Winkelfunktionen – spezielle Funktionswerte

Winkelfunktionen – spezielle Funktionswerte Übung

• Beschreibe, wie du $\sin(60^\circ)$ berechnen kannst.

  Tipps

  Für den Sinus gelten folgende Gleichungen:

  • $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$ und
  • $\sin(\beta)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\beta}{\text{Hypotenuse}}$.

  Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  Die Werte der Sinusfunktion liegen in dem Intervall $[-1;1]$.

  Lösung

  Zur Berechnung des Ausdrucks $\sin(60^\circ)$ schauen wir uns das linke rechtwinklige Hilfsdreieck an.

  Hier gilt $\sin(60^\circ)=\frac ga$. Du teilst die Länge der Gegenkathete von $\alpha$ durch die Länge der Hypotenuse.

  Zunächst muss die Länge der Gegenkathete berechnet werden. Hierfür verwendest du den Satz des Pythagoras:

  $g^2+\left(\frac a2\right)^2=a^2$.

  Subtrahiere auf beiden Seiten $\left(\frac a2\right)^2$. Du erhältst:

  $g^2=a^2-\left(\frac a2\right)^2=a^2-\frac14a^2=\frac34a^2$.

  Nun kannst du die Wurzel ziehen. Das führt zu $g=\sqrt{\frac34a^2}=\frac12\cdot \sqrt 3\cdot a$.

  So! Jetzt kannst du $g$ in die obige Formel einsetzen und erhältst damit:

  $\sin(60^\circ)=\dfrac{\frac12\cdot \sqrt 3\cdot a}a=\frac12\cdot \sqrt 3$.

  Wenn du sowohl $\sin(60^\circ)$ als auch $\frac12\cdot\sqrt 3$ in den Taschenrechner eingibst, erhältst du beide Male ungefähr $0{,}8660$.

• Bestimme die speziellen Funktionswerte der Winkelfunktionen.

  Tipps

  Der Ausdruck $\sin(60^\circ)$ ergibt $\frac12\cdot \sqrt 3$.

  Hier siehst du, dass die Gegenkathete von $\alpha$ die Ankathete von $\beta$ ist.

  Die Bezeichnungen hängen also immer von dem Winkel ab, den du gerade betrachtest.

  Die Gegenkathete von $\alpha$ ist die Ankathete von $\beta$.

  Deshalb folgt:

  $\sin(\alpha)=\cos(\beta)$.

  Ebenso gilt $\cos(\alpha)=\sin(\beta)$.

  Lösung

  Hier siehst du den Nachweis dafür, dass $\sin(30^\circ)=\frac12$ gilt. Die Gegenkathete des $30^\circ$-Winkels $(\beta)$ ist $\frac a2$. Damit gilt:

  $\sin(30^\circ)=\dfrac{\frac a2}{a}=\frac12$.

  Fertig! Das ging ja schnell!

  Da die Gegenkathete von $\beta$ die Ankathete von $\alpha$ ist, gilt:

  • $\cos(60^\circ)=\sin(30^\circ)=\frac12$ und
  • $\cos(30^\circ)=\sin(60^\circ)=\frac12\cdot \sqrt 3$.

  Für den Tangens gilt:

  $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

  Mithilfe dieses Zusammenhangs kannst du nun die Werte für $\tan(60^\circ)$ und $\tan(30^\circ)$ ebenfalls berechnen:

  • $\tan(60^\circ)=\dfrac{\frac12\cdot\sqrt 3}{\frac12}=\sqrt 3$ und
  • $\tan(30^\circ)=\dfrac{\frac12}{\frac12\cdot\sqrt 3}=\frac1{\sqrt 3}$.

• Arbeite $\tan(\alpha)$ in Abhängigkeit von $\sin(\alpha)$ und $\cos(\alpha)$ heraus und verwende dies, um die speziellen Werte des Tangens zu berechnen.

  Tipps

  Verwende

  • $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$,
  • $\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

  Lösung

  Zunächst benutzen wir die Definition des Tangens:

  $\tan(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$.

  Wenn du diesen Bruch mit der Hypotenuse erweiterst, erhältst du

  $\tan(\alpha)=\dfrac{\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}}{\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}}$.

  Nun kannst du erkennen, dass im Zähler $\sin(\alpha)$ und im Nenner $\cos(\alpha)$ stehen:

  $\tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

  Nun kannst du die bekannten Werte für Sinus und Cosinus einsetzen:

  • $\tan(30^\circ)=\dfrac{\frac12}{\frac12\cdot\sqrt 3}=\frac1{\sqrt3}$,
  • $\tan(45^\circ)=\dfrac{\frac12\cdot \sqrt 2}{\frac12\cdot\sqrt 2}=1$ und
  • $\tan(60^\circ)=\dfrac{\frac12\cdot\sqrt 3}{\frac12}=\sqrt3$.

  Du siehst, du kannst diese Werte auch auf einem anderen Weg bestimmen.

• Weise den trigonometrischen Pythagoras nach.

  Tipps

  Hier siehst du die Definitionen von Sinus und Cosinus:

  • $\sin(\alpha)=\dfrac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$ und
  • $\cos(\alpha)=\dfrac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

  Nach dem Satz des Pythagoras ist die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat.

