Würfel – Volumen und Oberfläche

Würfel – Volumen und Oberfläche Übung

• Berechne die Oberfläche des Würfels.

  Tipps

  Beginne mit der Formel für die Oberfläche.

  Um die Oberfläche zu berechnen, musst du die Kantenlänge in die jeweilige Formel einsetzen.

  Nach dem Einsetzen der Kantenlänge musst du diese quadrieren. Eine Länge quadrierst du, indem du jeweils die Zahl und die zugehörige Einheit quadrierst.

  Lösung

  Die Rechnung wird in dieser Reihenfolge durchgeführt:

  • Die Oberfläche eines Würfels berechnet sich durch:
    $A_{\text{Würfel}}=6 \cdot a^2$
  • Setzt Ava die Kantenlänge $a=2~\text{m}$ ein, erhält sie:
    $A_{\text{Würfel}}=6 \cdot (2~\text{m})^2$
  • Dann quadriert sie die Kantenlänge und die zugehörige Einheit:
    $A_{\text{Würfel}}=6 \cdot 4 ~\text{m}^2$ (Wird eine Länge quadriert, musst du jeweils die Zahl und die Einheit quadrieren.)
  • Zum Schluss berechnet Ava die Oberfläche:
    $A_{\text{Würfel}}=24~ \text{m}^2$

• Gib an, welche der Aussagen zu Würfeln stimmen.

  Tipps

  Drei der Aussagen stimmen, eine ist falsch.

  Kubikmeter kann auch als $m^3$ geschrieben werden. Alle Volumeneinheiten werden zur dritten Potenz erhoben.

  Für einen Würfel mit Kantenlänge $5~\text{m}$ gilt:

  • $A_{\text{Würfel}}= 6 \cdot (5~\text{m})^2 = 150~\text{m}^2$
  • $V_{\text{Würfel}} = (5~\text{m})^3 = 125~\text{m}^3$

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  • Das Volumen eines Würfels kann man mit der Formel $V=6a^3$ berechnen. Dabei bezeichnet $a$ die Kantenlänge des Würfels.

  Das Volumen eines Würfels erhältst du, indem du die Kantenlänge mit sich selbst und noch einmal mit sich selbst multiplizierst, also gilt $V=a^3$.

  Diese Aussagen sind richtig:

  • Das Volumen eines Würfels kann man zum Beispiel in der Einheit Kubikmeter angeben.

  Kubikmeter kann auch als $m^3$ geschrieben werden. Alle Volumeneinheiten werden zur dritten Potenz erhoben. Demzufolge kannst du das Volumen eines Würfels in Kubikmetern angeben.

  • Die Oberfläche eines Würfels kann man mit der Formel $O=6a^2$ berechnen. Dabei bezeichnet $a$ die Kantenlänge des Würfels.

  Ein Würfel setzt sich aus sechs Quadraten zusammen. Die Fläche eines Quadrates entspricht dem Quadrat seiner Kantenlängen, also $a^2$. Da die Oberfläche eines Würfels aus sechs Quadraten besteht, berechnet man seine Oberfläche mit der Formel $O=6a^2$.

  • Ein Würfel hat $12$ Kanten, die alle die gleiche Länge besitzen.

  Das sind Eigenschaften eines Würfels.

• Bestimme die Oberflächen und Volumina der Würfel.

  Tipps

  Das Volumen eines Würfels berechnest du mit der Formel $V=a^3$.

  Dabei ist $a$ die Kantenlänge des Würfels.

  Um die Oberfläche zu bestimmen, kannst du die Formel $O=6a^2$ verwenden.

  Lösung

  So kannst du die Einträge der Tabelle bestimmen:

  Um die Oberfläche zu ermitteln, kannst du folgende Formel verwenden:

  $O=6a^2$

  Für $4~\text{cm}$ ergibt sich dann:

  $O=6\cdot (4~\text{cm})^2=6\cdot 16~\text{cm}^2=96~\text{cm}^2$

  Um die fehlenden Volumina zu bestimmen, kannst du diese Formel nutzen:

  $V=a^3$

  Für $10~\text{cm}$ ergibt sich dann:

  $V=(10~\text{cm})^3=1 000~\text{cm}^3$

  Um die fehlende Kantenlänge zu bestimmen, überlegst du dir, welcher Würfel ein Volumen von $8~\text{cm}^3$ hat. Das Volumen berechnest du, indem du die Kantenlänge dreimal mit sich selbst multiplizierst. Die Zahl, die dabei $8$ ergibt, ist $2$, denn:

  $2^3=8$

• Bestimme die Volumina.

