Sinusfunktion für alle reellen Zahlen (1)

Hallo, die allgemeine Sinusfunktion auf R ist das Thema. Also es geht um die Definition der Funktion f(x) gleich sinus von x oder man sagt auch kurz sin(x). Auf R heißt, man darf alle reellen Zahlen für x einsetzen. Und um das definieren zu können, brauchen wir erst mal einen Kreis. Das ist ein Kreis. Für die Leute, die es genau nehmen: Ich meine damit die Kreislinie und nicht die Kreisscheibe oder die Kreisfläche. Dieser Kreis hat hier 2 Durchmesser, 1 Durchmesser, noch 1 Durchmesser, beide Durchmesser sind rechtwinklig zueinander, hier ist ein rechter Winkel. Das hier ist ein Radius oder der Radius dieses Kreises, hier ist er ja auch, der Radius. Und ich möchte diesen Radius hier in meinen weiteren Betrachtungen als Maßeinheit nehmen. Ich möchte nicht in Zentimetern oder in Metern messen, ich möchte jetzt hier in Radien messen. Der Radius ist die neue Maßeinheit, deshalb ist das hier übrigens auch mein neuer Einheitskreis. Du kannst das auch machen, du kannst einen Kreis zeichnen und einfach sagen: Der Radius dieses Kreises ist meine neue Maßeinheit, damit werde ich jetzt meine Sinusfunktion definieren. Die Frage ist natürlich: Wie können wir uns dann verstehen? Wenn du einen anderen Kreis zeichnest als ich, vermutlich wird das ja der Fall sein, dein Kreis wird nicht exakt die gleiche Größe haben wie meiner. Wie können wir dann trotzdem zur gleichen Sinusfunktion kommen? Nun das liegt daran, dass die Funktionswerte der Sinusfunktion dadurch zustande kommen, dass man etwas in einem Kreis mit dem Radius vergleicht. Wenn du deine Punkte, die du da irgendwann bekommen wirst jetzt im Laufe der Definition, wenn du die mit deinem Radius vergleichst und ich meine mit meinem Radius vergleiche, dann kommen wir zu denselben mathematischen Verhältnissen von Punkt zu Radius. Und deshalb werden unsere Rechnungen und unsere Ergebnisse gleich sein, obwohl unsere Kreise vermutlich unterschiedlich groß sein werden. Also, die Sinusfunktion ist am Einheitskreis definiert. Diesen Kreis hier kann ich in ein Koordinatensystem legen und das hier ist ja die Länge 1, hier ist die 1, da ist -1, kein Problem und hier oben ist auch +1 und -1, das habe ich jetzt nicht hingeschrieben, weil hier ja der Kreis ist und damit ich nicht da in den Kreis reinmalen muss. Übrigens hier meine Zahlen, das ist ja auch ein halbes Koordinatensystem sag ich mal, das müsste in der Richtung natürlich noch weitergehen, hab ich jetzt aus Platzgründen nicht eingezeichnet. Mein Zahlenstrahl hier, der ist auch in Radien eingeteilt, also diese Strecke hier ist ja die 1 und das ist auch der Radius meines Kreises. Wenn du das nachvollziehen möchtest und auch zeichnest, werden dein Zahlenstrahl auch andere Abmessungen haben, denn deine Einheit ist ja der Radius deines Kreises. Wie kommen wir jetzt zum Funktionswert? Wir nehmen einfach eine Zahl, zum Beispiel die 1, und wickeln die 1 von hier aus gesehen, also vom Punkt 1(0) aus um den Kreis drumrum. So, das könnte ich hier eigentlich auch machen, ich habe das jetzt ein bisschen getrennt, damit ich das nicht so verschmiere. Wenn ich also diese Zahl 1 um diesen Einheitskreis herumwickle, dann komme ich zu diesem Punkt. Dieser Punkt hier ist ein Punkt des Einheitskreises, der hat 2 Koordinaten, eine x-Koordinate, die ist hier und eine y-Koordinate, die ist hier, na, ist nicht ganz genau. Also da ist die y-Koordinate, da