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Volumen von Rotationskörpern – Beispiel Football

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Die Autor/-innen
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Annejahn089
Volumen von Rotationskörpern – Beispiel Football
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Volumen von Rotationskörpern – Beispiel Football

In diesem Video lernst du, wie du das Volumen eines Footballs berechnest. Er soll 28cm lang und 18cm hoch sein. Dabei werden wir den Football als Rotationskörper beschreiben, der entsteht, wenn eine Funktion um die x-Achse rotiert. In einem ersten Schritt bestimmen wir die Funktionsgleichung über die Höhe und Länge des Footballs. Das Volumen berechnen wir anschließend über die Volumenformel für Rotationskörper.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. sehr Gutes und verständliches Video

    Vielen Dank und wohl verdiente 5 Sterne

    Von Soeder Andreas, vor etwa 4 Jahren
  2. Sehr gutes Video.
    Ich finds vor allem gut, dass du jeden benötigten Schritt erklärst, auch solche die man eigentlich zum Basicwissen gehören, wie zb die Binomische Formel oder die Scheitelpunktsform. So verstehen es auch Leute wie ich, die in Mathe nicht wirklich den Überblick haben.
    Weiter so!

    Von Ilert 1, vor mehr als 5 Jahren
  3. Super Video!
    Super verständlich und ruhig und jetzt hab sogar ich es verstanden :)

    Von Kyanhadji, vor mehr als 6 Jahren

Volumen von Rotationskörpern – Beispiel Football Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Volumen von Rotationskörpern – Beispiel Football kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die Gleichung der Funktion auf, durch deren Rotation der Football entsteht.

    Tipps

    Wenn der Scheitelpunkt $S(x_s|y_s)$ einer Parabel gegeben ist, so kann die Scheitelpunktform wie folgt aufgeschrieben werden:

    $f(x)=a(x-x_s)^2+y_s$.

    Ein Punkt $R(x|y)$ liegt auf dem Graphen einer Funktion $f$, wenn

    $y=f(x)$

    gilt.

    Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt einer Parabel, je nach Öffnung der Parabel.

    Lösung

    Der Football ist $28~cm$ lang und $18~cm$ hoch. Dieser kann so in ein Koordinatensystem gelegt werden, dass sein Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.

    Die beiden Punkte

    • $P(0|9)$ und
    • $Q(14|0)$
    liegen auf einer Parabel, durch deren Drehung über dem Intervall $[-14;14]$ der Football entsteht. Dabei ist $P$ der Scheitelpunkt der Parabel.

    Die Scheitelpunktform lautet

    $f(x)=a(x-0)^2+9$.

    Nun kann der Punkt $Q$ in die Funktionsgleichung eingesetzt werden, um $a$ zu bestimmen:

    $\begin{align*} 0&=a(14-0)^2+9\\ 0&=196a+9&|&-9\\ -9&=196a&|&:196\\ -\frac9{196}&=a\\ -0,05&\approx a. \end{align*}$

    Somit ist die Funktion

    $f(x)=-0,05x^2+9$ gegeben.

  • Berechne das Volumen des Footballs.

    Tipps

    Überlege dir zunächst, in welchem Intervall die Funktion rotiert wird.

    Der Football ist $28~cm$ lang.

    Verwende die Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern:

    $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

    Es gilt die 2. binomische Formel

    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

    Lösung

    Der Football entsteht durch Rotation der Funktion $f(x)=-0,05x^2+9$ in dem Intervall $[-14;14]$ um die x-Achse.

    Es kann also die Formel $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$ verwendet werden.

    Hier wird die Formel in Abhängigkeit des Radius und der Höhe hergeleitet. Die bekannten Größen können dann in dieser Formel eingesetzt werden.

    $\begin{align*} V&=\pi\int\limits_{-14}^{14} \left(-0,05x^2+9\right)^2dx\\ &=\pi\int\limits_{-14}^{14} \left(81-0,9x^2+0,0025x^4\right)^2dx\\ &=\pi\left[81x-0,3x^3+0,0005x^5\right]_{-14}^{14}\\ &=\pi\left[81\cdot14-0,3\cdot 14^3+0,0005\cdot 14^5-\left(81\cdot(-14)-0,3\cdot(-14)^3+0,0005\cdot(-14)^5\right)\right]\\ &=\pi\cdot 1159,424\\ &\approx 3642~cm^3. \end{align*}$

    Das Volumen des Footballs beträgt ungefähr $3642~cm^3$.

  • Leite die Gleichung der Funktion her, die rotiert um die x-Achse den Kegelstumpf ergibt.

    Tipps

    Verwende die 2-Punkt-Form einer Geradengleichung.

    1. Berechne zunächst die Steigung und
    2. dann durch Einsetzen eines Punktes den y-Achsenabschnitt.

    Die Steigung einer Geraden durch $2$ Punkte $A(a_1|a_2)$ sowie $B(b_1|b_2)$ ist gegeben durch:

    $m=\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1}$.

    Lösung

    Die Funktion, welche um die x-Achse rotiert den Kegelstumpf ergibt, ist linear:

    $f(x)=mx+n$.

    Zur Bestimmung der Gleichung werden $2$ Punkte benötigt. Diese kann man aus dem Bild ablesen:

    • $P(4|2)$ und
    • $Q(-4|4)$.
    Nun kann mit der Formel

    $m=\frac{q_2-p_2}{q_1-p_1}$

    die Steigung berechnet werden:

    $m=\frac{4-2}{-4-4}=-\frac14=-0,25$.

    Dann kann zur Bestimmung des y-Achsenabschnitts einer der beiden Punkte in die Gleichung eingesetzt werden:

    $\begin{align*} &&4&=-0,25\cdot(-4)+n\\ &\Leftrightarrow&4&=1+n&|&-1\\ &\Leftrightarrow&3&=n. \end{align*}$

    Die Funktionsgleichung lautet also $f(x)=-0,25x+3$. Diese Funktion wird über dem Intervall $[-4;4]$ rotiert.

