Volumen von Rotationskörpern – Keplersche Fassformel

Volumen von Rotationskörpern – Keplersche Fassformel Übung

• Gib die Gleichung der quadratischen Funktion an, welche den Rand des Fasses beschreibt.

  Tipps

  Du kannst den Scheitelpunkt direkt anhand des Funktionsgraphen ablesen.

  Beachte: Die Parabel ist nach unten geöffnet und symmetrisch zur y-Achse.

  Damit ist die x-Koordinate des Scheitelpunktes bereits bekannt.

  Nun setzt du die Koordinaten des Scheitelpunktes in die Scheitelpunktform ein.

  Du erhältst eine Gleichung, in welcher nur noch $a$ unbekannt ist.

  Lösung

  Die obere Begrenzungslinie dieses Fasses ist eine nach unten geöffnete, achsensymmetrische Parabel. Durch Rotation dieser Parabel um die x-Achse entsteht dieses Fass.

  Da die Parabel achsensymmetrisch ist, liegt der Scheitelpunkt auf der y-Achse. Der Scheitelpunkt ist $S(0|R)$. Nun kann dieser in die Scheitelpunktform $f(x)=a(x-x_S)^2+y_S$ eingesetzt werden und man erhält

  $f(x)=ax^2+R$.

  Der Streckfaktor $a$ muss noch bestimmt werden. Hierfür wird der bekannte Punkt $\left(\frac h2\bigg\vert r\right)$ verwendet. Mit diesem Punkt erhält man die Gleichung

  $f\left(\frac h2\right)=a\frac{h^2}4+R=r$.

  Durch Subtraktion von $R$ und anschließende Multiplikation mit $4$ gelangt man zu

  $a~h^2=4(r-R)$.

  Zuletzt wird durch $h^2$ dividiert:

  $a=\frac{4(r-R)}{h^2}$.

  Die quadratische Gleichung lautet somit

  $f(x)=\frac{4(r-R)}{h^2}x^2+R$.

• Berechne näherungsweise das Volumen des Fasses mit der Kepler'schen Fassregel.

  Tipps

  Du kannst die Funktionswerte $f \left(-\frac h2\right)$, $f \left(\frac h2\right)$ und $f(0)$ hier ablesen.

  Diese müssen noch quadriert werden.

  Wenn du die Funktionswerte in der Kepler'schen Fassregel eingesetzt hast, kannst du den so erhaltenen Term noch weiter vereinfachen.

  Lösung

  Es soll das Volumen eines Fasses, welches durch das Integral

  $V=\pi\int\limits_{-\frac h2}^{\frac h2}~(f(x))^2~dx$

  beschrieben werden kann, näherungsweise mit der Kepler'schen Fassregel

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx\approx\frac{b-a}6\left(f(a)+4f\left(\frac{a+b}2\right)+f(b)\right)$

  bestimmt werden.

  Dabei ist $f(x)$ die obere begrenzende Parabel mit der zugehörigen Funktionsgleichung

  $f(x)=\frac{4(r-R)}{h^2}x^2+R$.

  Man benötigt

  • die Länge des Intervalls $b-a=\frac h2-\left(-\frac h2\right)=h$,
  • $f \left(-\frac h2\right)=f \left(\frac h2\right)=r$ sowie
  • $f(0)=R$.

  Die Funktionswerte erhält man durch Einsetzen in die Funktionsgleichung. Man kann diese auch aus der nebenstehenden Skizze ablesen.

  Nun können diese Größen in die Fassregel eingesetzt werden. Dann kann noch weiter vereinfacht werden:

  $\begin{array}{rcl} V=\pi\int\limits_{-\frac h2}^{\frac h2}~(f(x))^2~dx&\approx&\pi\frac h6\left(r^2+4R^2+r^2\right)\\ &=&\pi\frac h6\left(2\left(r^2+2R^2\right)\right)\\ &=&\pi\frac h3\left(r^2+2R^2\right) \end{array}$

• Berechne das bestimmte Integral.

  Tipps

  Verwende die 1. binomische Formel, um $(f(x))^2$ zu berechnen

  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

  Dabei sind

  • $a=\frac{4(r-R)}{h^2}x^2$ und
  • $b=R$.

  Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung lautet

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$,

  wobei $F'(x)=f(x)$ ist.

  Verwende für die Stammfunktion die Potenzregel der Integration

  $\int~(x^n)~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+c$, für $n\neq -1$.

  Hier kannst du einen Teil der Rechnung sehen.

  Lösung

  Um dieses bestimmte Integral zu berechnen, muss zunächst die zu integrierende Funktion bestimmt werden, also $(f(x))^2$. Diese kann mit Hilfe der 1. binomischen Formel ermittelt werden:

  $(f(x))^2=\frac{16(r-R)^2}{h^4}x^4+\frac{8(r-R)R}{h^2}x^2+R^2$.

  Das bestimmte Integral wird mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung berechnet:

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$,

  wobei $F'(x)=f(x)$ ist. Also muss eine Stammfunktion von $(f(x))^2$ berechnet werden. Hierfür verwendet man die Potenzregel der Integration

  $\int~(x^n)~dx=\frac1{n+1}x^{n+1}+c$, für $n\neq -1$.

  Eine Stammfunktion von $(f(x))^2$ ist gegeben durch

  $\frac{16(r-R)^2}{5h^4}x^5+\frac{8(r-R)R}{3h^2}x^3+R^2x$.

