Uneigentliche Integrale – Rechts (Links) ins Unendliche reichende Flächen

Uneigentliche Integrale – Rechts (Links) ins Unendliche reichende Flächen Übung

• Ergänze die Definition eines uneigentlichen Integrals.

  Tipps

  Um ein uneigentliches Integral zu berechnen, wird zunächst ein bestimmtes Integral mit einer variablen oberen oder unteren Grenze definiert.

  Der Wert des bestimmten Integrals hängt von dieser variablen Grenze ab.

  Bei dem Wert des bestimmten Integrals, der von einer variablen Grenze abhängt, wird der Grenzwert gebildet. Dabei lässt man die variable Grenze gegen plus oder minus Unendlich gehen.

  Lösung

  Ein uneigentliches Integral entspricht einem Flächenstück, welches nach rechts oder links (oder gegebenenfalls auch nach beiden Seiten) unbegrenzt ist. Es stellt sich nun die Frage, ob dieses Flächenstück einen endlichen Grenzwert hat.

  Ist dies der Fall, spricht man von einem uneigentlichen Intervall. Dieses ist wie folgt definiert:

  • Rechtsseitig unendlich: Eine Funktion $f$ sei auf dem Intervall $[a;\infty)$ stetig. Wenn der Grenzwert $\lim\limits_{b\to\infty}\int\limits_a^b~f(x)~dx$ existiert, dann heißt $\int\limits_a^{\infty}~f(x)~dx$ das uneigentliche Integral von $f$ über $[a;\infty)$.
  • Linksseitig unendlich: Eine Funktion $f$ sei auf dem Intervall $(-\infty;b]$ stetig. Wenn der Grenzwert $\lim\limits_{a\to-\infty}\int\limits_a^b~f(x)~dx$ existiert, dann heißt $\int\limits_{-\infty}^b~f(x)~dx$ das uneigentliche Integral von $f$ über $(-\infty;b]$.

• Bestimme das uneigentliche Integral der Funktion $f(x)=\frac2{x^3}$ über dem Intervall $[1;\infty)$.

  Tipps

  Berechne erst einmal ein bestimmtes Integral.

  Verwende hierfür den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

  Eine Stammfunktion kannst du mithilfe der Potenzregel bestimmen.

  Lasse in dem bestimmten Integral $\int\limits_1^b~f(x)~dx$ den Parameter $b$ gegen unendlich gehen.

  Der Grenzwert des bestimmten Integrals existiert.

  Lösung

  Es soll das uneigentliche Integral $\int\limits_1^{\infty}~\frac2{x^3}~dx$ berechnet werden. Hierfür wird zunächst das bestimmte Integral $\int\limits_1^{b}~\frac2{x^3}~dx$ definiert.

  Erst einmal benötigt man eine Stammfunktion von $f(x)=\frac2{x^3}$. Diese kann mithilfe der Potenzregel ermittelt werden: $f(x)=2x^{-3}$. Also ist $F(x)=\frac2{-2}x^{-2}=-x^{-2}=-\frac1{x^2}$ eine Stammfunktion zu $f(x)$. Nun wird der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verwendet:

  $\int\limits_1^b~\frac2{x^3}~dx=\left[-\frac1{x^2}\right]_1^b=-\frac1{b^2}-(-1)$

  Es muss also der Grenzwert $\lim\limits_{b\to\infty}\left(-\frac1{b^2}+1\right)$ berechnet werden.

  Es ist $\lim\limits_{b\to\infty}\left(-\frac1{b^2}+1\right)=0+1=1$

  Damit existiert das uneigentliche Integral $\int\limits_1^{\infty}~\frac2{x^3}~dx=1$

• Prüfe, ob das uneigentliche Integral für die Funktion $f(x)=\frac1{x^2}$ auf dem Intervall $(-\infty; -0,5]$ existiert.

  Tipps

  In dieser Aufgabe wird ein uneigentliches Integral berechnet.

  Dies wird durch einen Grenzwert bestimmt.

  Berechne zunächst das bestimmte Integral mit variabler unterer Grenze $a$ und lass diese dann gegen $-\infty$ gehen.

