Termumformungen – Grundregeln 14:34 min

Hallo! Du kennst positive und negative Zahlen. Du kennst auch rationale Zahlen. Das sind Brüche oder auch Dezimalzahlen, wie man sagt. Kommazahlen kann man auch sagen. Du kannst mit diesen Zahlen rechnen, also die Grundrechenarten ausführen: +, -, × und ÷. Oder wie man auch gebildet sagen kann: addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Diese Rechnungen kannst du aufschreiben.Wenn du so etwas aufschreibst, ist das ein Term, denn das kann man dann ausrechnen, wenn du das richtig aufgeschrieben hast. Das kannst du in beliebiger Länge aufschreiben. Terme können sehr lang sein. Und deshalb, damit man da nicht den Überblick verliert, gibt es Regeln, nach denen Terme aufgestellt werden und nach denen Terme ausgerechnet werden. Und diese Regeln möchte ich jetzt hier einfach mal zeigen. Es geht los mit: Zuerst werden Klammern ausgerechnet. Ich hoffe, das ist nichts Neues. Deshalb sind Klammern da, damit sie die Reihenfolge der Rechnung angeben. Wenn du mehrere Klammern vorfindest, dann rechnest du von innen nach außen. Das heißt, die innere Klammer wird zuerst ausgerechnet. Dann werden nach und nach die äußeren Klammern ausgerechnet. Es gilt, wenn da keine Klammern stehen, Punkt- vor Strichrechnung. Also so etwas wie 3-2×7 rechnest du so aus, dass du erst 2×7 ausrechnest und dann das Ergebnis von 3 abziehst. Das ist nichts Neues, denke ich, brauche ich nicht weiter vormachen. Wenn nichts weiter gesagt wird, rechnest du einfach von links nach rechts. Die meisten Leute bei uns in Deutschland schreiben ja auch von links nach rechts. Und deshalb hat man gesagt, okay, dann rechnen wir auch von links nach rechts, wenn nichts weiter da steht. Dann gibt es ein Gesetz, und zwar das Kommutativgesetz der Addition. Und es gibt auch das Assoziativgesetz der Addition. Da muss ich aufpassen, dass mir hier nicht ganze Gesetze herunterfallen. Hier ist das Assoziativgesetz der Addition. So, das muss hier noch warten eben. Ja, das ist auch nichts Neues. Diese beiden Gesetze, also das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz, stellen sicher, dass du mehrere Summanden vertauschen kannst. Also nicht nur vertauschen, sondern dass du sie in einer beliebigen Reihenfolge hinschreiben kannst und das Ergebnis immer gleich bleibt. Den Beweis zeige ich jetzt hier nicht, das ist ein bisschen formal. Auf jeden Fall ist es richtig, dass du auch mehrere Summanden, also mehr als 2 oder 3 oder 4 oder 5, dass du die einfach in irgendeine andere Reihenfolge bringen kannst und so zum Beispiel sehr vorteilhaft dann ausrechnen kannst. Das Gleiche gilt für das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz der Multiplikation. Wenn du viele Faktoren hast, kannst du diese ganzen Faktoren auch in eine andere Reihenfolge bringen und so vielleicht praktischer das Ergebnis bestimmen eines solchen Terms, der viele Faktoren hat. Hier sind also das Kommutativgesetz der Multiplikation und das Assoziativgesetz der Multiplikation. Ja und dann fehlt natürlich noch unser König, und zwar das Distributivgesetz. Meistens wird es so aufgeschrieben oder ich weiß nicht, ist auch egal. Ich schreibe es jetzt so auf: a×(b+c)=a×b+a×c. Wie du ja weißt, kann man das auch umdrehen, auch so herum, so herum, was weiß ich. Weil das so ist, deshalb habe ich das hier auf so einer Formelschablone stehen. Denn wenn man es umdreht, kann man die Buchstaben wieder anders herum aufschreiben und das Prinzip bleibt erhalten. Kurze Anmerkung zur Bezeichnung: Der Schritt von hier nach da, der heißt Ausmultiplizieren, weil man die Klammer hier quasi ausmultipliziert. Man rechnet a × 1. Summand + a × 2. Summand. Das hat man hier gemacht. Der Schritt von hier nach da heißt Ausklammern. Auch so kann man das ja anwenden. Wenn ich das jetzt so hinlege, dann ist das, was hier herauskommt auch gleich das, was hier herauskommt. Und da kenne ich das schon, dass viele Schüler sagen: Ja, wieso? Es werden doch b und c eingeklammert. Dann müsste der Schritt doch eigentlich Einklammern heißen. Ja, ist richtig, kann man so sehen. Aber das a steht jetzt vor der Klammer, und deshalb ist das a ausgeklammert worden. Naja, du siehst, man musste sich auf eine Sache einigen. Und man hat sich darauf geeinigt, der Schritt von hier nach da heißt Ausklammern und nicht Einklammern. Und ich denke, damit kann man auch leben, das ist auch nicht so schlimm. Ja, dann gibt es 1 bis 2 Dinge noch zu beachten, die mit Minuszeichen zu tun