  Da die Funktion symmetrisch ist, kann das bestimmte Integral

  $\pi\int\limits_{0}^{\frac h2}~(f(x))^2~dx=\left(\frac{16(r-R)^2}{5h^4}\left(\frac h2\right)^5+\frac{8(r-R)R}{3h^2}\left(\frac h2\right)^3+R^2\left(\frac h2\right)\right)$

  berechnet werden. $\begin{array}{rcl} \pi\int\limits_{0}^{\frac h2}~(f(x))^2~dx&=&\pi\left(\frac{16(r-R)^2}{5h^4}\left(\frac h2\right)^5+\frac{8(r-R)R}{3h^2}\left(\frac h2\right)^3+R^2\left(\frac h2\right)\right)\\ &=&\pi\left(\frac{(r-R)^2~h}{10}+\frac{(r-R)R~h}{3}+\frac{R^2h}{2}\right)\\ &=&\pi\frac{h}{30}\left(3(r-R)^2+10(r-R)R+15R^2\right)\\ &=&\pi\frac{h}{30}\left(3r^2-6rR+3R^2+10rR-10R^2+15R^2\right)\\ &=&\pi\frac{h}{30}\left(8R^2+4rR+3r^2\right) \end{array}$

  Dieser Term wird zuletzt mit $2$ multipliziert, weil wir ja nicht das Intervall $[0;\frac{h}2]$, sondern das Doppelte $[-\frac{h}2; \frac{h}2]$ betrachten. Also ist $V=\pi\frac{h}{15}\left(8R^2+4rR+3r^2\right)$.

• Vergleiche die Ergebnisse der verschiedenen Rechnungen mit $R=10$, $r=7$ und $h=12$.

  Tipps

  Setze die gegebenen Größen in die oben angegebenen Formeln ein.

  Der Betrag einer Zahl ist wie folgt definiert

  $|x|= \begin{cases} x& \text{wenn }x\ge 0 \\ -x& \text{wenn }x<0 \end{cases}$.

  Wenn du eine Dezimalzahl in eine Prozentzahl umrechnen willst, multipliziere die Dezimalzahl mit $100$.

  Lösung

  Da das Volumen eines Fasses

  • mithilfe der Kepler'schen Fassregel $V\approx\pi\frac h3\left(r^2+2R^2\right)$ näherungsweise und
  • durch das bestimmte Integral $V=\pi\frac{h}{15}\left(8R^2+4rR+3r^2\right)$ exakt

  berechnet werden kann, ist es auch sinnvoll, die Approximation zu überprüfen. Wir wollen also wissen, wie genau die Annäherung ist.

  Hierfür werden die gegebenen Größen $R=10$, $r=7$ und $h=12$ in diese Formeln eingesetzt:

  • Kepler'sche Fassregel: $V_{\text{ungefähr}}\approx \pi\frac {12}3\left(7^2+2\cdot10^2\right)=996\pi$
  • exaktes Integral: $V_{\text{exakt}}=\pi\frac{h}{15}\left(8 \cdot 10^2+4\cdot 7\cdot 10+3\cdot 7^2\right)=981,6\pi$

  Die Werte sind schon recht nah beieinander. Wie genau die Approximation ist, kann man erkennen, wenn man die prozentuale Abweichung mit dieser Formel berechnet:

  $\large{\frac{|V_{\text{exakt}}-V_{\text{ungefähr}}|}{V_{\text{exakt}}}}$$=\frac{|981,6\pi-996\pi|}{981,6\pi}=\frac{14,4}{981,6}=\frac{6}{409}\approx0,01466=1,47~\%$

  Daran kann man erkennen, dass die Annäherung durch die Kepler'sche Fassregel schon sehr genau ist.

• Gib die Kepler'sche Fassregel an.

  Tipps

  Der Klammerterm ist in nur einem Fall fehlerhaft.

  Einmal muss die Länge des Intervalls $I=[a;b]$ geteilt werden.

  Lösung

  Mithilfe dieser Formel konnte Johannes Kepler schon recht früh ein bestimmtes Integral näherungsweise berechnen. Dies ist recht beeindruckend, da Kepler im 16./17. Jahrhundert lebte.

  Die Theorie der Integration geht in ihren Anfängen auf Augustin-Louis Cauchy (um 1823) zurück.

  Erst später (im 20. Jahrhundert) entstand der Begriff des Integrals und damit auch die entsprechende Theorie.

• Leite näherungsweise das Volumen des Fasses mit der Höhe $R$ und den Radien $R=2r$.

  Tipps

  Um die Kepler'sche Fassregel anzuwenden, musst du die Funktion nicht bestimmen.

  Diese ist $f(x)=\frac{r-R}{r^2}x^2+R$.

  Du kannst die Formel entweder in Abhängigkeit von $r$ oder $R$ angeben.

  Beachte, dass die zu integrierende Funktion $(f(x))^2$ ist.

  Nach der Kepler'schen Fassregel ist

  $V\approx \pi\frac{2r}{6}\left(r^2+4R^2+r^2\right)$.

  Beachte, dass

  • $R=2r$ oder umgekehrt
  • $r=\frac R2$ ist.

  Lösung

  Die Kepler'sche Fassregel ist hier abgebildet.

  Nun kann $R=2r$ verwendet werden. Dies führt zu

  $\begin{array}{rcl} V&\approx& \pi\frac {2r}6\left(r^2+4(2r)^2+r^2\right)\\ &=&\pi\frac {2r}6\left(r^2+16r^2+r^2\right)\\ &=&\pi\frac {2r}6\cdot 18r^2\\ &=&\pi~6r\cdot r^2\\ &=&6\pi~r^3 \end{array}$

  Da $r=\frac R2$ ist, kann diese Formel auch in Abhängigkeit von $R$ angegeben werden:

  $V\approx 6\pi~\left(\frac R2\right)^3=\frac34\pi~R^3=0,75\pi~R^3$.