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Teilermenge, Vielfache und Vielfachmenge 06:44 min

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Transkript Teilermenge, Vielfache und Vielfachmenge

Hallo, da bin ich wieder, eure Sabine Blumenthal. Du siehst dir hier die Fortsetzung des ersten Videos zum Thema „Teilbarkeit natürlicher Zahlen“ an. In diesem Video erkläre ich dir die Begriffe „Teilermenge“ sowie „Vielfache“ und „Vielfachenmenge“. Damit du alles gut verstehst, solltest du die Rechenregeln der Multiplikation und Division mit natürlichen Zahlen kennen. Außerdem wäre es sehr hilfreich, wenn du Kommutativgesetz und Assoziativgesetz der Multiplikation mit natürlichen Zahlen kennst. Was ist nun eine Teilermenge? Nun, das ist die Menge aller Teiler einer Zahl. Um die Teilermenge zu ermitteln, muss man natürlich die einzelnen Teiler einer Zahl kennen. Am Beispiel der Zahl 24 schauen wir mal, ob das möglich ist. Um alle Teiler der Zahl zu finden, musst du alle Produkte aus zwei Faktoren bilden, die hier in unserem Beispiel das Ergebnis 24 haben. Für die Zahl 24 heißen diese Produkte: 1•24, 2•12, 3•8, 4•6, 6•4, 8•3,12•2 und 24•1. Die Produkte, bei denen der erste Faktor größer als der zweite ist, die ich hier also eingeklammert habe, sind Tauschaufgaben. Es gibt hier keine neuen Faktoren. Und nun wieder eine Mathevokabel. Das große T mit der kleinen 24 unten bedeutet: Teilermenge der Zahl 24. Die Teiler werden dann in eine geschweifte Klammer geschrieben, und zwar geordnet, also mit dem kleinsten Teiler beginnend. Dazu gehst du einfach die Faktoren deiner Produkte durch. Links nach unten, 1, 2, 3, 4 und rechts wieder nach oben, also 6, 8, 12 und 24. Noch ein Beispiel: Wie sieht die Teilermenge der 15 aus? Wir bilden wieder Produkte aus zwei Faktoren, also 1•15, 3•5, 5•3, oh, halt, hier ist der erste Faktor größer als der zweite. Also brauchen wir nicht weitermachen. Wir benutzen die Mathevokabel T15 für die „Teilermenge der Zahl 15“ und notieren die ermittelten Teiler: 1, 3, 5 und 15. Und als letztes Beispiel die 36. Wieder das übliche Verfahren, Produkte aus zwei Faktoren bilden. Bei 36 sind das also 1•36, 2•18, 3•12, 4•9 und 6•6. Wir notieren die ermittelten Teiler in der geschweiften Klammer und haben damit die Teilermenge der Zahl 36 ermittelt. Der Begriff „Teiler“ hängt sehr eng mit dem Begriff „Vielfaches“ zusammen. Jede Zahl hat unendlich viele Vielfache. Du erhältst die Vielfachen einer Zahl, wenn du die Zahl der Reihe nach mit den natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4 und so weiter multiplizierst. So kannst du zum Beispiel die Vielfachen der Zahl 3 ermitteln, indem du die 3 der Reihe nach mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und so weiter errechnest. Bei großen Zahlen geht das natürlich auch. Zum Beispiel 3•120, das ergibt dann 360. Und immer so weiter. Da die natürlichen Zahlen unendlich sind, gibt es auch unendlich viele Vielfache. Die Vielfachenmenge ist die Menge aller Vielfachen einer Zahl. Da die unendlich ist, kann man natürlich niemals alle Vielfachen einer Zahl aufschreiben. Auch für die Vielfachenmenge gibt es eine Mathevokabel. In diesem Fall ein großes V. An dieses große V wird eine kleine Zahl geschrieben, die uns sagt, für welche Zahl wir die Vielfachenmenge gebildet haben. In unserem Beispiel schreiben wir also V3 und dann die Vielfachen der Zahl 3 in eine geschweifte Klammer. Weil, wie gesagt, ja nicht alle Vielfachen aufgeschrieben werden können, braucht man nur die ersten drei oder vier aufschreiben und macht dann die drei Punkte als Zeichen dafür, dass es bis ins Unendliche weitergeht. Welcher Zusammenhang besteht nun zwischen Teiler und Vielfachen? Das kann man mathematisch ganz allgemein wieder mit Variablen ausdrücken. Ist eine natürliche Zahl a Teiler einer natürlichen Zahl b, dann ist b auch ein Vielfaches von a. Damit du diesen Satz besser verstehen kannst, auch hier ein Beispiel: Also, 5 ist ein Teiler von 30 und 30 ist ein Vielfaches von 5, denn 5•6=30. Schauen wir uns in der Zusammenfassung nun noch einmal kurz an, was du heute gelernt hast. Du kennst nun die Begriffe „Teilermenge“ sowie „Vielfaches“ und „Vielfachenmenge“ und kannst diese Begriffe an einfachen Beispielen selbst erklären. Und, hast du alles gut verstanden? Prima, dann Tschüss, bis zum nächsten Mal.