haben und mit Geteiltzeichen. Zum Beispiel könnte man sich ja fragen, ob denn das Kommutativgesetz der Addition auch gilt, wenn da zum Beispiel steht: 3-7. Und die Antwort ist: Nein, dann gilt es nicht. Aber man hat ja irgendwie das Gefühl, auch da kann man ja etwas vertauschen. Und das geht dann, wenn man das Subtrahieren auffasst als das Addieren einer negativen Zahl. Ja, das weißt du, dass das geht. Statt 7 abzuziehen, kann man auch einfach sagen, ich addiere die negative Zahl -7. Und auf diesen Term hier kannst du das Kommutativgesetz anwenden. Dann steht da (-7)+3. Und da lässt man in der Regel die Klammer hier vorne weg, also einfach: -7+3. Jeweils kommt das Ergebnis -4 heraus. Die Frage, die sich hier natürlich anschließt, ist dann: Was ist mit dem Kommutativgesetz der Multiplikation? Kann man da auch vielleicht etwas teilen? 6÷3, naja das ist =2. Die Frage ist, kann man das vertauschen? 3÷6 ist nicht das Gleiche, das ist nicht 2. Aber man kann auch hier das Kommutativgesetz anwenden. Und zwar, wenn man bedenkt, dass das Teilen durch 3 das Gleiche ist, wie das Multiplizieren mit 1/3, also mit der multiplikativen Gegenzahl, so sagt man das auch. 6÷3 ist das Gleiche wie 6×1/3. Und hier kann man nun die beiden Faktoren vertauschen. 1/3×6, das ist auch =2. Und dann gilt hier also auch das Kommutativgesetz der Multiplikation. Eine Möglichkeit, Minuszeichen hier im Distributivgesetz zu verwenden, gibt es auch. Ich kann das hier mal ersetzen durch konkrete Zahlen. Ich nehme mal eine 2 und 1, warum nicht, - 5. Dann muss ich das hier auch ersetzen jeweils. Hier eine 2, eine 1, Minuszeichen steht schon da, hier wieder eine 2 auf Grün und eine 5 auf Lila oder Pink ist ja egal. So. Gilt jetzt auch das Distributivgesetz hier mit dem Minuszeichen? Ja, es gilt. Aber meistens wird das Distributivgesetz nicht mit so einem Minuszeichen geschrieben, sondern mit einem Pluszeichen. Und dann ist die Frage: Wie kann man es trotzdem dann auf negative Zahlen anwenden, die dann vielleicht dahinter kommen? Das geht so, indem man auch das Pluszeichen hinschreibt und hier dann die negative Zahl -5 addiert. Dann muss ich das hier auch machen. Hier steht dann ein Pluszeichen, und hier hinten steht die negative Zahl -5. In beiden Fällen kommt dann auch hier das gleiche Ergebnis heraus. Und damit kann man auch das Distributivgesetz auf negative Zahlen anwenden. Das geht natürlich nicht nur hier mit der negativen Zahl, das geht auch hier auf der 1 oder auf Gelb oder auf Grün. Jeweils müsste man dann auch Klammern darum setzen, damit man hier auch zum Beispiel vernünftig multiplizieren kann. Dann ist noch eine Sache zu erwähnen, die oft Schwierigkeiten bereitet. Und zwar sind das die, wie man so sagt, Minusklammern. Da habe ich auch mal ein Beispiel vorbereitet: 16-(7-3). Und hier passiert das häufig, dass eben nicht beachtet wird, dass man hier erst die Klammern ausrechnen muss und danach alle weiteren Rechnungen ausführt. Also man muss ja erst 7-3 rechnen und das Ergebnis davon von 16 abziehen. Man kann hier auch die Klammer auflösen. Und zwar, indem man sich vorstellt, dass vor der Zahl 7 noch ein Pluszeichen steht. Dann könnte da also stehen: 16-(+7-3). Ja, warum macht man das so umständlich? Weil dann eine Regel gilt. Die Regel besagt nämlich, du kannst eine Klammer, vor der ein Minuszeichen steht, auflösen, indem du die Klammer und das Minuszeichen davor weglässt und alle Vorzeichen der Summanden in der Klammer änderst. Das mache ich noch mal langsam vor. Also die Vorzeichen der Summanden in der Klammer müssen geändert werden. Hier steht also +7, dann muss ich hier -7 hinschreiben. Hier steht -3, dann muss ich +3 hinschreiben. Ja, die Vorzeichen werden ausgetauscht. Und jetzt kann ich die Klammer und das Minuszeichen vor der Klammer weglassen. Dann kommt hier also nur noch die 16 hin. Und dann habe ich die Klammer aufgelöst. Und das Ergebnis ist auch wieder das gleiche. Wir können es ja eben nachrechnen. Hier steht also 7-3, das ist ja =4. 16-4=12. Und ich kann es hier auch noch einmal nachrechnen. 16-7, wir rechnen ja jetzt, weil da nichts weiter steht, von links nach rechts. 16-7=9. 9+3=12. Also hier gibt es auch das richtige Ergebnis. Ja, das soweit zu den Termen mit den Zahlen. Ich hoffe, es war nicht zu durcheinander. Aber das war auch nur die kurze Zusammenfassung. Du solltest die ganzen Gesetze auch mittlerweile dann einfach im Kopf haben. Dann wünsche ich noch viel Spaß beim Rechnen. Bis bald, tschüss!