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Volumen von Rotationskörpern – Einführung 10:42 min

Textversion des Videos

Transkript Volumen von Rotationskörpern – Einführung

Hallo, ich bin Anne und ich erkläre dir heute wie man das Volumen von Rotationskörpern berechnet. In diesem Video kriegst du zu diesem Thema eine Einführung. Ja ich werde dir erklären, wie aus einer Funktion, die um die x-Achse rotiert, ein Rotationskörper entsteht und wie man dessen Volumen berechnen kann. Dafür gucken wir uns als erstes Beispiel ein Cocktailglas an, was du hier siehst und wenn wir hier ein Koordinatensystem reinlegen in dieses Bild, dann kann man sich leicht vorstellen, dass dieses Cocktailglas entsteht, wenn eine Funktion um eine Achse rotiert. Da wir aber nur Objekte berechnen können, wenn diese Funktion um die x-Achse rotiert, müssen wir dieses Bild drehen. Also jetzt haben wir hier wieder ganz normal hier die x-Achse und die y-Achse. Das heißt wir haben eine Funktion f gegeben, die rotiert um die x-Achse, dadurch entsteht ein Rotationskörper und wir suchen jetzt das Volumen dieses Rotationskörpers und in unserem Fall von unserem Cocktailglas. Also gesucht ist das Volumen eines Cocktailglases und gegeben haben wir eine Funktion f(x), die um die x-Achse rotiert und zwar in einem Intervall, in so einem abgeschlossenen Intervall [a,b]. Ja, was ist jetzt die Idee? Wie kann ich dieses Volumen von diesem Cocktailglas berechnen? Und dafür greifen wir auf die Flächenberechnung zurück, wie man schon die Fläche unter einem Graphen berechnet hat. Dazu gucken wir uns noch ein weiteres Bild an und zwar hat man das mit archimedischen Rechteckstreifen gemacht. Also die x-Achse wird in gleiche Abstände eingeteilt und über jedem dieser kleinen Intervalle, die wir auch Delta xi nennen, das ist quasi nur diese Breite dieser Rechtecke, haben wir jetzt ein Rechteck mit der Höhe f(xi) So und jetzt - und man kann jetzt quasi diese Fläche unter diesem Graphen approximieren mit der Summe dieser Rechtecke. Also man addiert alle diese Rechtecke und ein Rechteck wird immer berechnet, der Flächeninhalt, Länge mal Breite. Also diese Länge ist jetzt f(xii, wie hoch diese einzelnen Rechtecke sind und die Breite ist dann dieses Delta xi. Wenn man diese Breiten jetzt immer dünner werden lässt, also dieses Delta xi, dann kann man die Fläche exakt approximieren und da hast du gelernt, dass diese Flächeninhalt, dass man den dann berechnen kann mit dem Integral von a nach b f(x) dx und diese Idee wollen wir uns jetzt zu Nutze machen für unser Volumen. Und zwar wird jetzt aus jedem Rechteck ein Zylinder. Dadurch, also man muss sich jetzt vorstellen, das Rechteck rotiert um die x-Achse und dadurch entsteht ein Zylinder mit dem Radius f(xi) und der Breite Delta xi. Also der Zylinder ist jetzt hier gedreht, also eigentlich ist es die Höhe des Zylinders. Und jetzt kann man sich quasi genauso überlegen, wie kann ich diese Volumen von diesen Zylindern approximieren? Ich muss einfach alle diese Zylinder, die ich in diesen Rotationskörper reinpacken kann, addieren. Das heißt, ich