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Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln (2)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln (2)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln (2)

Willkommen zum zweiten Teil (von vieren) der Reihe „Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung“. Wir haben als erstes Zufallsexperiment das einmalige Werfen eines Würfels ausgewählt. Als Ergebnisse des Zufallsexperimentes können wir die Augenzahlen des Würfels 1, 2, 3, 4, 5 und 6 erhalten. Die Ergebnismenge ist also {1, 2, 3, 4, 5, 6}. In diesem Video werde ich dir nun erklären, wie man den Ergebnissen Wahrscheinlichkeiten zuordnet und was ein Laplace-Versuch ist. Das Ganze wird am Beispiel „Einmal würfeln“ veranschaulicht.

Transkript Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln (2)

Hallo! Hier ist der 2. Teil zur 1. Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und ich habe ja schon gesagt, was du hier in welcher Reihenfolge überlegen sollst. Also, Punkt Nr. 1 war, wenn du eine Aufgabe über Wahrscheinlichkeitsrechnung hast, oder in der Wahrscheinlichkeitsrechnung hast, überlegst du dir zunächst, was ist das Zufallsexperiment. Hier: einmaliges Werfen des Würfels. Punkt Nr. 2. Du überlegst dir, was sind die Ergebnisse des Zufallsexperiments. Hier sind es die Augenzahlen 1 bis 6.   Punkt Nr. 3. Du überlegst dir, was sind die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse. Welche Wahrscheinlichkeiten haben diese Ergebnisse? Dazu musst du dir noch mal überlegen, was sind überhaupt Wahrscheinlichkeiten? Eine Wahrscheinlichkeit gibt den Grad der Sicherheit an, mit der dieses Ergebnis eintritt. Der Grad der Sicherheit, mit der dieses Ergebnis eintritt wird als Zahl angegeben, und zwar als Zahl zwischen 0 und 1. Mathematisch gesehen sind Wahrscheinlichkeiten also Zahlen zwischen 0 und 1, dabei bedeutet eine Zahl, die jetzt nahe bei 0 ist, dass etwas wenig wahrscheinlich ist, oder unwahrscheinlich ist, das ein Ergebnis unwahrscheinlich ist. Wenn man einem Ergebnis eine Zahl nahe bei 1 zuordnet, bedeutet es, dass dieses Ergebnis ziemlich wahrscheinlich ist oder sehr wahrscheinlich oder höchstwahrscheinlich. Wenn man einem Ergebnis die Zahl 0 zuordnet, dann ist das auch eine Wahrscheinlichkeit, dann ist die Wahrscheinlichkeit 0, also nicht vorhanden, das Ergebnis ist dann unmöglich. Es gibt auch Ergebnisse, denen man die Wahrscheinlichkeit 1 zuordnen kann, dann ist das das sichere Ergebnis, es tritt also nicht nur höchstwahrscheinlich auf, sondern es tritt sicher auf. Die Wahrscheinlichkeit ist dann 1. Zusätzlich hat man sich darauf geeinigt, dass man die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse eines Zufallsversuchs addieren kann, und da muss dann 1 herauskommen. Das hat man so festgelegt aus mehreren, ziemlich sinnvollen Gründen. Möchte ich jetzt nicht noch mal alles erklären, sondern einfach mit der Aufgabe weiter machen. Kannst du ja in den andern Filmen gerne nachschauen, warum das alles so ist.   