34 Kommentare
  1. ,,tschüss" hinten mit doppel s
    rechtschreibung lernen ist angesagt

    Von Shiyuzhou08, vor etwa 2 Monaten
  2. Es hat sehr geschallt aber alles andere war super 😊

    Von Sara B., vor 2 Monaten
  3. gutes video aber man versteht es nicht so gut

    Von Leni Fortnite, vor 2 Monaten
  4. Sehr hilfreich

    Von Sakis194, vor 2 Monaten
  5. fand das video gut aber hat mir leider nicht viel gebracht

    Von Bilja Pe, vor 9 Monaten
  1. Geil;)

    Von Rainer Finger, vor 9 Monaten
  2. trotzdem super video

    Von Ryan A., vor 9 Monaten
  3. habe blöden pc

    Von Ryan A., vor 9 Monaten
  4. gute videos

    Von S Gahm, vor 9 Monaten
  5. Hat mir gut geholfen

    Von Yorrick H., vor 10 Monaten
  6. stimmt haha

    Von Simone V., vor etwa einem Jahr
  7. l

    Von Simone V., vor etwa einem Jahr
  8. o

    Von Simone V., vor etwa einem Jahr
  9. l

    Von Simone V., vor etwa einem Jahr
  10. gut erklärt
    cool

    Von Simone V., vor etwa einem Jahr
  11. Liebe Sabine du hast das gut gemacht aber tschüss wird mit ss geschrieben

    Von Epm Baumann, vor mehr als einem Jahr
  12. Liebe Sabiene,
    vielen dank ich schreibe bald einen Test und du hast mir sehr geholfen

    Von Nanderle1980, vor mehr als einem Jahr
  13. Sehr einfach und gut erklärt hilft sehr gut wenn mann nicht mehr daran denkt.
    Danke :D

    Von Levi S., vor mehr als einem Jahr
  14. Sehr gut erklärt,danke Sabine!👍🏻

    Von Lilly M., vor fast 2 Jahren
  15. sehr einfach

    Von Leonie W., vor fast 2 Jahren
  16. gut

    Von julia n., vor fast 2 Jahren
  17. geil

    Von Michael 48, vor fast 2 Jahren
  18. Gut

    Von M Rutha, vor fast 2 Jahren
  19. Es hat mir sehr viel gebracht

    Von Claudiu P., vor fast 2 Jahren
  20. Danke

    Von Claudiu P., vor fast 2 Jahren
  21. Danke das war sehr cool und hilfreich ;D

    Von Christina Mara Antonia K., vor mehr als 3 Jahren
  22. der

    Von Anjalachenmann, vor mehr als 3 Jahren
  23. ggeeiilloo!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :D

    Von Lana091671, vor mehr als 3 Jahren
  24. Danke ich verstehe es jetzt :D

    Von Vife, vor mehr als 3 Jahren
  25. Super

    Von Benedikt Adler, vor fast 4 Jahren
  26. super

    Von Plieth, vor fast 4 Jahren
  27. UPS....nach sofatutor wollte ich team schreiben...entschuldigung

    Von Vanessa V., vor mehr als 4 Jahren
  28. das ist das coolste video über mahte was ich je gesehen hab ich würde auch gerne das ganze sofatutor bedanken für diese hilfreichen und coolen video... danke und schöne ostern wünscht euch vanessa V. :)

    Von Vanessa V., vor mehr als 4 Jahren
  29. cool danke

    Von J Trouvain, vor etwa 5 Jahren
Mehr Kommentare

Teilermenge, Vielfache und Vielfachmenge Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Teilermenge, Vielfache und Vielfachmenge kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, was die Teilermenge ist.