ist die x-Koordinate. Und die y-Koordinate dieses Punktes, den ich erhalte, wenn ich eine Strecke mit der Länge 1 um diesen Einheitskreis herumwickle, das ist der Funktionswert an der Stelle 1 der Sinusfunktion. Ja, ich versuche das hier mal so ein bisschen zu übertragen. Da ist der Funktionswert. Ich kann auch die Strecke 3-mal nehmen, da, die Strecke 3 kann ich jetzt auch beginnend mit dem Punkt 1(0) um den Kreis herumwickeln. Ich zeige das jetzt wieder mal hier an dieser Kreisattrappe, dann komme ich also ungefähr hier hin. Ja, ich übertrage das mal, das ist der Punkt, zu dem ich dann komme, circa. Auch dieser Punkt hat eine x-Koordinate, das ist die hier, da ist sie und eine y-Koordinate, das ist hier, da ist die y-Koordinate. Und diese y-Koordinate ist der Funktionswert an der Stelle 3. Das kann ich hier auch noch einzeichnen, das müsste übrigens, ich zeichne jetzt die Linie nicht ein, also hier in der Höhe müsste das sein. Das ist der Funktionswert an der Stelle 3. Und ich mache das jetzt nicht alles im Einzelnen vor, du kannst das gerne zuhause nachzeichnen und wirst dann hoffentlich zu einer solchen Funktion kommen. Ich deute die mal hier eben an, muss mich eben ein bisschen orientieren hier und sie wird ungefähr so aussehen, ah, da ist der Bogen nicht ganz gelungen und da kommt sie wieder zurück. Das ist ungefähr die Funktion, die du auch erhalten solltest, eben schnell korrigieren hier. So ungefähr sieht das dann aus. Das ist also die Sinusfunktion hier auf der Zahlengeraden von 0 bis circa 6,28. Und die wird hier jetzt einfach so wieder weitergehen, sie wird sich wiederholen, sie wird sich auch in der Richtung wiederholen, wenn ich das jetzt noch zeichnen könnte. Jetzt ist natürlich die Frage, vielleicht verwundert dich, dass das hier so komisch definiert ist, normalerweise rechnet man ja Funktionswerte aus. Man nimmt nicht Papierstreifen und wickelt sie um irgendwas rum und guckt dann, wo eine Koordinate ist oder so was. Aber, in diesem Zusammenhang macht man das tatsächlich so, man rechnet Sinuswerte nicht aus, man kann sie nicht ausrechnen. Es gibt keine Formel, mit der man nun exakt einen Sinuswert bestimmen kann. So ist die Lage und deshalb macht man theoretisch tatsächlich das, was ich praktisch vorgemacht habe. Man ordnet einer Zahl einen Punkt zu, in dem man diese Zahl, also die Länge jetzt auf der Zahlengeraden hier auf den Kreis abträgt, dann zu einem Punkt kommt und die y-Koordinate dieses Punktes ist dann der Sinuswert an dieser Stelle. Man kann natürlich auch rechnen, man kann Sinuswerte beliebig genau annähern, da gibt es auch viele Formeln zu, das ist gar kein Problem. Dein Taschenrechner wird auch solche Formeln verwenden, er gibt ja meistens keine exakten Werte an, auch wenn er irgendwie 20 Stellen nach dem Komma anzeigen könnte, wären diese Werte in der Regel nicht exakt, denn Sinuswerte, Funktionswerte hier, sind in der Regel irrationale Zahlen und die wird dein Taschenrechner nicht anzeigen können, da sie ja unendlich viele Stellen nach dem Komma haben und das ist eben unmöglich anzuzeigen. Also dein Taschenrechner wird Näherungsverfahren verwenden, wird da auch quasi was rechnen und dir Sinuswerte anzeigen, aber exakt sind sie nicht. Und es gibt auch keine Möglichkeit, sie völlig exakt auszurechnen außer für bestimmte Werte, wo dann andere Formeln gelten, aber im Allgemeinen ist das nicht möglich. Ja, deshalb, entweder