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Volumen von Rotationskörpern – Beispiel Football

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Die Autor*innen
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Annejahn089
Volumen von Rotationskörpern – Beispiel Football
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Volumen von Rotationskörpern – Beispiel Football Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Volumen von Rotationskörpern – Beispiel Football kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die Gleichung der Funktion auf, durch deren Rotation der Football entsteht.

    Tipps

    Wenn der Scheitelpunkt $S(x_s|y_s)$ einer Parabel gegeben ist, so kann die Scheitelpunktform wie folgt aufgeschrieben werden:

    $f(x)=a(x-x_s)^2+y_s$.

    Ein Punkt $R(x|y)$ liegt auf dem Graphen einer Funktion $f$, wenn

    $y=f(x)$

    gilt.

    Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel, je nach Öffnung der Parabel.

    Lösung

    Der Football ist $28~cm$ lang und $18~cm$ hoch. Dieser kann so in ein Koordinatensystem gelegt werden, dass sein Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.

    Die beiden Punkte

    • $P(0|9)$ und
    • $Q(14|0)$
    liegen auf einer Parabel, durch deren Drehung über dem Intervall $[-14;14]$ der Football entsteht. Dabei ist $P$ der Scheitelpunkt der Parabel.

    Die Scheitelpunktform lautet

    $f(x)=a(x-0)^2+9$.

    Nun kann der Punkt $Q$ in die Funktionsgleichung eingesetzt werden, um $a$ zu bestimmen:

    $\begin{align*} 0&=a(14-0)^2+9\\ 0&=196a+9&|&-9\\ -9&=196a&|&:196\\ -\frac9{196}&=a\\ -0,05&\approx a. \end{align*}$

    Somit ist die Funktion

    $f(x)=-0,05x^2+9$ gegeben.

  • Berechne das Volumen des Footballs.

    Tipps

    Überlege dir zunächst, in welchem Intervall die Funktion rotiert wird.

    Der Football ist $28~cm$ lang.

    Verwende die Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern:

    $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

    Es gilt die 2. binomische Formel

    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

    Lösung

    Der Football entsteht durch Rotation der Funktion $f(x)=-0,05x^2+9$ in dem Intervall $[-14;14]$ um die x-Achse.

    Es kann also die Formel $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$ verwendet werden.

    Hier wird die Formel in Abhängigkeit des Radius und der Höhe hergeleitet. Die bekannten Größen können dann in dieser Formel eingesetzt werden.

    $\begin{align*} V&=\pi\int\limits_{-14}^{14} \left(-0,05x^2+9\right)^2dx\\ &=\pi\int\limits_{-14}^{14} \left(81-0,9x^2+0,0025x^4\right)^2dx\\ &=\pi\left[81x-0,3x^3+0,0005x^5\right]_{-14}^{14}\\ &=\pi\left[81\cdot14-0,3\cdot 14^3+0,0005\cdot 14^5-\left(81\cdot(-14)-0,3\cdot(-14)^3+0,0005\cdot(-14)^5\right)\right]\\ &=\pi\cdot 1159,424\\ &\approx 3642~cm^3. \end{align*}$

    Das Volumen des Footballs beträgt ungefähr $3642~cm^3$.

  • Leite die Gleichung der Funktion her, die rotiert um die x-Achse den Kegelstumpf ergibt.

    Tipps

    Verwende die 2-Punkt-Form einer Geradengleichung.

    1. Berechne zunächst die Steigung und
    2. dann durch Einsetzen eines Punktes den y-Achsenabschnitt.

    Die Steigung einer Geraden durch $2$ Punkte $A(a_1|a_2)$ sowie $B(b_1|b_2)$ ist gegeben durch:

    $m=\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1}$.

    Lösung

    Die Funktion, welche um die x-Achse rotiert den Kegelstumpf ergibt, ist linear:

    $f(x)=mx+n$.

    Zur Bestimmung der Gleichung werden $2$ Punkte benötigt. Diese kann man aus dem Bild ablesen:

    • $P(4|2)$ und
    • $Q(-4|4)$.
    Nun kann mit der Formel

    $m=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}$

    die Steigung berechnet werden:

    $m=\frac{4-2}{-4-4}=-\frac14=-0,25$.

    Dann kann zur Bestimmung des y-Achsenabschnitts einer der beiden Punkte in die Gleichung eingesetzt werden:

    $\begin{align*} &&4&=-0,25\cdot(-4)+n\\ &\Leftrightarrow&4&=1+n&|&-1\\ &\Leftrightarrow&3&=n. \end{align*}$

    Die Funktionsgleichung lautet also $f(x)=-0,25x+3$. Diese Funktion wird über dem Intervall $[-4;4]$ rotiert.

    Diese kann verwendet werden zur Berechnung des Volumens dieses Rotationskörpers.

  • Berechne das Volumen des Kegelstumpfs.

    Tipps

    Verwende die Formel

    $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$ .

    Die 1. binomische Formel lautet

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Potenzen werden wie folgt integriert:

    $\int x^ndx=\frac1{n+1}x^{n+1}+c;~n\neq -1$.