  Wenn du einen Bruch quadrierst, quadrierst du sowohl den Zähler als auch den Nenner.

  Lösung

  Es soll nachgewiesen werden, dass $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$ ist.

  Zunächst kannst du Sinus und Cosinus über den Quotienten von Gegenkathete beziehungsweise Ankathete zu Hypotenuse bestimmen:

  • $\sin(\alpha)=\frac ac$ und
  • $\cos(\alpha)=\frac bc$.

  Quadriere nun die Terme und addiere die Quadrate. So erhältst du

  $\begin{array}{rclll} \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)&=&\left(\frac ac\right)^2+\left(\frac bc\right)^2\\ &=&\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}\\ &=&\frac{a^2+b^2}{c^2} \end{array}$

  Nun kannst du den Satz des Pythagoras anwenden. $a$ und $b$ sind die Katheten und damit gilt $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Du kannst also $a^2+b^2$ durch $c^2$ ersetzen. So geht es weiter:

  $\begin{array}{rclll} \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)&=&\frac{a^2+b^2}{c^2} \\ \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)&=&\frac{c^2}{c^2}\\ &=&1 \end{array}$

• Benenne die Besonderheiten eines gleichseitigen Dreiecks.

  Tipps

  Verwende den Innenwinkelsatz: In einem beliebigen Dreieck ergänzen sich die drei Innenwinkel zu $180^\circ$.

  Beachte: In einem rechtwinkligen Dreieck liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Die beiden Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

  In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt einer der Winkel $90^\circ$. Damit gilt für die beiden verbleibenden Winkel, dass sie sich zu $90^\circ$ summieren.

  Lösung

  In einem gleichseitigen Dreieck gilt nicht nur, dass die drei Seiten gleich lang sind.

  • Darüber hinaus sind auch alle drei Winkel gleich groß. Da diese sich nach dem Innenwinkelsatz zu $180^\circ$ addieren, folgt, dass jeder dieser Winkel, also auch $\alpha$, $\frac{180^\circ}3=60^\circ$ beträgt.
  • Ebenfalls mit dem Innenwinkelsatz gilt, dass $60^\circ+\beta+90^\circ=180^\circ$. Dies führt zu $\beta=30^\circ$. Merke dir: In einem rechtwinkligen Dreieck summieren sich die beiden spitzen Winkel zu $90^\circ$.

  Schauen wir uns das linke rechtwinklige Dreieck noch etwas genauer an.

  • Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Diesen erkennst du übrigens an dem Viertelkreis mit dem Punkt darin. Hier ist $a$ die Hypotenuse.
  • Die eine Kathete ist die Höhe $g$.
  • Da diese Höhe die Seite $a$ halbiert, ist $\frac a2$ die andere Kathete.

• Ermittle die fehlenden Werte der Tabelle.

  Tipps

  In diesem Einheitskreis ist der Winkel $60^\circ$ eingetragen. Der größere Winkel, welcher nicht eingetragen ist, beträgt $120^\circ$.

  Du siehst, dass $\sin(120^\circ)=\sin(60^\circ)$ ist.

  Ebenso kannst du $\sin(135^\circ)$ und $\sin(150^\circ)$ bestimmen.

  In dieser Darstellung erkennst du, dass $\cos(120^\circ)=-\cos(60^\circ)$ ist.

  Ebenso kannst du $\cos(135^\circ)$ und $\cos(150^\circ)$ bestimmen.

  Verwende $\tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.

  Einige der Werte sind bereits in dem Video hergeleitet worden.

  Lösung

  Hier siehst du die ausgefüllte Tabelle.

  Die Werte für $\alpha=30^\circ;~45^\circ;~60^\circ$ hast du bereits kennengelernt.

  Du kannst für die verbleibenden Winkel nicht mehr mit rechtwinkligen Dreiecken argumentieren. Hierfür benötigst du einen Einheitskreis. In diesem ist die Hypotenuse gleich dem Radius $r=1$ und damit der Sinus des Winkels die Gegenkathete dieses Winkels. Es ist $\sin(90^\circ-\alpha)=\sin(90^\circ+\alpha)$.
  Ebenso ist $\cos(90^\circ-\alpha)=-\cos(90^\circ+\alpha)$.

  Die jeweiligen Tangenswerte kannst du berechnen, indem du den zu dem Winkel gehörenden Sinuswert durch den Cosinuswert dividierst.

  Schau dir die folgenden Winkel beispielhaft an:

  1. Beispiel: $135^\circ$

  • $\sin(135^\circ)=\sin(90^\circ+45^\circ)=\sin(90^\circ-45^\circ)=\sin(45^\circ)=\frac12\cdot \sqrt 2$
  • $\cos(135^\circ)=\cos(90^\circ+45^\circ)=-\cos(90^\circ-45^\circ)=-\cos(45^\circ)=-\frac12\cdot \sqrt 2$

  2. Beispiel: $150^\circ$

  • $\sin(150^\circ)=\sin(90^\circ+60^\circ)=\sin(90^\circ-60^\circ)=\sin(30^\circ)=\frac12$
  • $\cos(150^\circ)=\cos(90^\circ+60^\circ)=-\cos(90^\circ-60^\circ)=-\cos(30^\circ)=-\frac12\cdot \sqrt 3$