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Uneigentliche Integrale – Oben (Unten) ins Unendlich reichende Flächen

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Die Autor*innen
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Annejahn089
Uneigentliche Integrale – Oben (Unten) ins Unendlich reichende Flächen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Uneigentliche Integrale – Oben (Unten) ins Unendlich reichende Flächen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Uneigentliche Integrale – Oben (Unten) ins Unendlich reichende Flächen kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zur Berechnung des uneigentlichen Integrals $\int\limits_0^1~\left(\frac3{\sqrt x}\right)~dx$.

    Tipps

    Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=F(b)-F(a)$,

    wobei $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist, also $F'(x)=f(x)$.

    Verwende für die Bestimmung einer Stammfunktion von $f(x)$

    $\frac 3{\sqrt x}=3~x^{-\frac12}$

    sowie die Potenzregel der Integration

    $\int~x^r~dx=\frac1{r+1}x^{r+1}+c$

    für $r\neq -1$.

    Du darfst verwenden, dass

    $\lim\limits_{x\to 0}~\sqrt x=0$

    ist.

    Lösung

    Es soll dieses uneigentliche Integral berechnet werden. Warum spricht man denn von einem uneigentlichen Integral? Die Funktion

    $f(x)=\frac3{\sqrt x}$

    ist am linken Rand des Intervalls $I=(0;1]$, also für $a=0$ nicht definiert. Existiert trotzdem ein (endlicher) Flächeninhalt, welcher von dem Graphen der Funktion $f(x)$ sowie der x-Achse über dem Intervall $I$ eingeschlossen wird?

    Um dies zu untersuchen, wird das folgende bestimmte Integral berechnet

    $\int\limits_z^1~f(x)~dx$,

    und dann untersucht, ob für dieses Integral der Grenzwert $\lim\limits_{z\to 0}$ existiert.

    Für das bestimmte Integral benötigt man eine Stammfunktion von $f(x)$. Diese kann so berechnet werden:

    $\int~\left(\frac3{\sqrt x}\right)~dx=3\int~x^{-\frac12}~dx=\left[ 3\cdot \frac1{\frac12}x^{\frac12} \right] = \left[ 6\sqrt x \right]$.

    Mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung kann nun das bestimmte Integral berechnet werden:

    $\int\limits_z^1~\left(\frac3{\sqrt x}\right)~dx=[6\sqrt x]_z^1=6\sqrt 1-6\sqrt z=6-6\sqrt z$.

    Zuletzt kann der Grenzwert für $z$ gegen $0$ berechnet werden:

    $\lim\limits_{z\to 0}~\int\limits_z^1~\left(\frac3{\sqrt x}\right)~dx=\lim\limits_{z\to 0}(6-6\sqrt z)=6-0=6$.

    Zusammenfassend ist das uneigentliche Integral

    $\int\limits_0^1~\left(\frac3{\sqrt x}\right)~dx=6$.

  • Berechne das uneigentliche Integral für die gegebene Funktion.

    Tipps

    Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)$.

    Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

    Es ist

    $\int\limits_z^1$~$\left(-\frac1{\sqrt x}+x\right)~dx=\left[-2\sqrt x+\frac12x^2\right]_z^1$.

    Beachte:

    • Bei einem bestimmten Integral kann durchaus ein negativer Wert herauskommen.
    • Eine Fläche ist jedoch immer positiv.
    Lösung

    Von dieser Funktion soll das uneigentliche Integral über dem Intervall $I=(0;1]$ berechnet werden.

    Dabei geht man wie folgt vor:

    • Man berechnet das bestimmte Integral mit einer variablen unteren Grenze $z>0$.
    • Für den so erhaltenen Wert des bestimmten Integrals ermittelt man den Grenzwert für $z$ gegen $0$.
    Zur Berechnung des bestimmten Integrals verwendet man den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Also benötigt man eine Stammfunktion $F(x)$ von $f(x)$:

    $\int~\left(-\frac1{\sqrt x}+x\right)~dx=\int~(-x^{-\frac12}+x)~dx=- \frac1{\frac12}x^{\frac12}+\frac12x^2=-2\sqrt x+\frac12x^2$.

    Damit ist

    $\int\limits_z^1~\left(-\frac1{\sqrt x}+x\right)~dx=\left[-2\sqrt x+\frac12x^2\right]_z^1=-2\sqrt 1+\frac12^2-\left(-2\sqrt z+\frac12z^2\right)=-1,5-\left(-2\sqrt z+\frac12z^2\right)$.

    Nun kann der Grenzwert für $z$ gegen $0$ berechnet werden:

    $\lim\limits_{z\to 0}~\int\limits_z^1~\left(-\frac1{\sqrt x}+x\right)~dx=\lim\limits_{z\to 0}\left(-1,5-\left(-2\sqrt z+\frac12z^2\right)\right)=-1,5-0=-1,5$.

    Dieser Wert ist negativ, weil das Flächenstück unterhalb der x-Achse liegt.

    Zusammenfassend ist das uneigentliche Integral

    $\int\limits_0^1~\left(-\frac1{\sqrt x}+x\right)~dx=-1,5$.

    Als Flächeninhalt erhält man somit $1,5$ [FE].

  • Bestimme eine Stammfunktion der Funktion $f(x)=x+\frac2{\sqrt x}$.

    Tipps

    Schreibe den Term mit der Wurzel als Potenz und verwende die Potenzregel der Integration:

    $\int~x^r~dx=\frac1{r+1}x^{r+1}+c$

    für $r\neq -1$.

    Für die Stammfunktion $F(x)$ gilt

    $F'(x)=f(x)$.