  Tipps

  Achtung: Eine Länge besteht aus einer Zahl und einer Einheit. Setzt du das in eine Formel ein, musst du beide Komponenten beachten und verrechnen.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $(5\text{m})^3=5~\text{m}\cdot 5~\text{m}\cdot 5~\text{m}=125~\text{m}^3$

  Lösung

  Der Lückentext ist so vollständig:

  • Das Volumen eines Würfels mit der Kantenlänge $a$ berechnet sich mit folgender Formel:

  $V=a^3$

  • Um das Volumen des ersten Würfels zu bestimmen, setzt Luis die Kantenlänge $1~\text{cm}$ in die Formel ein. Er erhält:

  $V=(1~\text{cm})^3=1^3~\text{cm}^3=1~\text{cm}^3$

  Achtung: Eine Länge besteht aus einer Zahl und einer Einheit. Setzt du das in eine Formel ein, musst du beide Komponenten beachten und verrechnen.

  • Als Nächstes setzt er die Kantenlänge $2~\text{cm}$ in die Formel ein und erhält:

  $V=(2~\text{cm})^3=2^3~\text{cm}^3=8~\text{cm}^3$

  • Die nächste Kantenlänge, die Luis probiert, beträgt $3~\text{cm}$:

  $V=(3~\text{cm})^3=3^3~\text{cm}^3=27~\text{cm}^3$

• Gib die Eigenschaften eines Würfels an.

  Tipps

  Eine Fläche ist immer zweidimensional.

  Ein Volumen ist der dreidimensionale Inhalt eines Körpers.

  Lösung

  Folgendes gehört zusammen:

  • Die Oberfläche ist die zweidimensionale Fläche, die den Würfel umschließt. Sie berechnet sich mit der Formel $O=6a^2$ und kann in der Einheit $\text{m}^2$ angegeben werden.

  • Das Volumen ist das dreidimensionale Fassungsvermögen eines Würfels. Es berechnet sich mit der Formel $V=a^3$ und kann in der Einheit $\text{m}^3$ angegeben werden.

• Bestimme die Oberfläche eines Würfels.

  Tipps

  Du kannst Formeln auch verwenden, um rückwärts zu rechnen. Das heißt, wenn das Volumen gegeben ist, kannst du die Formel zur Volumenberechnung verwenden, um die Kantenlänge zu ermitteln.

  Du hast beispielsweise eine dritte Wurzel folgender Form gegeben:

  $a= \sqrt[3]{b}$

  Dann ist $b$ die Zahl, die zur dritten Potenz erhoben $a$ ergibt, also:

  $b^3=a$

  Lösung

  Den Lückentext kannst du wie folgt vervollständigen:

  • Um die Oberfläche zu berechnen, muss Martin zuerst die Kantenlänge $a$ seines Würfels bestimmen. Dazu erinnert er sich an die Formel der Volumenberechnung:

  $V=a^3$

  Du kannst Formeln auch verwenden, um rückwärts zu rechnen. Das heißt, wenn das Volumen gegeben ist, kannst du die Formel zur Volumenberechnung verwenden, um die Kantenlänge zu ermitteln.

  • Um die Kantenlänge des Würfels zu berechnen, muss er sich überlegen, welche Länge dreimal mit sich selbst multipliziert $64~\text{m}^3$ ergibt. Das kann er mit der dritten Wurzel berechnen:

  Wenn du eine Gleichung der Form $a= \sqrt[3]{b}$ gegeben hast, dann ist $b$ die Zahl, die zur dritten Potenz erhoben, $a$ ergibt. Also gilt:

  $b^3=a$

  • Damit kann Martin endlich die Oberfläche des Würfels bestimmen:

  $O=6a^2=6( 4 ~\text{m})^2=96 ~\text{m}^2$

  Die obere Seite des Würfels muss er natürlich nicht mit Folie bedecken. Deshalb zieht er von der Oberfläche des Würfels eine der sechs quadratischen Flächen mit $A=$ {$a^2$} ab (Eine der sechs Seitenflächen des Würfels ist $A=a^2$ groß.):

  $O_{Pool}=O-A=96 ~\text{m}^2-a^2=96 ~\text{m}^2-16 ~\text{m}^2=80 ~\text{m}^2$