Sinusfunktion – Überblick und Eigenschaften
Die Sinusfunktion beschreibt periodische Vorgänge in der Mathematik. Sie entsteht aus dem Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck im Einheitskreis. Die Funktion kann durch Parameter verändert werden und ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Interessiert? All das und noch mehr findest du im folgenden Text.

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Sinusfunktion – Überblick und Eigenschaften

Parameter bei der Sinusfunktion

Cosinusfunktion – Überblick

Sinusfunktion – Übungen

Parameter a bei der Sinusfunktion

Parameter b bei der Sinusfunktion

Parameter d bei der Sinusfunktion

Parameter e bei der Sinusfunktion

Winkelfunktionen – spezielle Funktionswerte
Sinusfunktion – Überblick und Eigenschaften Übung
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Bestimme die richtigen Aussagen.
TippsDie Strecke vom Nulldurchgang bis zu einer Extremstelle heißt bei trigonometrischen Funktionen Amplitude.
Die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ ist auf der gesamten $x$-Achse definiert.
Das ist der Graph der Sinusfunktion.
LösungDiese Aussagen sind wahr:
- In die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ kann man alle reellen Zahlen einsetzen.
- Die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ kann Werte zwischen $-1$ und $1$ annehmen.
- Die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ ist eine periodische Funktion.
Diese Aussagen sind falsch:
- Die Amplitude der Sinusfunktion ist $2$.
- Die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ hat eine Periode von $\pi$.
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Beschrifte den Graphen der Sinusfunktion.
TippsAlle Nullstellen der Sinusfunktion können durch $x_k= k \cdot \pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden.
Extremwerte befinden sich genau zwischen zwei Nullstellen.
LösungAlle Nullstellen der Sinusfunktion können durch $x_k= k \cdot \pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden. Für die ersten beiden positiven Nullstellen gilt: Für $k=0$ ergibt sich $x=0$ und für $k=1$ ergibt sich $x=\pi$. Das sind also die Nullstellen im Graphen.
Alle Hochpunkte der Sinusfunktion kann man durch $(2 \pi k + \frac{\pi}{2} |1)$ mit $k \in \mathbb{Z}$ ausdrücken. Der erste positive Hochpunkt liegt also für $k=0$ bei $(\frac{\pi}{2} |1)$.
Alle Tiefpunkte der Sinusfunktion kann man durch $(2 \pi k - \frac{\pi}{2} |1)$ mit $k \in \mathbb{Z}$ ausdrücken. Der erste positive Tiefpunkt liegt also für $k=1$ bei $(\frac{3\pi}{2} |-1)$. Hier muss $k=1$ eingesetzt werden, da man sonst im negativen $x$-Bereich landet.
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Zeige die Punktsymmetrie eines Punktes der Sinusfunktion.
TippsZu Beginn jeder Rechnung muss aufgeschrieben werden, was ausgerechnet werden soll.
Die anfängliche Relation wird so lange durch Einsetzen oder Rechenschritte verändert, bis die Punktsymmetrie gezeigt ist.
LösungUm Punktsymmetrie zu zeigen, muss die Relation $f(x)=-f(-x)$ nachgerechnet werden.
Zu Beginn jeder Rechnung muss aufgeschrieben werden, was ausgerechnet werden soll.
Wählt man $f(x)=\text{sin}(x)$ und multipliziert mit $-1$, erhält man:
$\text{sin}(-x)=-\text{sin}(x)$
Man konkretisiert, was ausgerechnet werden soll.
Jetzt kann man Werte für $x$ einsetzen und kontrollieren, ob das stimmt. Für $x=\frac{\pi}{2}$ gilt:
Die gefundene Relation soll für einen Punkt geprüft werden.
$\text{sin}(-x)=\text{sin}(-\frac{\pi}{2})=-1$
Außerdem erhält man:
$-\text{sin}(x)=-\text{sin}(\frac{\pi}{2})=-1$
Dafür setzt man den Punkt einzeln in beide Seiten der Gleichung ein und berechnet.
Die Werte sind also gleich. Damit ist die Punktsymmetrie für den Wert $x=\frac{\pi}{2}$ gezeigt.
Die Rechnung wird durch einen Antwortsatz abgeschlossen.
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Bestimme die Besonderheit der gegebenen $x$-Werte.
TippsBenutze die behandelten Formeln, um herauszufinden, welche besonderen Stellen sich an den $x$-Werten befinden.
LösungNullstellen
$x=5 \pi$, $x=-3 \pi$, $x=-25 \pi$
Alle Nullstellen der Sinusfunktion können durch $x_k= k \cdot \pi,~k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden. Die oben genannten Stellen ergeben sich für $k=5$, $k=-3$, $k=-25$.
Maxima
$x=-5 \frac{1}{2} \pi$, $x=-3,5 \pi$, $x=6 \frac{1}{2} \pi$
Alle $x$-Werte der Maxima der Sinusfunktion können durch $2 \pi k + \frac{\pi}{2}, ~k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden. Die oben genannten Stellen ergeben sich für $k=-6$, $k=-4$ und $k=6$.
Minima
$x=13,5 \pi$, $x=-\frac{13}{2} \pi$
Alle $x$-Werte der Mimima der Sinusfunktion können durch $2 \pi k - \frac{\pi}{2}, ~k \in \mathbb{Z}$ angegeben werden. Die oben genannten Werte ergeben sich für $k=7$ und $k=-3$.
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Bestimme die korrekten Aussagen über die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$.
TippsDas ist der Graph der Sinusfunktion.
LösungDiese Aussagen sind wahr:
- Die Sinusfunktion hat eine Nullstelle bei $x=0$.
- Die Funktionswerte der Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ wiederholen sich in regelmäßigen Abständen von $2 \pi$.
- Die Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.
Diese Aussagen sind falsch:
- Die Periode der Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ kann man an dem Abstand zweier nebeneinanderliegender Nullstellen ablesen.
- Die Sinusfunktion $f(x)=\text{sin}(x)$ hat bei $x=0$ einen Hochpunkt.
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Erschließe die Streckung und Stauchung der Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$.
TippsBeim Strecken wird etwas in die Länge gezogen.
LösungUm die Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$ auf der $y$-Achse zu strecken oder zu stauchen, multipliziert man die Funktion mit einem Faktor $a$:
$f(x)=a \cdot \sin(x)$
Ist der Faktor größer als eins, wird die Funktion gestreckt. Die Amplitude vergrößert sich.
Ist der Faktor kleiner als eins, wird die Funktion gestaucht. Die Amplitude verkleinert sich.
Um die Sinusfunktion $f(x)=\sin(x)$ auf der $x$-Achse zu strecken oder zu stauchen, multipliziert man den $x$-Wert mit einem Faktor $b$:
$f(x)=\sin(b \cdot x)$
Dieser Faktor verändert die Periode $p$ der Funktion.
Ist der Faktor größer als eins, wird die Funktion gestaucht. Die Periode verkleinert sich.
Ist der Faktor kleiner als eins, wird die Funktion gestreckt. Die Periode vergrößert sich.
Beim Strecken wird etwas in die Länge gezogen und beim Stauchen verkleinert.
Die Funktion $g(x)= 2 \sin(x)$ wurde also auf der $y$-Achse gestreckt.
Die Funktion $h(x)= \sin(2x)$ wurde auf der $x$-Achse gestaucht.
Die beiden Veränderungen können auch kombiniert werden:
$u(x)= 2 \sin(2x)$
Der Faktor $a$ streckt/staucht die Funktion auf der $y$-Achse und der Faktor $b$ auf der $x$-Achse.
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