    Lösung

    Um das uneigentliche Integral dieser Funktion über einem vorgegebenen Intervall zu bestimmen, muss man

    • ein bestimmtes Integral mit einer variablen Grenze berechnen und
    • dann den Grenzwert dieses bestimmten Integrals bestimmen.
    Das bedeutet, man muss zunächst ein bestimmtes Integral berechnen. Hierfür benötigt man eine Stammfunktion $F(x)$ der Funktion $f(x)$.

    Zuerst schreibt man $f(x)$ um:

    $f(x)=x+\frac2{\sqrt x}=x+2x^{-\frac12}$.

    Nun kann eine Stammfunktion mit Hilfe der Potenzregel der Integration

    $\int~x^r~dx=\frac1{r+1}x^{r+1}+c$ für $r\neq -1$

    bestimmt werden:

    $\int~f(x)~dx=\int~\left(x+2x^{-\frac12}\right)~dx=\frac12x^2+2 \frac1{\frac12}x^{\frac12}=\frac12x^2+4\sqrt x$.

    Diese Stammfunktion kann zur Probe wieder abgeleitet werden. Es muss $f(x)$ herauskommen.

  • Leite den Wert für das uneigentliche Integral her.

    Tipps

    Berechne zunächst das bestimmte Integral

    $\int\limits_z^4~\left(x+\frac2{\sqrt x}\right)~dx$.

    Verwende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)$.

    Dabei ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$.

    Es ist

    $\int\limits_z^4~\left(x+\frac2{\sqrt x}\right)~dx=16-\left(\frac12z^2+4\sqrt z\right)$.

    Lasse bei dem bestimmten Integral mit der variablen unteren Grenze $z$ diese gegen $0$ gehen.

    Lösung

    Um dieses uneigentliche Integral zu bestimmen, muss man

    • ein bestimmtes Integral mit einer variablen unteren Grenze $z$ berechnen und
    • dann den Grenzwert dieses bestimmten Integrals für $z$ gegen $0$ bestimmen.
    Das bedeutet, man muss zunächst ein bestimmtes Integral berechnen. Hierfür benötigt man eine Stammfunktion von $f(x)$:

    $F(x)=\frac12x^2+4\sqrt x$.

    Nun kann der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung angewendet werden:

    $\int\limits_z^4~\left(x+\frac2{\sqrt x}\right)~dx=\left[\frac12x^2+4\sqrt x\right]_z^4=\frac124^2+4\sqrt 4-\left(\frac12z^2+4\sqrt z\right)=16-\left(\frac12z^2+4\sqrt z\right)$.

    Von diesem Ergebnis wird der Grenzwert für $z$ gegen $0$ berechnet

    $\lim\limits_{z\to 0}\left(16-\left(\frac12z^2+4\sqrt z\right)\right)=16-0=16$.

    Das uneigentliche Integral, also der Flächeninhalt, beträgt somit $16$ [FE].

  • Beschreibe, was ein uneigentliches Integral ist, indem du den Satz vervollständigst.

    Tipps

    Beachte: Wenn oberer und unterer Grenzwert bei der Integration übereinstimmen, hat das Integral den Wert $0$.

    Es ist nur eine Definition richtig.

    Lösung

    Für eine auf dem Intervall $I=(a;b]$ stetige Funktion $f(x)$ ist das uneigentliche Intervall am linken Intervallrand wie folgt definiert:

    Wenn der Grenzwert

    $\lim\limits_{z\to a}~\int\limits_z^b~f(x)~dx$

    existiert, dann heißt dieser Grenzwert

    $\int\limits_a^b~f(x)~dx$

    das uneigentliche Integral von $f(x)$ über dem Intervall $I$.

  • Berechne für verschiedene Werte $a$ das uneigentliche Integral der Funktion $f(x)=3+\frac1{\sqrt x} $ über dem Intervall $I=(0;a]$.

    Tipps

    Berechne erst einmal das bestimmte Integral

    $\int\limits_z^a~\left(3+\frac1{\sqrt x} \right)~dx$.

    Eine Stammfunktion von $f(x)$ ist gegeben durch $F(X)=3x+2\sqrt x$.

    Je größer $a$, desto größer auch der Flächeninhalt.

    Lösung

    Das uneigentliche Integral über dem Intervall $I=(0;a]$ soll für diese Funktion berechnet werden.

    Zunächst wird das bestimmte Integral

    $\begin{align} \int\limits_z^a~\left(3+\frac1{\sqrt x} \right)~dx & =\left[3x+2\sqrt x\right]_z^a\\ & =3a+2\sqrt a-(3z+2\sqrt z) \end{align}$

    berechnet.

    Von diesem bestimmten Integral wird der Grenzwert für $z$ gegen $0$ berechnet:

    $\lim\limits_{z\to 0}~\int\limits_z^a~\left(3+\frac1{\sqrt x}\right)~dx=\lim\limits_{z\to 0}\left(3a+2\sqrt a-(3z+2\sqrt z)\right)=3a+2\sqrt a$.

    Nun können in diese Formel verschiedene Werte für $a$ eingesetzt werden:

    • $a=1$ führt zu dem Flächeninhalt $A_1=3\cdot 1+2\sqrt 1=3+2=5$
    • $a=4$ führt zu dem Flächeninhalt $A_4=3\cdot 4+2\sqrt 4=12+4=16$
    • $a=6$ führt zu dem Flächeninhalt $A_6=3\cdot 6+2\sqrt 6\approx 18+4,9= 22,9$
    • $a=9$ führt zu dem Flächeninhalt $A_9=3\cdot 9+2\sqrt 9=27+6=33$
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