Wendepunkte berechnen

Wendepunkt berechnen – Definition und Verständnis

Stell dir vor, du sitzt in einer Achterbahn: Erst geht es steil nach unten, dein Bauch kribbelt und plötzlich ändert sich die Richtung, es geht sanfter weiter oder sogar wieder nach oben. Genau diesen Moment nennt man in der Mathematik Wendepunkt.

Um diesen charakteristischen Punkt zu erklären, kann man kurz wiederholen, welche charakteristischen Stellen die erste Ableitung angeben kann. Zur Erinnerung: Setzt man die erste Ableitung gleich null ($f^\prime (x)=0$), bestimmt man die Stellen der Funktion $f(x)$, an denen die Steigung den Wert $0$ hat. Daraus ergeben sich dann die sogenannten Maxima und Minima (also die Extrempunkte) der Funktion.

Setzt man nun die zweite Ableitung gleich null ($f^{\prime\prime}(x)=0$), erhält man die Stellen, an denen die Steigung $f^\prime (x)$ ihre Extrempunkte hat – hier ist also die Steigung entweder maximal oder minimal. Diese Maxima und Minima der Steigung sind die sogenannten Wendepunkte der Funktion $f(x$), an denen sich die Krümmung der Funktion ändert. Entweder geht der Graph der Funktion an einem Wendepunkt von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung über oder andersherum.

Für das Krümmungsverhalten der Funktion gilt nun: $\newline f^{\prime\prime}(x)>0 \rightarrow f~ \text{ist linksgekrümmt} \newline f^{\prime\prime}(x)<0 \rightarrow f~ \text{ist rechtsgekrümmt} $

Die Stelle auf der $x$-Achse, an der ein Wendepunkt auftritt, heißt Wendestelle.

Wendepunkte – grafische Bedeutung

Das folgende Beispiel soll diesen Zusammenhang grafisch erläutern. Es sei die Funktion

$$f(x)=5x^{3}-3x^{2}-2x+3$$

gegeben. Daraus ergeben sich folgende Ableitungen:

$$f^\prime(x)=15x^{2}-6x-2$$

$$f^{\prime\prime}(x)=30x-6$$

Es wird deutlich: Die Nullstellen der ersten Ableitung sind die Stellen, an denen die Funktion ihre Extrema hat. Die Nullstelle der zweiten Ableitung ist die Stelle, an dem die erste Ableitung ein Extremum und die ursprüngliche Funktion einen Wendepunkt hat.

Der Wendepunkt, an dem $f^{\prime\prime}(x)=0$ ist, markiert den Übergang zwischen Links- und Rechtskrümmung.

Bedingungen für einen Wendepunkt

Um Wendepunkte berechnen zu können, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein. Diese Bedingungen helfen dir, Wendestellen zu berechnen und eindeutig zu bestimmen, ob es sich tatsächlich um Wendepunkte handelt:

Notwendige Bedingung

Die notwendige Bedingung lautet:

In Worten: Die zweite Ableitung muss gleich null sein. Diese Bedingung alleine reicht jedoch nicht aus, um eindeutig einen Wendepunkt bestimmen zu können.

Hinreichende Bedingung

Die hinreichende Bedingung lautet zusätzlich:

In Worten: Die dritte Ableitung ist ungleich null. Alternativ kannst du überprüfen, ob ein Vorzeichenwechsel bei der zweiten Ableitung $f''(x)$ stattfindet. Dadurch stellst du sicher, dass es sich tatsächlich um einen Wendepunkt handelt.

Wie berechnet man Wendepunkte? – Schritt-für-Schritt-Anleitung

Um Wendepunkte zu berechnen, gehst du folgendermaßen vor:

Schritt 1: Funktion ableiten

Bilde zunächst die erste, zweite und dritte Ableitung der gegebenen Funktion $f(x)$ (anhand der Ableitungsregeln – u. a. Potenzregel, Faktorregel und Summenregel).

Schritt 2: Notwendige Bedingung erfüllen

Setze die zweite Ableitung gleich null und löse nach $x$ auf, um mögliche Wendestellen zu finden:

$$f''(x) = 0$$

Schritt 3: Hinreichende Bedingung prüfen

Setze jede gefundene Stelle in die dritte Ableitung ein. Erhältst du einen Wert ungleich null, liegt ein Wendepunkt vor.

$$f''(x) \neq 0$$

Wenn die dritte Ableitung gleich null ist ($f'''(x) = 0$) kann noch keine Aussage getroffen werden. In diesem Fall muss als nächstes mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums überprüft werden, ob sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung an der entsprechenden Stelle ändert. Das ist der Fall, wenn sie bei kleineren $x$-Werten positiv und bei größeren $x$-Werten negativ ist oder andersherum. Zur Überprüfung müssen geeignete Intervalle gewählt werden, die zwischen potenziellen Wendestellen ($f''(x) = 0$) liegen.