    Tipps

    Die Vielfachen der Zahl $a$ sind in der Vielfachenmenge $V_a$ enthalten.

    Eine Zahl kann auch mehrere Teiler haben.

    Zum Beispiel sind die Teiler der Zahl $4$ die Zahlen $1$, $2$ und $4$.

    Lösung

    Unsere richtige Antwort lautet hier: „Die Teilermenge einer Zahl ist die Menge aller Zahlen, die alle möglichen Teiler dieser Zahl enthält.“

    Am besten kann man das mit einem Beispiel verstehen. Schauen wir uns dazu die Zahl $15$ als Beispiel an.

    Die $15$ können wir als $1 \cdot 15$ und $3 \cdot 5$ schreiben. Die Multiplikationen $5 \cdot 3$ und $ 15 \cdot 1$ schließen wir aus, denn dabei handelt es sich um Tauschaufgaben.

    Nun notieren wir die Teiler, die wir eben berechnet haben, alle in der Teilermenge: $T_{15} = \{1,3,5,15\}$.

    Wie du siehst, muss die Teilermenge immer alle Teiler enthalten und nicht nur einen Einzelnen.

  • Bestimme die Vielfachen der angegebenen Zahlen.

    Tipps

    Die Vielfachen einer Zahl erhältst du durch die Multiplikation der Zahl mit den natürlichen Zahlen $1;2;3;4;5...$ und so weiter.

    $6$ ist ein Vielfaches von $3$, denn $3 \cdot 2 = 6$

    Lösung

    Die Vielfachen einer Zahl erhältst du, wenn du nacheinander mit den natürlichen Zahlen $1;2;3;4;5 \ldots$ multiplizierst.

    Schauen wir uns als Beispiel die Zahl $5$ an. Um die Vielfachen von $5$ zu ermitteln, rechnen wir nun $5 \cdot 1 =5 \\ 5 \cdot 2 = 10 \\ 5 \cdot 3 = 15 \\ 5 \cdot 4 = 20$

    Wir könnten auch noch weitere Vielfache bilden, aber die ersten vier reichen uns hier aus.

    Nun suchen wir nur noch das passende Vielfache aus den Antwortmöglichkeiten aus. Hier können wir eine $10$ finden. Also ordnen wir zu. $10$ ist das zugehörige Vielfache zu $5$, denn $5 \cdot 2 = 10 $

    Auf diese Weise kannst du die anderen Paare finden. Viel Erfolg dabei!

  • Gib an, welche Zahlen in der Teilermenge der Zahl $15$ enthalten sind.

    Tipps

    Die Teilermenge einer Zahl enthält immer alle möglichen Teiler dieser Zahl.

    Eine gerade Zahl ist nie Teiler einer ungeraden Zahl.

    Lösung

    Die Teilermenge einer Zahl gibt an, welche natürlichen Zahlen Teiler dieser Zahl sind.

    Für die Teilermenge wird als mathematische Vokabel ein großes $T$ mit einer kleinen angehängten Zahl genutzt. Die kleine Zahl gibt diejenige Zahl an, deren Teilermenge betrachtet wird.

    Zum Beispiel $T_8$ für die Teilermenge von $8$ oder $T_{15}$ für die Teilermenge von $15$.

    Bestimmen wir $T_{15}$ einmal gemeinsam. Dazu können wir die Tabelle nutzen. Hier siehst du, dass wir die Zahl $15$ zunächst als Produkt der Faktoren $1$ und $15$ schreiben können. Damit erhalten wir zwei Teiler der Teilermenge, nämlich $1$ und $15$. Als weitere Teiler haben wir aus der Rechnung $15 = 3 \cdot 5$ die Zahlen $3$ und $5$.

    Nun fassen wir also zusammen: $T_{15} = \{1,3,5,15 \}$

    Alle anderen Zahlen sind nicht Teiler von $15$ und daher auch nicht in der Teilermenge $T_{15}$ enthalten.

