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Volumen von Kugeln

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Martin Wabnik
Volumen von Kugeln
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Volumen von Kugeln

In diesem Video werden zwei Kugeln verglichen, wovon die eine größer als die andere ist. Wir wollen nun herausfinden, wie viele der kleinen Kugeln man erhält, wenn das Volumen der größeren Kugel auf die kleineren Kugeln verteilt wird? Dazu müssen wir ganz einfach das Volumen der beiden Kugeln berechnen. Anschließend teilen wir das Volumen der größeren Kugel durch das Volumen der kleineren Kugel und erhalten so die gesuchte Anzahl. Dazu verwenden wir die Volumenformel für Kugeln: V = 4/3 × π × r³.

Transkript Volumen von Kugeln

Hallo, wie viele Kugeln bekommt man, wenn man das Volumen dieser Kugel auf Kugeln dieser Größe verteilt? Wie man sieht, ist der Durchmesser der großen Kugel doppelt so groß wie der, der kleinen Kugel. Die große Kugel hat einen Durchmesser von 12,4 cm, also einen Radius von 6,2 cm. Damit haben die kleinen Kugeln einen Radius von 3,1 cm. Wir können nun einfach die Volumina ausrechnen und vergleichen. Das Volumen einer Kugel berechnet man mit der Formel: V=4/3×π×r3. Das Volumen der großen Kugel ist also: Vg=4/3×π×(6,2 cm)3≈998,3 cm³. Weil ein Kubikzentimeter das gleiche ist wie ein Milliliter und weil 1000 Milliliter=1 Liter ist, ist das Volumen der großen Kugel fast genau 1 Liter. In diese Kugel passt also fast 1 Liter.
Die kleine Kugel hat das Volumen Vk=4/3×π×(3,1 cm)3≈124,8 cm³. Damit ist das Volumen der kleinen Kugel 1/8 des Volumens der großen. Das Volumen dieser 8 Kugeln zusammen ist also das gleiche wie das der großen Kugel. Sieht eigentlich anders aus, oder? Ist aber trotzdem so.  

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Qualität entspricht zwar nicht ganz 4K, aber ist nett veranschaulicht :3

    Von Niklas Bauer, vor fast 3 Jahren
  2. @Christopher Hornung: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Hausaufgaben-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Thomas Scholz, vor fast 4 Jahren
  3. schlecht erklärt habe nix verstanden

    Von Christopher Hornung, vor fast 4 Jahren
  4. @Gebrekidanketema: Richtig. π (Pi) ist eine mathematische Konstante. π ist eine irrational Zahl, sie hat endlos viele Nachkommastellen. In der Dezimaldarstellung hat sie die Form: π = 3,14159265...
    Statt diese nicht abbrechende Dezimalzahl zu schreiben, wird oft "π" verwendet.
    Ich hoffe ich konnte deine Frage beantworten.
    Hier noch ein Video zur Kreiszahl π:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/kreiszahl-pi

    Von Thomas Scholz, vor etwa 4 Jahren
  5. alles klar und was ist "pi "
    Ich habe mal gehört, dass das 3,1416 ist, stimmt das ?

    Von Gebrekidanketema, vor etwa 4 Jahren
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Volumen von Kugeln Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Volumen von Kugeln kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Formel zur Berechnung des Volumens einer Kugel an.

    Tipps

    Eine Kugel ist ein räumliches Gebilde. Die Maßeinheit für ein Volumen ist häufig $cm^3$ oder $m^3$ oder Liter.

    Ein Kreis ist ein flächiges Gebilde. Die Flächenformel für einen Kreis lautet $A=\pi\cdot r^2$.

    Die Maßeinheit für eine Fläche ist häufig $cm^2$, $m^2$ oder Hektar.

    Prüfe bei jeder der Formeln, ob die Maßeinheit passen könnte.

    $\pi=3,1415...$ ist die sogenannte Kreiszahl.

    Lösung

    Das Volumen einer Kugel mit dem Radius $r$ beträgt

    $V=\frac43\cdot \pi\cdot r^3$.

    $\pi=3,1415...$ ist die sogenannte Kreiszahl, welche auch in der Flächenformel für den Kreis $A=\pi\cdot r^2$ vorkommt.

    Der Radius $r$ wird in Längeneinheiten ($cm$, $m$ usw.) angegeben. Damit ist $r^3$ eine Volumeneinheit ($cm^3$, $m^3$ oder Liter).

  • Berechne das Volumen der beiden Kugeln.