Also, wir brauchen eine Wahrscheinlichkeit, wir brauchen die Wahrscheinlichkeit der einzelnen Ergebnisse. Das ist für uns also eine Funktion, und zwar wird jedem Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet, jedem Ergebnis wird eine Zahl zwischen 1 und 0 zugeordnet. Dabei meine ich zwischen 1 und 0  einschließlich, das heißt, die 0 kann ja auch dabei sein, und die 1 kann auch dabei sein. Das müsste bei dir im Kopf also so aussehen. Wenn du jetzt den Würfel hier wirfst, dann überlegst du dir, als Drittes, was sind die Wahrscheinlichkeiten, also welche Zahlen werden diesen Ergebnissen zugeordnet?   Es ist in der Praxis oft gar nicht so einfach, die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses zu bestimmen, es sei denn, wir haben ein Laplace-Experiment vorliegen. Einen Laplace-Zufallsversuch. Das bedeutet, ein Laplace-Versuch ist ein Zufallsversuch, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Zum Beispiel ist das Werfen eines Würfels ein Laplace-Experiment, sollte es zumindest sein, wenn der Würfel ein fairer Würfel ist, und er nicht irgendwelche Gewichte drin hat oder so was, dann ist es ein Laplace-Experiment, wenn die Ergebnisse hier so festgelegt werden, dass sie also aus den Augenzahlen bestehen. Das bedeutet, alle Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, das ist das, was wir auch von Würfeln kennen, der Würfel hat keine Präferenz zum Beispiel eine 3 zu würfeln oder eine 6 zu würfeln oder so, sondern alle Augenzahlen haben das gleiche Maß der Sicherheit, mit der sie auftreten können. Wenn das also nun so ist, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, und wir wissen, wie viele Ergebnisse es sind, und wir zusätzlich wissen, dass sich alle Ergebnisse zu 1 addieren sollen, dann sind wir direkt fertig und können die Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Es ist nämlich jeweils 1/6. Das schreib ich hier auch mal aus. Denn wir haben hier 6 verschiedene Ergebnisse, wenn man diesen Ergebnissen Zahlen zuordnet, die sich alle zu 1 addieren sollen, und diese Zahlen sollen noch alle gleich groß sein, dann ist es natürlich jeweils 1/6.   Wir können auch andere Würfel nehmen, die zum Beispiel 20 Ecken haben. Und wenn wir dann sagen, die Ergebnisse sind die Augenzahlen, die oben liegen, also als Erstes überlegen wir uns ja, was ist der Zufallsversuch, nämlich das einmalige Werfen eines nicht ganz exakten Würfels, das sieht dann ein bisschen anders aus. Das einmalige Werfen dieses Dings also ist der Zufallsversuch, 2., Ergebnisse sind jeweils die Augenzahlen, die oben liegen. 3. kann man direkt sagen, es sind 20 Ergebnisse, alle Ergebnisse sollen gleich wahrscheinlich sein, also kriegt jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit 1/20, denn alle 20 Wahrscheinlichkeiten müssen sich zu 1 addieren, sie müssen untereinander alle gleich sein, dann bleibt nur noch 1/20 übrig. Ja, das ist also Punkt Nr. 3, was du dir überlegen musst, das heißt, welche Wahrscheinlichkeiten haben die Ergebnisse.   Und dann kannst du dir überlegen, was sind Ereignisse? Meistens wird danach gefragt, was Ereignisse sind, was die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen sind, oder die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse, die bei einem solchen Zufallsversuch auftreten können. Und dazu musst du dir einmal noch überlegen, was sind Ereignisse. Das zeig ich im nächsten Teil. Bis dahin. Viel Spaß. Tschüss!  