  • Berechne die gemeinsamen Teiler $\text{gT}$ der angegebenen Zahlen.

    Tipps

    Die Zahl $1$ ist in jeder Teilermenge enthalten, denn jede natürliche Zahl ist durch $1$ teilbar.

    Gerade Zahlen haben immer den Teiler $2$.

    Lösung

    Wie wir die Teilermenge einer natürlichen Zahl bestimmen, wissen wir ja schon. Doch was ist nun $\text{gT}$, die Menge der gemeinsamen Teiler? Und wie können wir diese bestimmen?

    Am besten schauen wir uns als Beispiel $\text{gT}(18;24)$ an. Da wir die gemeinsamen Teiler suchen, brauchen wir also die Teiler, die sowohl in der Teilermenge $T_{18}$ als auch in der Teilermenge $T_{24}$ enthalten sind. Schauen wir und also die Mengen $T_{18}$ und $T_{24}$ genauer an: $T_{18} = \{1;2;3;6;9;18 \}$ und $T_{24} = \{1;2;3;4;6;8;12;24 \}$.

    Die gemeinsamen Teiler können wir nun, durch den Vergleich von $T_{18}$ und $T_{24}$ herausfinden.

    Die Zahlen $1$, $2$, $3$ und $6$ teilen sowohl die Zahl $18$ als auch die Zahl $24$ und sind somit gemeinsame Teiler.

    In mathematischer Schreibweise sieht das Ergebnis nun so aus: $\text{gT}(18;24) = \{1;2;3;6\}$.

    Auf diese Weise kannst du auch die gemeinsamen Teilermengen $\text{gT}(28;42)$ und $\text{gT}(27;36) $ bestimmen.

  • Bestimme, welche Zahlen Bestandteil der Vielfachenmenge $V_6$ sind.

    Tipps

    Die Menge aller Vielfachen einer Zahl, kurz $V$, enthält alle Vielfachen dieser Zahl.

    Die Zahl $12$ ist Bestandteil der Vielfachenmenge $V_6$, denn: $6 \cdot 2 = 12$

    Lösung

    Die Vielfachenmenge ist die Menge aller Vielfachen einer Zahl. Da wir eine Zahl aber ja mit unendlich vielen anderen Zahlen multiplizieren können, ist auch die Vielfachenmenge unendlich groß. Deshalb reicht es aus, wenn wir nur einen kleinen Teil der Vielfachenmenge angeben oder nur einzelne Vielfache einer Vielfachenmenge zuordnen.

    Die Vielfachenmenge der Zahl $6$ ergibt sich aus der Multiplikation der Zahlen $1,2,3,4,5,6 ...$ mit der $6$.

    Die Menge der Vielfachen ist somit $V_6= \{6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72 \ldots \} $

  • Gib an, in welcher Teilermenge die gegebenen Zahlen enthalten sind.

    Tipps

    Für die Teilermenge wird als mathematische Vokabel ein großes $T$ mit einer kleinen angehängten Zahl genutzt.

    Die Teilermenge einer Zahl gibt an, welche natürlichen Zahlen Teiler dieser Zahl sind.

    Lösung

    Die Teilermenge einer Zahl gibt an, welche natürlichen Zahlen Teiler dieser Zahl sind.

    Für die Teilermenge wird als mathematische Vokabel ein großes $T$ mit einer kleinen angehängten Zahl genutzt. Die kleine Zahl gibt an, um die Teilermenge welcher Zahl es sich denn genau handelt.

    Zum Beispiel $T_8$ für die Teilermenge von $8$ oder $T_{24} $für die Teilermenge von $24$.

    Bestimmen wir also zunächst die Teilermengen $T_{24}$, $ T_{27}$ und $T_{35}$.

    Mit Hilfe der Grafik können wir sehen, dass $T_{24}$ insgesamt acht Teiler enthält. Das Ergebnis ist: $T_{24} = \{1;2;3;4;6;8;12;24 \}$

    Auch die Teilermengen $T_{27}$ und $T_{35}$ kannst du in der Grafik ablesen.

    Nun kannst du jeden Teiler der zugehörigen Teilermenge zuordnen. Wir prüfen, ob der Teiler aus der Aufgabenstellung in einer der Teilermengen enthalten ist, und ordnen dann zu.