    Tipps

    Achte auf die Maßeinheiten:

    • $r$ ist in Längeneinheiten ($cm$ oder $m$ oder ...) gegeben, wohingegen
    • $V$ in Volumeneinheiten ($cm^3$ oder $m^3$ oder ...) gegeben ist.

    Die Kreiszahl $\pi$ findest du auf deinem Taschenrechner häufig über der „EXP“-Taste. Diese ist hier leider nicht zu sehen.

    Wenn der große Radius $r_g=10~cm$ beträgt, dann ist der halb so große Radius gegeben durch $r_k=5~cm$.

    Lösung

    Es soll der Radius zweier Kugeln berechnet werden. Die eine (größere) Kugel hat einen Durchmesser von $12,4~cm$, also den Radius (der halbe Durchmesser) $r_g=6,2~cm$. Die andere (kleinere Kugel) hat einen halb so großen Radius wie die größere Kugel $r_k=3,1~cm$ und damit natürlich auch einen halb so großen Durchmesser von $6,2~cm$.

    Setzt man jeweils die Radien in die Volumenformel ein, kann man so direkt das Volumen der jeweiligen Kugel bestimmen.

    • Für die größere Kugel ergibt sich $V_g=\frac43\cdot \pi\cdot (6,2~cm)^3\approx998,3~cm^3$.
    • Für die kleinere Kugel erhalten wir $V_k=\frac43\cdot \pi\cdot (3,1~cm)^3\approx124,8~cm^3$.
  • Bestimme das Volumen der Erde.

    Tipps

    Verwende die Volumenformel

    $V=\frac43\cdot \pi\cdot r^3$.

    Achte auf die Maßeinheiten.

    Der Radius $r$ ist der halbe Durchmesser $d$:

    $r=\frac12d$.

    Sehr große Zahlen werden in der wissenschaftlichen Schreibweise aufgeschrieben.

    $1,2\cdot 10^7=12000000$.

    Lösung

    Es soll die Volumenformel verwendet werden.

    Bekannt ist der Durchmesser der Erde. Wenn man diesen durch $2$ dividiert, erhält man den Radius

    $r=6371~km$.

    Dieser kann nun in die Formel eingesetzt werden.

    $\begin{align} V & =\frac43\cdot \pi\cdot (6371~km)^3\\ & \approx1,083\cdot 10^{12}~km^3 \end{align}$.

    Dies ist die wissenschaftliche Schreibweise für eine große Zahl:

    $1,083\cdot 10^{12}=1083000000000$ – das Komma wird um $12$ Stellen nach rechts verschoben.

  • Beschreibe, warum sich beim Verdoppeln des Radius' das Volumen verachtfacht.

    Tipps

    Beachte die Klammern beim Potenzieren eines Produktes.

    Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden einzelnen Faktor potenziert.

    Ersetze in der Volumenformel für den größeren Kreis $r_g$ durch $2\cdot r_k$.

    Die Reihenfolge bei der Multiplikation darf vertauscht werden.

    Lösung

    Das Volumen der kleineren der beiden Kugeln ist gegeben durch

    $V_k=\frac43\cdot \pi\cdot r_k^3$.

    Das Volumen der größeren Kugel ist gegeben durch

    $V_g=\frac43\cdot \pi\cdot r_g^3$.

    Da $r_g=2\cdot r_k$ ist, kann dies in der Formel für $V_g$ eingesetzt werden und man erhält

    $V_g=\frac43\cdot \pi\cdot (2\cdot r_k)^3$.

    Ein Produkt wird potenziert, indem jeder der Faktoren potenziert wird: $(2\cdot r_k)^3=2^3\cdot r_k^3=8\cdot r_k^3$.

    Somit ist

    $V_g=\frac43\cdot \pi\cdot 8\cdot r_k^3$.

    Nun kann die Reihenfolge der Multiplikation vertauscht werden:

    $V_g=8\cdot \frac43\cdot \pi\cdot r_k^3$.

    Der Term hinter dem Faktor $8$ ist gerade das Volumen der kleineren Kugel, also gilt

    $V_g=8\cdot V_k$.

    Dies gilt also immer, wenn man den Radius verdoppelt. Wenn man umgekehrt den Radius halbiert, erhält man ein Achtel des Volumens.

  • Beschreibe, wie oft die kleinere Kugel in die größere passt.

    Tipps

    Das Volumen der kleineren Kugel ist ein Achtel des Volumens der größeren Kugel. Mathematisch ausgedrückt ergibt sich das hier abgebildete Verhältnis.

    $2$ Schokokäfer sind ein Achtel von $16$ Schokokäfern.