  Lösung

  Es soll das abgebildete uneigentliche Integral berechnet werden.

  Hierzu wird zunächst das bestimmte Integral

  $\int\limits_{a}^{-0,5}~\frac1{x^2}~dx$

  berechnet und der Grenzwert $\lim\limits_{a\to -\infty}$ bestimmt.

  Eine Stammfunktion von $f(x)=\frac1{x^2}$ ist gegeben durch $F(x)=-\frac1x$. Dies kann zum Beispiel durch Differenzieren nachgewiesen werden. Das bestimmte Integral kann nun mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung bestimmt werden:

  $\int\limits_{a}^{-0,5}~\frac1{x^2}~dx=\left[-\frac1x\right]_a^{-0,5}=-\frac1{-0,5}-\left(-\frac1a\right)=2+\frac1a$

  Wenn nun $a\to -\infty$ betrachtet wird, geht der hintere Term gegen $0$.

  Damit gilt $\int\limits_{-\infty}^{-0,5}~\frac1{x^2}~dx=2$.

• Ermittle die untere Integrationsgrenze $a$, damit das uneigentliche Integral $\int\limits_{a}^{\infty}~\frac6{x^4}~dx$ den Wert $2$ annimmt.

  Tipps

  Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

  $\int\limits_a^b~f(x)~dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$.

  Beachte dabei die Reihenfolge der Differenzbildung.

  Beachte, dass du eine Gleichung erhältst, welche nach der unteren Grenze aufgelöst wird.

  Es wird der Grenzwert für die obere Grenze gegen $\infty$ bestimmt.

  Die Stammfunktion von $f(x)$ ist hier zu sehen.

  Nun wird das bestimmte Integral berechnet:

  $\int\limits_a^b~\frac6{x^4}~dx=-\frac{2}{b^3}+\frac{2}{a^3}$

  Lösung

  Zunächst wird eine Stammfunktion von $f(x)=\frac6{x^4}$ bestimmt: Hierzu wird die Potenzregel der Integration verwendet. Eine Stammfunktion ist gegeben durch $F(x)=-\frac2{x^3}$.

  Dann wird das bestimmte Integral mit variabler oberer Grenze $b$ bestimmt:

  $\int\limits_{a}^{b}~\frac6{x^4}~dx=\left[-\frac2{x^3}\right]_a^b=-\frac2{b^3}+\frac2{a^3}$.

  Durch Grenzwertbildung $\lim\limits_{b\to\infty}$ erhält man

  $\quad~~~\int\limits_{a}^{\infty}~\frac6{x^4}~dx=\lim\limits_{b\to\infty}\int\limits_{a}^{b}~\frac6{x^4}~dx=\lim\limits_{b\to\infty}\left(-\frac2{b^3}+\frac2{a^3}\right)=\frac2{a^3}$.

  Letztlich muss noch die Gleichung $\frac2{a^3}=2$ gelöst werden:

  $\begin{array}{rclll} \frac2{a^3}&=&~2&|&\cdot ~a^3\\ 2&=&~2a^3&|&:2\\ 1&=&~a^3&|&\sqrt[3](~~)\\ 1&=&~a \end{array}$

  Dies ist die gesuchte untere Integrationsgrenze.

• Bestimme die Eigenschaften der Funktion $f(x)= \frac{1}{x^2}$.

  Tipps

  Die Potenzregel zur Bestimmung einer Stammfunktion ist hier abgebildet.

  Überprüfe die Stammfunktion durch Ableiten.

  Es gilt allgemein $x^{-n}=\frac1{x^n}$.

  Lösung

  Uneigentliche Integrale werden als Grenzwerte von bestimmten Integralen bestimmt. Hierfür verwendet man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Dieser ist hier abgebildet.

  Das bedeutet, man benötigt eine Stammfunktion $F(x)$ von $f(x)$. Es gilt $F'(x)=f(x)$.

  Bei der Funktion $f(x)=\frac1{x^2}$ kann man die Potenzregel der Integration verwenden. Zunächst schreibt man $f(x)$ als Potenz in $x$:

  $f(x)=x^{-2}$.