Schritt 4: Wendepunkt bestimmen

Um den genauen Wendepunkt zu bestimmen, fehlt jetzt noch die $y$-Koordinate. Dafür setzt du die gefundene Wendestelle zurück in die Originalfunktion ein.

Beispiele zur Berechnung von Wendepunkten

Beispiel 1

Beginnend soll das Beispiel von weiter oben aufgeführt werden. Zunächst bestimmt man die Ableitungen der Funktion – hier wird allerdings zusätzlich die dritte Ableitung benötigt:

$\begin{array}{lcl} f(x) & = & 5x^{3}-3x^{2}-2x+3 \\ f^\prime(x) & = & 15x^{2}-6x-2 \\ f^{\prime\prime}(x) & = & 30x-6 \\ f^{\prime\prime\prime}(x) & = & 30 \end{array}$

Nun geht man ähnlich wie bei der Berechnung der Extremstellen von $f(x)$ vor. Dazu wird die zweite Ableitung mit null gleichgesetzt ($f^{\prime\prime}(x)=0$). Außerdem muss gelten: Die dritte Ableitung darf nicht gleich null sein ($f^{\prime\prime\prime} (x) \neq 0$).

$\begin{array}{rcl} 30x-6 & = & 0 \\ \\ 30x & =&6 \\ \\ x& =& \dfrac{6}{30}=\dfrac{1}{5}=0{,}2 \end{array}$

Überprüfung mit der dritten Ableitung:

$f^{\prime\prime\prime}(0{,}2)=30>0 \rightarrow \text{Wendepunkt}$

Zu Bestimmung der $y$-Koordinate des Wendepunkts wird der berechnete $x$-Wert in die Funktion $f(x)$ eingesetzt:

$f\left(\dfrac{1}{5}\right)=\dfrac{63}{25}=2{,}52$

Somit ergibt sich der Wendepunkt der Funktion: $\text{W}\left(\frac{1}{5}\vert\frac{63}{25}\right)$ bzw. $\text{W}(0{,}2\vert 2{,}52)$

Beispiel 2

Gegeben sei die Funktion: $f(x)=x^{3}+6x^{2}+4x-12$.

Bestimmung der Ableitungen:

$\begin{array}{rcl} f(x) & = &x^{4}-6x^{2}+4x-12 \\ f^\prime (x) & = & 4x^{3}-12x+4 \\ f^{\prime\prime}(x) & = & 12x^{2}-12 \\ f^{\prime\prime\prime} (x) & = & 24x \end{array}$

Nullsetzen der zweiten Ableitung zur Berechnung der Wendestellen:

$\begin{array}{rcl} 12x^{2}-12 & = & 0 \\ 12x^{2} & = & 12 \\ x^{2} & = & 1 \\ x_{1{,}2} & = & \pm \sqrt{1} \rightarrow x_1=1{,} ~ x_2={-}1 \end{array}$

Überprüfen der Stellen mit der dritten Ableitung: $\newline f^{\prime\prime\prime} (x_1 )=24 \cdot 1>0 \rightarrow \text{Wendepunkt} \newline f^{\prime\prime\prime} (x_2 )=24 \cdot (-1)<0 \rightarrow \text{Wendepunkt}$

Bestimmung der y-Koordinaten durch Einsetzen in $f(x)$: $\newline f(1)=-13 \rightarrow W_1 (1\vert -13) \newline f(-1)= -21 \rightarrow W_2 (-1\vert -21)$

Die Funktion $f(x)=x^{3}+6x^{2}+4x-12$ hat also zwei Wendepunkte.

Art des Wendepunkts bestimmen

Je nachdem, ob $f'''(x)$ positiv oder negativ ist, unterscheidet man zwei Arten von Wendepunkten:

Im Beispiel oben ist $f'''(x)=6 > 0$, also handelt es sich um einen Rechts-Links-Wendepunkt.

Wendepunkt – Übungen

Ausblick – das lernst du nach Wendepunkt berechnen

Nachdem du Wendepunkte nun sicher berechnen kannst, beschäftige dich als nächstes mit Kurvendiskussionen, um den Funktionsverlauf weiter analysieren zu können.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Wendepunkte berechnen