungeraden Exponenten hat genau eine Lösung.

    Eine Potenzgleichung mit einem geraden Exponenten kann eine, zwei oder gar keine Lösung besitzen.

    Äquivalenzumformungen werden auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt.

    Ein Exponent kann mit der entsprechenden Wurzel eliminiert werden.

    Lösung

    Eine Gleichung hat eine leere Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{\}$, wenn sich ein Widerspruch ergibt oder die Variable im Laufe der Rechnung ganz aus der Gleichung verschwindet.

    Um zu überprüfen, welche der vorliegenden Gleichungen eine leere Lösungsmenge besitzt, müssen wir sie eine nach der anderen lösen.

    Gleichung $I$

    $x^2 = -9 \to$ Widerspruch, denn man kann aus negativen Zahlen keine einfache Wurzel ziehen.

    Gleichung $II$

    $\begin{array}{lrll} &7x^3 +18 &= -3 &|-18 \\ \Leftrightarrow&7x^3 &= -21 &|~:7 \\ \Leftrightarrow&x^3 &= -3 &|\sqrt[3]{~} \\ \Leftrightarrow&x &\approx -1,44 & \end{array}$

    Diese Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{\sqrt[3]{-3}\}$

    Gleichung $III$

    $\begin{array}{lrll} &3x+6 &=3x-4 &|-3x \\ \Leftrightarrow&6 &= -4 & \end{array}$

    Widerspruch, da $6 \ne -4$. Die Lösungsmenge ist leer.

    Gleichung $IV$

    $\begin{array}{lrll} &2x^2 - 5 &= x-10 &|-x \\ \Leftrightarrow&x^2 -5 &=-10 &|+5 \\ \Leftrightarrow&x^2 &=-5 &|\sqrt{~} \end{array}$

    Widerspruch, da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann.

    Gleichung $V$

    $\begin{array}{lrll} &-24 &= 8x^3 &|~:8 \\ \Leftrightarrow&-3 &= x^3 &|\sqrt[3]{~} \\ \Leftrightarrow&x &\approx -1,44 & \end{array}$

    Ähnlich wie bei Gleichung $I$ ist auch hier die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{\sqrt[3]{-3}\}$.

    Gleichung $VI$

    $\begin{array}{lrll} &4x^4 &= 40 &|~:4 \\ \Leftrightarrow&x^4 &=10 &|\sqrt[4]{~} \\ \Leftrightarrow&x &\approx \pm 1,78 & \end{array}$

    Diese Gleichung besitzt die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-\sqrt[4]{10};\sqrt[4]{10}\}$.

    Die gesuchten Gleichungen mit einer leeren Lösungsmenge sind also die Gleichungen $I, III$ und $IV$.

  • Nenne die korrekte Lösungsmenge der Potenzgleichung.

    Tipps

    Eine Äquivalenzumformung wird auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt.

    Ist der Exponent ungerade, so besitzt die Gleichung nur eine Lösung.

    Lösung

    Es gibt zwei Wege, um die korrekte Lösungsmenge herauszufinden.

    Der erste, schnellere Weg ist der, die Gleichung zu lösen. Dazu führen wir einige kleine Äquivalenzumformungen durch:

    $\begin{array}{lrll} &0,5\cdot x^3 &=-108 &|~:0,5 \\ \Leftrightarrow&x^3 &=-216 &|\sqrt[3]{~} \\ \Leftrightarrow&x &=-6 & \end{array}$

    Wir erhalten $-6$, was auch in einer der Antwortmöglichkeiten vorgegeben ist.

    Das müssen wir jedoch überprüfen, dazu setzen wir diesen Wert in die Gleichung ein:

    $\begin{array}{lrl} &0,5\cdot (-6)^3 &=-108 \\ \Leftrightarrow&0,5 \cdot (-216) &= -108 \\ \Leftrightarrow&-108 &= -108 \end{array}$

    Dies führt zu einer wahren Aussage, die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-6\}$ ist also korrekt.

    Diese Probe mit allen anderen möglichen Lösungsmengen durchzuführen wäre der zweite aber weitaus umständlichere Lösungsweg.

  • Ermittle die Lösungen der Gleichung.

    Tipps

    Die Gleichung hat gerade und ungerade Exponenten.

    Somit hat sie in diesem Fall genau zwei Lösungen.

    Die Gleichung muss in diese Form gebracht werden.

    Ist die Gleichung in der passenden Form, kann man sie mit Hilfe dieser Formel lösen.

    Man nennt sie die p-q-Formel.

    $p$ ist $-2$ und $q$ ist $-8$

    Die Ergebnisse sind ganze Zahlen.

    Lösung

    Beim Lösen dieser Gleichung wendet man ein etwas anderes Verfahren an als bei den Gleichungen davor.

    Zuerst muss man die Gleichung so umformen, dass auf der rechten Seite der Gleichung eine Null steht. Außerdem darf das $x^2$ keinen Vorfaktor mehr besitzen.

    Ist das gegeben, kann man die p-q-Formel anwenden.

    $\begin{array}{lrll} &3x^2 -6x -21 &= 3 &|-3 \\ \Leftrightarrow & 3x^2 -6x -24 &= 0 &|~:3 \\ \Leftrightarrow & x^2 -2x -8 &= 0 &|p-q-Formel \end{array}$

    Dies sind unsere benötigten Parameter $p$ und $q$:

    • $p=-2$
    • $q=-8$
    Es ist wichtig, dass man die Vorzeichen mitnimmt, also nicht bloß die Werte von $p$ und $q$, sondern auch ein eventuelles negatives Vorzeichen.

    Diese beiden Werte setzen wir nun in die Formel ein und lösen so die Gleichung. Wir werden zwei Ergebnisse erhalten:

    $\begin{array}{lrl} &x_{1/2} &=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 -q} \\ &x_{1/2} &=-\frac{-2}{2} \pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^2 - (-8)} \\ \Leftrightarrow & x_{1/2} &= 1 \pm \sqrt{9} \\ \Leftrightarrow & x_{1/2} &= 1 \pm 3 \end{array}$

    Wir erhalten als Ergebnisse:

    $x_1=1-3 =-2$ oder $x_2=1+3 =4$.

    Durch eine entsprechende Probe kann man nachweisen, dass dies tatsächlich die zwei Lösungen der Gleichung sind.

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