guckt man solche Werte in Tabellen nach oder man guckt sie im Taschenrechner nach oder sonst wo, man rechnet sie normalerweise auch nicht aus. Also auch diese Näherungsverfahren, die es gibt, sind zu aufwendig, um sie, sag ich mal, in normalen Schulklausuren anwenden zu können. Der Punkt, der dich an dieser Darstellung hier überrascht, ist vielleicht die Frage: Was ist mit den Winkeln? Normalerweise fängt man ja an, trigonometrische Funktionen am Dreieck einzuführen. Und am Dreieck, wissen wir ja, da geht es um Winkel und hier beim Sinus Gegenkathede÷Hypotenuse. Es geht um dieses Seitenverhältnis, aber das ist abhängig vom Winkel. Und hier habe ich ja gar nichts von einem Winkel gesagt. Das muss ich jetzt noch nachholen. Der Winkel, das wollte ich hier dazu nehmen. Ein Winkel, der hier eine Rolle spielt, könnte zum Beispiel so aussehen. Der Winkelscheitel, der ist hier angelegt, ein Schenkel des Winkels liegt auf der x-Achse des Einheitskreises. Jeden Winkel kann ich so hinlegen, egal wie groß der Winkel ist, das geht immer irgendwie. Dieser Winkel definiert einen Punkt auf dem Einheitskreis, zum Beispiel diesen Punkt hier. Und zwar ist das der Schnittpunkt des anderen Winkelschenkels, also des Winkelschenkels, der nicht auf der x-Achse liegt. Es ist der Schnittpunkt dieses Winkelschenkels mit dem Einheitskreis. Dieser Schnittpunkt ist ein Punkt des Einheitskreises und der hat eine y-Koordinate, und wenn man diese y-Koordinate jetzt hier einträgt, dann hat man den Sinus-Wert an dieser Stelle. Das bedeutet also: Dieser Winkel hat auch einen Sinuswert. Und deshalb kann ich hier statt x auch einen Winkel einsetzen, der dann in Grad gemessen wird zum Beispiel und auch der hat Funktionswerte. Das ist, wie du siehst hier, es ist das gleiche Verfahren. Anzumerken ist dabei noch, dass es ja möglich ist, alle Winkel auch im Bogenmaß anzugeben und zu jedem Bogenmaß gibt es auch einen Winkel im Gradmaß. Und das funktioniert so: Wenn ich hier also irgendeine Zahl nehme, zum Beispiel die 1, dann wickle ich die 1 um diesen Einheitskreis herum und komme zu einem Punkt. Diese 1 kann ich jetzt als Bogenmaß eines Winkels auffassen, denn zu diesem Punkt gibt es genau 1 Winkel, und zwar den hier. Und diesen Winkel kann ich auch in Grad messen oder ich kann auch einfach sagen: Dieser Winkel hat das Bogenmaß 1. Außerdem kann ich auch andere Winkel angeben. Ich zeige das hier noch mal für den Winkel mit dem Bogenmaß 3. Auch das ist ein Winkel, den kann ich im Gradmaß angeben oder ich kann auch sagen, wenn ich die Zahl 3 um den Kreis wickle, komme ich hier an, also hat dieser Winkel hier das Bogenmaß 3. Und Winkel im Gradmaß oder Winkel im Bogenmaß kann man hier jetzt als Argumente, wie man so sagt, also als x-Werte in die Sinusfunktion einsetzen. Man muss sich nur immer so ein bisschen darauf einigen, in welcher Einheit man die Winkel jetzt gerade messen möchte. Das merkst du auch an deinem Taschenrechner, da musst du auch einstellen, ob du jetzt im Bogenmaß oder im Gradmaß eingibst. Auf jeden Fall ist beides möglich, weil ja zu jedem Bogenmaß ein Gradmaß existiert und umgekehrt auch. Ich hoffe, damit sind nun erst mal alle Klarheiten beseitigt, wie man so sagt. Ich zeige das hier noch mal für den Winkel mit dem Bogenmaß 3. Der Zahl x wird die y-Koordinate des zugehörigen Punktes des Einheitskreises zugeordnet. Ja, dann viel Spaß mit der neuen Sinusfunktion. Tschüss!