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Gut Herr wabnik

    Von Yassibiba, vor fast 6 Jahren
  2. gut gut herr wabnik

    Von Vincent Knoll, vor mehr als 9 Jahren
  3. leider sind Tonunterbrechungen in den Videos. Gruß Cil

    Von Salinas, vor fast 12 Jahren

Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze, was du über Wahrscheinlichkeiten weißt.

    Tipps

    Wenn wir sagen, dass etwas wahrscheinlich ist, dann meinen wir, dass diese Sache ziemlich sicher eintreten wird.

    Es ist sicher, dass eines der Ergebnisse eintreffen wird.

    Wenn wir zum Beispiel einen Würfel werfen, muss eines der Augenpaare gewürfelt werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis eintritt, ist somit $1$.

    Lösung

    Wir sprechen von Wahrscheinlichkeit, wenn wir den Grad der Sicherheit meinen, mit welcher ein Ergebnis eintritt.

    Diese Wahrscheinlichkeiten werden zwischen $0$ und $1$ angegeben. Je näher eine Wahrscheinlichkeit der $1$ kommt, desto sicherer tritt das Ergebnis ein. Wenn ein Ergebnis die Wahrscheinlichkeit $1$ hat, dann tritt es also sicher ein.

    Dementsprechend muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse $1$ sein.

    Eine Besonderheit ist der Laplace-Versuch. Wir sprechen von so einem Spezialfall, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Zum Beispiel ist das einmalige Werfen eines Würfels so ein Laplace-Versuch, da jede Augenzahl gleich wahrscheinlich ist.

  • Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse beim Würfelwurf.

    Tipps

    Das Werfen eines Würfeln ist ein Laplace-Versuch.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses wird immer zwischen $0$ und $1$ angegeben.

    Vergiss nicht, dass die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse $1$ sein muss.

    Lösung

    Wenn wir einen Würfel werfen, dann sind die einzelnen Augenzahlen gleich wahrscheinlich. Es handelt sich also um einen Laplace-Versuch.

    Wir wissen darüber hinaus, dass die Wahrscheinlichkeit immer zwischen $0$ und $1$ angegeben wird. Wenn ein Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit von $1$ hat, dann tritt es sicher auf. Dementsprechend müssen die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse zusammengenommen immer $1$ ergeben, denn eines der Ergebnisse muss ja auftreten.

    Wir wissen also, dass der Würfel sechs Seiten hat, dass jede Seite die gleiche Wahrscheinlichkeit hat und dass die Wahrscheinlichkeiten zusammengenommen gleich $1$ sein müssen.

    Wir können also die $1$ durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse – hier gleich $6$ – teilen und bekommen so die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse. Dies funktioniert bei jedem Laplace-Versuch.

    Somit bekommen wir eine Tabelle, wie sie im Bild zu sehen ist.

  • Bestimme die Ergebnisse der verschiedenen Zufallsversuche.

    Tipps

    Wenn du die richtigen Ergebnisse aufstellen willst, dann musst du dir als Erstes überlegen, worin dieses Experiment eigentlich besteht.

    So kann das Werfen eines Würfels die möglichen Augenzahlen als Ergebnisse haben, aber auch auf welcher Position des Tisches der Würfel landet.

    Lösung

    Wir überlegen uns als Erstes, was genau in den Versuchen gefragt ist und überlegen uns erst dann die Ergebnisse.

    • Hier ist nach den Farben in einem französischem Kartenspiel gefragt. Ein normales französisches Blatt hat die Farben Herz, Pik, Karo und Kreuz. Damit sind unsere Ergebnisse $\{$Herz, Pik, Karo, Kreuz$\}$.
    • Wir haben nun die Urne mit den fünf Bällen. Diese Bälle sind durchnummeriert, angefangen bei der $1$. Also sind unsere Ergebnisse $\{1,2,3,4,5 \}$.
    • Beim vierseitigen Würfel sind die Ergebnisse $\{1,2,3,4 \}$.
    • Beim Glücksrad sind die Ergebnisse $\{$blau, gelb, schwarz, rot$\}$.
  • Ermittle die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zufallsversuche.

    Tipps

    Überlege dir wieder als Erstes, was überhaupt die möglichen Ergebnisse sind.

    Du musst die Wahrscheinlichkeiten der richtigen Ergebnisse berechnen.

    Alle hier vorliegenden Zufallsversuche sind Laplace-Versuche.

    Wichtig beim Laplace-Versuch ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse.

    Die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten muss gleich $1$ sein.

    Lösung

    Bei allen drei Versuchen handelt es sich um Laplace-Versuche, also sind alle Ergebnisse in einem Experiment gleich wahrscheinlich.