muss wieder alle Zylinder addieren und jetzt muss man überlegen, wie berechnet man das Volumen von so einem Zylinder? Das ist immer Höhe des Zylinders, also das ist hier dieses Delta xii mal der Grundfläche. Die Grundfläche von so einem Zylinder ist ein Kreis. Wie berechnet man den Flächeninhalt von einem Kreis? Das ist π*r2, können wir uns auch mal daneben schreiben. Das heißt, wir müssen uns jetzt überlegen, was ist das r2 und das ist dieses f(xi). Das heißt, wir haben jetzt hier die Summe aller Zylinder: π, f(xi)2. Und dieses Quadrat kommt aus dieser Gleichung vom Kreis. Ja jetzt lässt man wieder dieses Delta xi immer kleiner werden, dadurch wird es exakt, diese Approximation, also wir haben dann das exakte Volumen berechnet und gehen dann wieder über zu dem Integral. Das heißt, wir setzen jetzt ein: π. Jetzt ersetzt sich quasi diese Summe mit dem Integral, Integral von ab f(x)2, Quadrat ist hier das Wichtige, dx. Und jetzt haben wir die Volumenformel für Rotationskörper gefunden. In der nächsten Szene werden wir jetzt nochmal konkret für dieses Beispiel, für dieses Cocktailglas, das Volumen berechnen. Wir wollen jetzt für unser konkretes Cocktailglas das Volumen berechnen und wir haben ja jetzt die Volumenformel hergeleitet. Und die war V= π Integral von a nach b f(x)2 dx. So und jetzt brauchen wir noch die konkrete Funktion, die dieses Cocktailglas entstehen lässt und das ist f(x)=1/3x2 im Intervall [0,3]. Und jetzt müssen wir im Prinzip nur in diese Volumenformel einsetzen. Also V=π , dann das Integral von null bis drei. Jetzt ist wichtig, dass wir dieses Quadrieren der Funktion nicht vergessen, also (1/3x2)2 dx. A zu π Integral null drei. Ein Drittel zum Quadrat ist ein Neuntel. X2 zum Quadrat ist x4 , dx. Jetzt suchen wir davon die Stammfunktion. Das ist x5. Jetzt müssen wir mit dem Kehrwert des neuen Exponenten multiplizieren, also mit 1/9 * 1/5 = 1/45 und die Grenzen sind null und drei. Und ich schiebe mal das Bild hoch, dann habe ich wieder ein bisschen mehr Platz und rechne hier weiter. Jetzt haben wir π, jetzt müssen wir einsetzen obere Grenze minus untere Grenze. 1/45 * 35 = 5 2/5. 1/45 * 05 = 0, können wir also weglassen und wenn man das jetzt nochmal in den Taschenrechner eingibt, sind das rund 17 Volumeneinheiten. Das heißt, unser Cocktailglas hat ein Volumen von 17 Volumeneinheiten und je nachdem, wie groß dieses Koordinatensystem skaliert ist, also in Zentimeter oder in Millimeter, also wahrscheinlich hier eher in Zentimetern, wäre das hier jetzt 17 Kubikzentimeter. Zum Schluss fasse ich nochmal kurz zusammen, was du heute gelernt hast: Wir haben die Volumenformel für Rotationskörper hergeleitet. Ein Rotationskörper entsteht, wenn eine Funktion um die x-Achse rotiert. Dafür haben wir uns die Idee mit den archimedischen Rechteckstreifen zu Nutze gemacht, die wir schon kennen, wenn wir eine Fläche unter einem Graphen berechnen. Dann haben wir diese Volumenformel hergeleitet und für ein konkretes Beispiel ausgerechnet. Ja ich hoffe, du hast alles verstanden und hattest auch Spaß dabei. Bis zum nächsten Video, deine Anne.