    Wie oft passen $2$ Schokokäfer in $16$ Schokokäfer?

    Es ist $8\cdot V_k=V_g$.

    Lösung

    Wenn man das Volumen der kleineren Kugel durch das der größeren dividiert, erhält man $\frac18$.

    Das bedeutet, dass das Volumen der kleineren Kugel ein Achtel des Volumens der größeren Kugel ist. Umgekehrt passt das Volumen der kleineren Kugel $8$-mal in das der größeren Kugeln hinein. Das ist sicher recht überraschend, wenn der Radius der kleineren Kugel gerade die Hälfte von dem der größeren ist.

    Das liegt jedoch daran, wie das Volumen vom Radius abhängt. In der Volumenformel geht der Radius als hoch $3$ ein, damit wird auch die Relation mit hoch $3$ gerechnet. Damit erzeugt jede Verdoppelung des Radius eine Verachtfachung des Volumens:

    • $\left(\frac12\right)^3=\frac18$,
    • $2^3=8$.
  • Ermittle den Radius der Glaskugel.

    Tipps

    Verwende die Volumenformel für Kugeln.

    Beachte, dass das Volumen des Glases auch nach dem Blasen zu einer innen hohlen Glaskugel gleich bleibt.

    Es ist $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$.

    Du erhältst eine quadratische Gleichung:

    $0=r_g^2-1,5r_g-3,1$.

    Eine quadratische Gleichung in Normalform $x^2+px+q=0$ wird mit der p-q-Formel gelöst.

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$

    Lösung

    Bekannt ist der Radius der kleineren roten Kugel. Somit kann deren Volumen berechnet werden.

    $V_r=\frac43\cdot \pi\cdot (2~cm)^3\approx33,5~cm^3$.

    Wenn eine solche Kugel zu einer größeren, innen hohlen Kugel geblasen wird, bleibt dieses Volumen erhalten. Dies ist das Volumen der Wand der großen (grünen) Kugel.

    Der äußere Radius der grünen Kugel $r_g$ ist unbekannt. Wenn man diesen kennt, kennt man auch den inneren Radius $r_i=r_g-0,5~cm$. Das Volumen der Wand der innen hohlen Kugel ist die Differenz von der gesamten (äußeren) grünen und der inneren grauen Kugel. (In den folgenden Rechnungen werden die Maßeinheiten weggelassen.)

    • $V_g=\frac43\cdot \pi\cdot r_g^3$ und
    • $V_i=\frac43\cdot \pi\cdot (r_g-0,5)^3$
    Zunächst kann man $(r_g-0,5)^3$ berechnen:

    $(r_g-0,5)^3=r_g^3-1,5r_g^2+2,25r_g-3,375$.

    Nun kann die Differenz der beiden Volumina berechnet werden:

    $\begin{array}{rclll} V_g-V_i&=&\frac43\cdot \pi\cdot r_g^3-\frac43\cdot \pi\cdot (r_g-0,5)^3\\ &=&\frac43\cdot \pi\cdot\left(r_g^3-(r_g-0,5)^3\right)\\ &=&\frac43\cdot \pi\cdot\left(r_g^3-(r_g^3-1,5r_g^2+2,25r_g-3,375)\right)\\ &=&\frac43\cdot \pi\cdot\left(1,5r_g^2-2,25r_g+3,375\right) \end{array}$

    Nun ist bekannt, dass dieses Volumen ungefähr $33,5$ sein muss.

    $\begin{array}{rclll} 33,5&=&\frac43\cdot \pi\cdot\left(1,5r_g^2-2,25r_g+3,375\right)&|&\cdot \frac34~|~:\pi\\ 8&=&1,5r_g^2-2,25r_g+3,375&|&-8\\ 0&=&1,5r_g^2-2,25r_g-4,625&|&:1,5\\ 0&=&r_g^2-1,5r_g-3,1 \end{array}$

    Dies ist eine quadratische Gleichung in Normalform, welche mit der p-q-Formel gelöst werden kann.

    $\begin{array}{rcl} r_{g_{1,2}}&\approx&-\frac{-1,5}2\pm\sqrt{\left(\frac{-1,5}2\right)^2+3,1}\\ &=&0,75\pm\sqrt{3,6625}\\ r_{g_1}&\approx&0,75+1,9=2,65\\ r_{g_2}&\approx&0,75-1,9=-1,15 \end{array}$

    Da es keine negativen Radien geben kann, ist $r_{g_1}\approx2.65~cm$ der gesuchte Radius.

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