    Diese kann verwendet werden zur Berechnung des Volumens dieses Rotationskörpers.

  • Berechne das Volumen des Kegelstumpfs.

    Tipps

    Verwende die Formel

    $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$ .

    Die 1. binomische Formel lautet

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Potenzen werden wie folgt integriert:

    $\int x^ndx=\frac1{n+1}x^{n+1}+c;~n\neq -1$.

    Bei dem bestimmten Integral kann die Integrationskonstante weggelassen werden.

    Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt:

    $\int\limits_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$.

    Dabei ist $F$ eine Stammfunktion von $f$.

    Lösung

    Dieser Kegelstumpf entsteht durch Rotation der Funktion $f(x)=-0,25x+3$ in dem Intervall $[-4;4]$ um die x-Achse.

    Mit der Formel

    $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$

    kann das Volumen dieses Körpers berechnet werden.

    Die Grenzen sind $a=-4$ und $b=4$:

    $\begin{align*} V&=\pi\int\limits_{-4}^{4} \left(-0,25x+3\right)^2dx\\ &=\pi\int\limits_{-4}^{4} \left(0,0625x^2-1,5x+9\right)dx\\ &=\pi\left[0,0208\bar3x^3-0,75x^2+9x\right]_{-4}^{4}\\ &=\pi\left[0,0208\bar3\cdot4^3-0,75\cdot4^2+9\cdot4-\left(0,0208\bar3\cdot(-4)^3-0,75\cdot(-4)^2+9\cdot(-4)\right)\right]\\ &=\pi\cdot 74\frac23\\ &\approx 243,6\text{ [VE]}. \end{align*}$

    Das Volumen des Kegelstumpfs beträgt ungefähr $243,6$ [VE].

  • Gib die Formel an, mit welcher das Volumen von Rotationskörpern berechnet werden kann.

    Tipps

    Du erhältst einen Zylinder mit Radius $r$ und Höhe $h$ als Rotationskörper, wenn du die Funktion $f(x)=r$ über dem Intervall $[0;h]$ um die $x$-Achse rotieren lässt.

    Setze in die obigen Formeln ein und vergleiche mit der bekannten Formel für das Volumen eines Zylinders.

    Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet

    $V_{Zyl}=\pi\cdot r^2\cdot h$.

    Dabei ist

    • $r$ der Radius des Grundkreises und
    • $h$ die Höhe des Zylinders.

    Lösung

    Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers wird durch die Summe von Volumina von Zylindern hergeleitet:

    Die Formel zur Berechnung des Volumens von Rotationskörpern, welche durch die Rotation einer Funktion $f$ um die x-Achse in dem Intervall $[a;b]$ entsteht, lautet

    $V=\pi\int\limits_a^b\left(f(x)\right)^2dx$.

  • Arbeite heraus, wieviel Ton Paul für diese Vase benötigt.

    Tipps

    Achte darauf, dass du nicht zu grob zwischendurch rundest. Notiere alle Zwischenergebnisse mit mindestens vier Nachkommastellen.

    Rechne erst dann in $cm^3$ um.

    Du musst zunächst die Gleichung der Parabel bestimmen, welche in dem Intervall $[0;4]$ rotiert wird .

    Gegeben sind die beiden Punkte $P$ und $Q$; dabei ist $P$ der Scheitelpunkt der Parabel.

    Die Gleichung der Funktion lautet $f(x)=\frac18x^2+2$.

    Die Volumenformel für einen Zylinder lautet:

    $V_{Zyl}=\pi\cdot r^2\cdot h$.

    Dabei ist $r$ der Radius und $h$ die Höhe des Zylinders.

    Das Volumen des Zylinders beträgt: $V_{Zyl}\approx 20357,5~cm^3$.

    Lösung

    Zunächst muss man die Gleichung der Parabel herleiten, auf welcher die Punkte $P(0|2)$, der Scheitelpunkt, und $Q(4|4)$ liegen:

    Es gilt $f(x)=ax^2+2$, da $P$ ein Scheitelpunkt ist. Nun kann der Punkt $Q$ in diese Gleichung eingesetzt werden:

    $\begin{align*} 4&=a\cdot4^2+2&|&-2\\ 2&=16a&|&:16\\ \frac18&=a. \end{align*}$

    Die gesuchte Funktionsgleichung ist $f(x)=\frac18x^2+2$.

    Nun wird die Formel zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers mit den Grenzen $a=0$ und $b=4$ verwendet:

    $\begin{align*} V&=\pi\int\limits_{0}^{4} \left(\frac18x^2+2\right)^2dx\\ &=\pi\int\limits_{0}^{4} \left(\frac1{64}x^4+\frac12x^2+4\right)dx\\ &=\pi\left[\frac1{320}x^5+\frac16x^3+4x\right]_{0}^{4}\\ &=\pi\left(\frac1{320}4^5+\frac164^3+4\cdot4\right)\\ &=\pi\cdot \frac{448}{15}\\ &\approx 93,8289~\text{[VE]}. \end{align*}$

    Da eine Längeneinheit $10~cm$ entspricht, sind dies $93828,9~cm^3$.

    Nun muss noch die Menge Ton abgezogen werden, welche dem Zylinder entspricht:

    $V_{Zyl}=\pi\cdot 1,8^2\cdot 2\approx 20,357,5~$ [VE]. Dies entspricht $20357,5~cm^3$.

    Gesamt benötigt Paul also $93828,9~cm^3-20357,5~cm^3=73471,4\approx 73471~cm^3$ Ton.

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