1 Kommentar
  1. Was ist dieses Integral?!?! Auf dieser Website findet man einfach nichts und das ist einfach nicht gut wenn man etwas nicht in der Schule hatte und das dann hier aufgeführt wird (Integral). Ich weiss man kann es nicht jedem recht machen, aber man sollte wenigstens einen Link zur Erklärung von etwas, was in diesem Video vorkommt, einfügen, sodass man gleich nachschauen kann was das bedeutet und was man damit macht bzw. wie man es berechnet.

    Von Munsche Eike, vor etwa einem Jahr

Volumen von Rotationskörpern – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Volumen von Rotationskörpern – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zu Rotationskörpern.

    Tipps

    Der Rotationskörper, der zu einer linearen Funktion bzw. Gerade gehört, ist ein Kegel.

    Die Funktion, durch welche ein Zylinder entsteht, ist eine Konstante.

    Wie sieht der Rotationskörper zu einem Rechteck aus, wenn du eine Rechteckseite als Rotationsachse verwendest?

    Lösung

    Bei diesem Cocktailglas sind links und rechts Begrenzungen zu erkennen, welche symmetrisch zu einer Achse sind, auf welcher auch der Stiel des Glases liegt.

    Jeder zum Fuß des Glases parallele Schnitt ist ein Kreis.

    Das bedeutet, dass das Cocktailglas durch Rotation einer Begrenzung um die oben genannte Achse entsteht.

    Wenn man das Cocktailglas so dreht, dass diese Achse die x-Achse ist, kann man erkennen,

    • dass die Begrenzung einer Funktion $f(x)$ in dem Intervall $[a;b]$ entspricht und
    • dass das Cocktailglas durch Rotation dieser Funktion um die x-Achse entsteht.
    Das Cocktailglas ist ein Beispiel für einen Rotationskörper, dessen Volumen durch Summen von Zylindervolumina angenähert werden kann.

    Willst du die Fläche unter einem Graphen mit der Archimedischen Streifenmethode approximieren, so kannst du diese durch Summen von Rechteckflächeninhalte annähern.

  • Berechne das Volumen des Cocktailglases.

    Tipps

    Verwende die Formel

    $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

    Beachte, dass die betrachtete Funktion quadriert werden muss.

    Es gilt $(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$.

    Verwende für die Bestimmung einer Stammfunktion die Potenzregel der Integration:

    $\int x^n dx=\frac 1{n+1} x^{n+1}+c$.

    Beim bestimmten Integral kann die Integrationskonstante $c$ weggelassen werden.

    Lösung

    Das Cocktailglas ist der Rotationskörper, welcher entsteht, wenn die Funktion $f(x)=\frac13 x^2$ um die x-Achse in $[0;3]$ entsteht.

    Man kann die Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern verwenden:

    $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

    Nun setzt man alle bekannten Größen in diese Formel ein:

    $\begin{align*} V&=\pi\int\limits_0^3\left(\frac13x^2\right)^2dx\\ &=\pi\int\limits_0^3\left(\frac19x^4\right)dx\\ &=\pi \left[ \frac1{45}x^5\right]_0^3\\ &=\pi\cdot\frac{27}5 \\ &\approx 17~\text{[VE]}. \end{align*}$

    Hierbei wurde die Potenzregel der Integration:

    $\int x^4 dx=\frac 15 x^5 +c$

    verwendet.

    Das Volumen des Cocktailglases beträgt also ungefähr $17$ [VE].

  • Untersuche, welche der Körper Rotationskörper sind.

    Tipps

    Eventuell musst du den Körper erst drehen, sodass die x-Achse zur Rotationsachse wird.

    Woran kann man einen Rotationskörper erkennen?

    • Ein Rotationskörper ist punktsymmetrisch zu einer Achse.
    • Alle Schnittflächen senkrecht zur Rotationsachse sind Kreise.

    Genau drei Körper sind Rotationskörper.

    Lösung

    Woran kann man einen Rotationskörper erkennen?

    • Ein Rotationskörper ist punktsymmetrisch zu einer Achse.
    • Alle Schnittflächen senkrecht zur Rotationsachse sind Kreise.
    Zum Beispiel ist eine Kugel ein Rotationskörper. Wenn man einen Schnitt durch die Kugel macht, entsteht als Schnittfläche immer ein Kreis. Als Rotationsachse kann man jede Gerade durch den Kugelmittelpunkt nehmen.
    • Ein Zylinder hat einen Kreis als Grundfläche; er entsteht, wenn man eine konstante Funktion um die x-Achse dreht. Das Intervall ist $[0;h]$, wobei $h$ die Höhe des Zylinders ist.
    • Weder der Würfel noch die Pyramide sind Rotationskörper.
    • Eine Halbkugel ist ein Rotationskörper. Die Funktion, welche rotiert wird, ergibt sich aus der Kreisgleichung $x^2+y^2=r^2$, welche für positive $x$ nach $y$ aufgelöst wird. Sie lautet $f(x)=y=\sqrt{ r^2-x^2}$ und wird über dem Intervall $[0;r]$ rotiert.
    • Ein Kegel ist ein Rotationskörper. Er entsteht durch Rotation einer linearen Funktion durch den Ursprung.