    Um die Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen, müssen wir die Anzahl der Ergebnisse bestimmen. Die Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten muss $1$ ergeben.

    • Beim Münzwurf gibt es zwei mögliche Ergebnisse, Kopf und Zahl. Wir teilen also die Wahrscheinlichkeit aller Ergebnisse, $1$, durch die Anzahl der Ergebnisse, hier $2$. Wir teilen also $1$ durch $2$. Damit ist sowohl für Zahl als auch für Kopf die Wahrscheinlichkeit $0,5$.
    • Beim Kugelziehen haben wir $4$ mögliche Ergebnisse, nämlich die $4$ verschiedenen Kugeln. Wir teilen wieder die $1$ durch die Anzahl der Ergebnisse und bekommen so die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse. Für jede Kugel ist die Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden $\frac14=0,25$.
    • Beim Glücksrad gehen wir analog vor und bekommen so die Wahrscheinlichkeit $\frac15=0,2$ für ein jeweiliges Feld. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Feld mit der $3$ gedreht wird, beträgt somit $0,2$.
  • Bestimme die Ergebnisse in dem Würfelversuch.

    Tipps

    Wir werfen den Würfel. Welche Ergebnisse sind möglich?

    Um eine Menge von Ergebnissen anzugeben, werden Mengenklammern verwendet.

    Sie werden immer verwendet, wenn wir mehrere mögliche Ausgänge haben und deren Menge angeben wollen.

    Lösung

    Wir überlegen, welche Ergebnisse für einen normalen Würfel in Frage kommen.

    Es sind die Augenzahlen von $1$ bis $6$, also sind das auch unsere Ergebnisse.

    Wenn wir so eine Menge an Ausgängen angeben wollen, benutzen wir immer die Mengenklammer $\{$ und $\}$, um zu zeigen, dass es sich um eine Menge handelt.

    Wir schreiben die Ergebnisse also wie folgt auf. Ergebnisse: $\{1,2,3,4,5,6 \}$

  • Erschließe die Wahrscheinlichkeit eines jeweiligen Ergebnisses.

    Tipps

    Bei diesen Versuchen handelt es sich nicht um Laplace-Versuche.

    Bestimme als Erstes immer die Anzahl der Kugeln.

    So sind die Ergebnisse beim Glücksrad vielleicht „grün“ und „rot“, aber es sind dennoch $7$ Felder.

    Beim Glücksrad sind die einzelnen Felder alle gleich wahrscheinlich.

    Du kannst die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse addieren, wenn mehrere Ergebnisse zu einem Ereignis zusammengefasst werden.

    Ein Ereignis ist eine Menge von Ergebnissen.

    Lösung

    Ergebnisse können zu Ereignissen zusammengefasst werden. Sinnvolle Ereignisse bei dem abgebildeten Glücksrad sind „grün“ und „rot“. Wir sehen, dass es ein grünes Feld mehr gibt als rote Felder. Daher muss die Wahrscheinlichkeit für ein grünes Feld auch größer sein.

    Die Wahrscheinlichkeit für ein einzelnes Feld – unabhängig von der Farbe – beträgt $\frac17$. Weil es $4$ grüne Felder gibt, liegt die Wahrscheinlichkeit für ein grünes Feld bei $\frac17 +\frac17 +\frac17 +\frac17= 4 \cdot \frac17=\frac47$. Dass ein rotes Feld herauskommt, ist weniger wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit liegt hier bei $\frac37$. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse ist natürlich $\frac47 + \frac37 = \frac77 = 1$.

    Ebenso verhält es sich mit der Urne und den grünen und brauen Bällen. Dass ein brauner Ball gezogen wird, hat die Wahrscheinlichkeit $\frac25$. Dass ein grüner Ball gezogen wird, hat die Wahrscheinlichkeit $\frac35$. Die Summe ist auch hier wieder $1$.

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