  Jetzt kann eine Stammfunktion berechnet werden:

  $F(x)=\frac1{-2+1}x^{-2+1}=-x^{-1}=-\frac1x$.

• Berechne das jeweilige uneigentliche Intervall.

  Tipps

  Ermittle jeweils zunächst eine Stammfunktion und berechne damit das bestimmte Integral mit variabler unterer (oder oberer) Grenze.

  Bestimme dann den Grenzwert des bestimmten Integrals für

  • die untere Grenze, die gegen $-\infty$ geht, oder
  • die obere Grenze, die gegen $\infty$ geht.

  Eine Stammfunktion von $\frac3{x^4}$ ist gegeben durch $-\frac1{x^3}$.

  Lösung

  Schauen wir uns die verschiedenen Integrale genauer an:

  • Für $\int\limits_{3}^{\infty}~\frac1{x^2}~dx$ berechnen wir zuerst die Stammfunktion von $\frac1{x^2}$. Diese ist gegeben durch $-\frac1x$. Nun wird das bestimmte Integral mit variabler oberer Grenze $b$ bestimmt: $\int\limits_{3}^{b}~\frac1{x^2}~dx=\left[-\frac1x\right]_3^b=-\frac1b+\frac13$. Durch Grenzwertbildung erhält man $\int\limits_{3}^{\infty}~\frac1{x^2}~dx=\lim\limits_{b\to\infty}\int\limits_{3}^{b}~\frac1{x^2}~dx=\lim\limits_{b\to\infty}\left(-\frac1b+\frac13\right)=\frac13$.
  • Für $\int\limits_{3}^{\infty}~\frac3{x^4}~dx$ ermitteln wir die Stammfunktion von $\frac3{x^4}$; diese ist $-\frac1{x^3}$. Nun wird das bestimmte Integral mit variabler oberer Grenze $b$ bestimmt: $\int\limits_{3}^{b}~\frac3{x^4}~dx=\left[-\frac1{x^3}\right]_3^b=-\frac1{b^3}+\frac1{3^3}$. Durch Grenzwertbildung erhält man $\int\limits_{3}^{\infty}~\frac3{x^4}~dx=\lim\limits_{b\to\infty}\int\limits_{3}^{b}~\frac3{x^4}~dx=\lim\limits_{b\to\infty}\left( \frac1{b^3} +\frac1{3^3}\right)= \frac1{27}$.
  • Für $\int\limits_{-\infty}^{-1}~\left(-\frac2{x^3}\right)~dx$ bestimmen wir die Stammfunktion von $-\frac2{x^3}$. Diese ist durch $\frac1{x^2}$ gegeben. Nun wird das bestimmte Integral mit variabler unterer Grenze $a$ bestimmt: $\int\limits_{a}^{-1}~\left(-\frac2{x^3}\right)~dx=\left[\frac1{x^2}\right]_a^{-1}=1-\frac1{a^2}$. Durch Grenzwertbildung erhält man $\int\limits_{-\infty}^{-1}~\frac3{x^4}~dx=\lim\limits_{a\to-\infty}\int\limits_{a}^{-1}~\left(-\frac2{x^2}\right)~dx=\lim\limits_{a\to-\infty}\left(1-\frac1{a^2}\right)=1$.
  • Für $\int\limits_{-\infty}^{-0,5}~\frac6{x^4}~dx$ wird die Stammfunktion von $\frac6{x^4}$ gesucht. Diese ist gegeben durch $-\frac2{x^3}$. Nun wird das bestimmte Integral mit variabler unterer Grenze $a$ bestimmt: $\int\limits_{a}^{-0,5}~\frac6{x^4}~dx=\left[-\frac2{x^3}\right]_a^{-0,5}=16+\frac2{a^3}$. Durch Grenzwertbildung erhält man $\int\limits_{-\infty}^{-0,5}~\frac6{x^4}~dx=\lim\limits_{a\to-\infty}\int\limits_{a}^{-1}~\frac6{x^4}~dx=\lim\limits_{a\to-\infty}\left(16+\frac2{a^3}\right)=16$.