    Bei dem bestimmten Integral kann die Integrationskonstante weggelassen werden.

    Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

    $\int\limits_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$.

    Dabei ist $F$ eine Stammfunktion von $f$.

    Lösung

    Dieser Kegelstumpf entsteht durch Rotation der Funktion $f(x)=-0,25x+3$ in dem Intervall $[-4;4]$ um die x-Achse.

    Mit der Formel

    $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$

    kann das Volumen dieses Körpers berechnet werden.

    Die Grenzen sind $a=-4$ und $b=4$:

    $\begin{align*} V&=\pi\int\limits_{-4}^{4} \left(-0,25x+3\right)^2dx\\ &=\pi\int\limits_{-4}^{4} \left(0,0625x^2-1,5x+9\right)dx\\ &=\pi\left[0,0208\bar3x^3-0,75x^2+9x\right]_{-4}^{4}\\ &=\pi\left[0,0208\bar3\cdot4^3-0,75\cdot4^2+9\cdot4-\left(0,0208\bar3\cdot(-4)^3-0,75\cdot(-4)^2+9\cdot(-4)\right)\right]\\ &=\pi\cdot 74\frac23\\ &\approx 243,6\text{ [VE]}. \end{align*}$

    Das Volumen des Kegelstumpfs beträgt ungefähr $243,6$ [VE].

  • Gib die Formel an, mit welcher das Volumen von Rotationskörpern berechnet werden kann.

    Tipps

    Du erhältst einen Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $h$ als Rotationskörper, wenn du die Funktion $f(x)=r$ über dem Intervall $[0;h]$ um die $x$-Achse rotieren lässt.

    Setze in die obigen Formeln ein und vergleiche mit der bekannten Formel für das Volumen eines Zylinders.

    Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet

    $V_{Zyl}=\pi\cdot r^2\cdot h$.

    Dabei ist

    • $r$ der Radius des Grundkreises und
    • $h$ die Höhe des Zylinders.

    Lösung

    Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers wird durch die Summe von Volumina von Zylindern hergeleitet:

    Die Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern, welche durch die Rotation einer Funktion $f$ um die x-Achse in dem Intervall $[a;b]$ entsteht, lautet

    $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

  • Arbeite heraus, wieviel Ton Paul für diese Vase benötigt.

    Tipps

    Achte darauf, dass du nicht zu grob zwischendurch rundest. Notiere alle Zwischenergebnisse mit mindestens vier Nachkommastellen.

    Rechne erst dann in $cm^3$ um.

    Du musst zunächst die Gleichung der Parabel bestimmen, welche in dem Intervall $[0;4]$ rotiert wird .

    Gegeben sind die beiden Punkte $P$ und $Q$; dabei ist $P$ der Scheitelpunkt der Parabel.

    Die Gleichung der Funktion lautet $f(x)=\frac18x^2+2$.

    Die Volumenformel für einen Zylinder lautet:

    $V_{Zyl}=\pi\cdot r^2\cdot h$.

    Dabei ist $r$ der Radius und $h$ die Höhe des Zylinders.

    Das Volumen des Zylinders beträgt: $V_{Zyl}\approx 20357,5~cm^3$.

    Lösung

    Zunächst muss man die Gleichung der Parabel herleiten, auf welcher die Punkte $P(0|2)$, der Scheitelpunkt, und $Q(4|4)$ liegen:

    Es gilt $f(x)=ax^2+2$, da $P$ ein Scheitelpunkt ist. Nun kann der Punkt $Q$ in diese Gleichung eingesetzt werden:

    $\begin{align*} 4&=a\cdot4^2+2&|&-2\\ 2&=16a&|&:16\\ \frac18&=a. \end{align*}$

    Die gesuchte Funktionsgleichung ist $f(x)=\frac18x^2+2$.

    Nun wird die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers mit den Grenzen $a=0$ und $b=4$ verwendet:

    $\begin{align*} V&=\pi\int\limits_{0}^{4} \left(\frac18x^2+2\right)^2dx\\ &=\pi\int\limits_{0}^{4} \left(\frac1{64}x^4+\frac12x^2+4\right)dx\\ &=\pi\left[\frac1{320}x^5+\frac16x^3+4x\right]_{0}^{4}\\ &=\pi\left(\frac1{320}4^5+\frac164^3+4\cdot4\right)\\ &=\pi\cdot \frac{448}{15}\\ &\approx 93,8289~\text{[VE]}. \end{align*}$

    Da eine Längeneinheit $10~cm$ entspricht, sind dies $93828,9~cm^3$.

    Nun muss noch die Menge Ton abgezogen werden, welche dem Zylinder entspricht:

    $V_{Zyl}=\pi\cdot 1,8^2\cdot 2\approx 20,357,5~$ [VE]. Dies entspricht $20357,5~cm^3$.

    Gesamt benötigt Paul also $93828,9~cm^3-20357,5~cm^3=73471,4\approx 73471~cm^3$ Ton.

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