  • Berechne das Volumen eines Zylinders mit Radius $r=5~cm$ und Höhe $h=12~cm$.

    Tipps

    Ein Zylinder ist ein Rotationskörper. Es wird eine konstante Funktion rotiert.

    Verwende die Formel $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

    Du kannst das Endergebnis überprüfen, indem du die bekannte Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders verwendest.

    Lösung

    Ein Zylinder entsteht, indem die konstante Funktion $f(x)=r$ in dem Intervall $[0;h]$ um die x-Achse rotiert wird.

    Es kann also die Formel $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$ verwendet werden.

    Hier wird die Formel in Abhängigkeit des Radius und der Höhe hergeleitet. Die bekannten Größen können dann in dieser Formel eingesetzt werden.

    $\begin{align*} V&=\pi\int\limits_0^h r^2dx\\ &=\pi\left[r^2x\right]_0^h\\ &=\pi\cdot r^2\cdot h. \end{align*}$

    Dies ist die bekannte Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders. In dieser Formel können nun $r=5~cm$ sowie $h=12~cm$ eingesetzt werden:

    $V=\pi\cdot (5~cm)^2\cdot 12~cm=300\pi~cm^3\approx 942,5~cm^3$.

  • Gib die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers an.

    Tipps

    Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet

    $V_{Zyl}=\pi\cdot r^2\cdot h$.

    Dabei ist

    • $r$ der Radius des Grundkreises und
    • $h$ die Höhe des Zylinders.

    Bei einem Rotationskörper ist der Radius des Kreises, welcher durch einen Schnitt parallel zur y-Achse durch $x_0$ entsteht, durch $r=f(x_0)$ gegeben.

    Lösung

    Das bestimmte Integral einer Funktion in einem Intervall $[a;b]$ kann mit der Streifenmethode nach Archimedes berechnet werden, indem das Flächenstück immer genauer durch Rechteckflächen angenähert wird.

    So ähnlich wird die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers hergeleitet:

    Das tatsächliche Volumen wird durch die Summe von Volumina von Zylindern approximiert.

    Die Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern, welche durch die Rotation einer Funktion $f(x)$ um die x-Achse in dem Intervall $[a;b]$ entsteht, lautet

    $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

  • Bestimme die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels mit der Höhe $h$ und dem Radius $r$.

    Tipps

    Die Funktion, welche rotiert wird, ist eine Ursprungsgerade.

    Nutze die folgende Formel mit $a=0$ und $b=h$:

    Lösung

    Zunächst stellen sich die Fragen,

    • ob es sich bei einem Kegel um einen Rotationskörper handelt und
    • falls ja, welche Funktion rotiert wird.
    Hier in dem Bild ist zu erkennen, dass der Kegel durch Rotation einer linearen Funktion um die x-Achse in dem Intervall $[0;h]$ entsteht.

    Wie lautet die Gleichung der linearen Funktion? Es handelt sich um eine Ursprungsgerade, auf welcher der Punkt $(h|r)$ liegt. Der Anstieg ist also $m=\frac rh$ und somit gilt:

    $f(x)=\frac rh x$.

    Nun kann die Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern verwendet werden:

    $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

    Die Funktion sowie die Grenze $a=0$ und $b=h$ können eingesetzt werden:

    $\begin{align*} V&=\pi\int\limits_0^h\left(\frac rh x\right)^2dx\\ &=\pi\int\limits_0^h \frac {r^2}{h^2} x^2 dx\\ &=\pi\left[\frac {r^2}{h^2}\frac13 x^3\right]_0^h\\ &=\pi\cdot \frac {r^2}{h^2}\cdot\frac{h^3}3\\ &=\frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot h. \end{align*}$

    Dies ist die bekannte Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels mit dem Radius $r$ und der Höhe $h$: $V_{Ke}=\frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot h$