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Rechenbäume 06:11 min

Textversion des Videos

Transkript Rechenbäume

Albrecht, der Faun, hat ein Faible für Sicherheit. Für seine Haustür benutzt er deshalb ein ganz besonders sicheres Verfahren. Anstatt einen gewöhnlichen Schlüssel zu benutzen, fordert er jedes Mal eine neue zufällige Zahl an. Hier bekommt er gerade eine geliefert. Mit dieser Zahl kommt Albrecht dann in sein Haus. Er muss dafür nur noch diesen Rechenbaum lösen. Wie ging das noch gleich? Schauen wir uns mal an, wie wir Rechenbäume lösen können. Bei Albrechts Rechenbaum ist ein Kästchen in der ersten Zeile noch nicht ausgefüllt. Dort setzt er die Zahl ein, die er bekommen hat. Weißt du noch, wozu man Rechenbäume braucht? Schau mal, der Rechenbaum entspricht diesem Term. Der sieht ganz schön kompliziert aus. Im Rechenbaum sagt dir schon die Form des Baumes, in welcher Reihenfolge du welche Rechenschritte durchführen musst. Du gehst von oben nach unten durch den Baum und füllst jedes Kästchen aus. Über den Kästchen stehen die Rechenzeichen, die du benutzen sollst, und sie sind mit den Zahlen darüber verbunden. Lösen wir doch einfach mal diesen Baum. Zuerst dieses Kästchen. Hier steht ein Plus, also müssen wir addieren. Wir bilden die Summe der beiden Zahlen, die mit dem Rechenzeichen verbunden sind: hier eine eins hier eine zwei. Also kommt in dieses Kästchen 'eins plus zwei' das ergibt drei. Auf der nächsten Stufe des Baumes gibt es zwei Kästchen. Hier ist es egal, in welcher Reihenfolge du die beiden ausrechnest. Fangen wir mit diesem hier links an. Dort steht ein Geteiltzeichen, und verbunden ist es mit den Zahlen 36 und 6. Also müssen wir 36 durch 6 teilen und dabei kommt 6 heraus. Weiter zu dem rechten Kästchen. Da steht ein Malzeichen, das mit der 2 und der 3 darüber verbunden ist, also rechnen wir: 2 mal 3. Daher gehört in dieses Kästchen ebenfalls eine 6. Fast geschafft! Hier gibt es wieder zwei Kästchen. Fangen wir doch mal beim rechten an. Wir müssen 1 plus 6 ausrechnen - das ergibt 7. Und beim linken Kästchen rechnen wir 12 minus 6. Das sind wieder 6. Nur noch das letzte Kästchen. Hier müssen wir 6 mal 7 rechnen. Und das Ergebnis lautet 42! Die 42 ist das richtige Ergebnis dieses Rechenbaums – und damit kann Albrecht seine Tür öffnen. Und wir konnten viele kleine Rechnungen ausführen, anstatt diesen komplizierten Term zu lösen. Das ist der Vorteil von Rechenbäumen: sie zerlegen schwierige Aufgaben, wie diesen Term, in mehrere kleine Aufgaben die alle leichter zu lösen sind. Übrigens kann man Rechenbäume auch rückwärts lösen. Schau mal, bei diesem Rechenbaum sind einige Kästchen nicht ausgefüllt. Aber ganz unten, beim Ergebnis, steht schon eine Zahl – nämlich die 5. Und wir können jetzt von unten nach oben durch den Baum klettern und dadurch die fehlenden Kästchen bestimmen. Fangen wir mit diesem hier an. Wir wissen nicht, was für eine Zahl darin steht. Und es sind auch noch nicht beide Kästchen darüber ausgefüllt. Aber wir wissen, dass hier eine 5 steht. Und hier steht eine 3. Die Kästchen sind durch ein Geteiltzeichen verbunden. Also können wir uns fragen: Welche Zahl geteilt durch 3 ergibt 5? 15 durch 3 ist 5! Dann muss also in diesem Kästchen hier eine 15 stehen. So können wir weitermachen. Um herauszufinden, welche Zahl in dieses Kästchen gehört, können wir uns wieder eine Frage stellen: 13 plus welche Zahl ergibt 15? Und weil 13 plus 2 gleich 15 ist, muss eine 2 in das Kästchen. Nur noch ein Kästchen! Die Frage hier lautet: Welche Zahl geteilt durch 15 ergibt 2? Na, 30 geteilt durch 15 ist 2! Also schreiben wir nur noch eine 30 in dieses Kästchen und haben den Rechenbaum rückwärts gelöst! Lass uns schnell zusammenfassen, wie man Rechenbäume löst. Hier ist ein einfacher Rechenbaum. Er steht für den Term: 4 mal 'in Klammern 2 plus 1'. Aber egal, wie der Rechenbaum aussieht, du gehst immer gleich vor. Beim normalen Lösen fängst du oben an. Du füllst in jeder Stufe des Baums alle Kästchen aus, indem du die beiden Zahlen mit der Rechenoperation, die diese beiden Zahlen verbindet, ausrechnest. Wenn du ganz unten angekommen bist, bist du fertig! Die Zahl im letzten Kästchen ist das Ergebnis des Rechenbaums. Um einen Baum rückwärts zu lösen, fängst du unten an. Dann musst du dir immer die passenden Fragen zu den Rechenzeichen und den bereits vorhandenen Zahlen stellen. Damit rechnest du dann rückwärts aus, was in das Kästchen kommen muss. Und wenn du alle Kästchen ausgefüllt hat, bist du auch fertig. Am nächsten Tag: Manchmal will dieser Vogel einfach nicht auftauchen. Na super — Albrechts Account wurde gesperrt. Ungeduld mit Rechenbäumen rächt sich!

1 Kommentar
  1. Seht hilfreiches video

    Von Svenja Stark, vor 4 Monaten

Rechenbäume Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rechenbäume kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschrifte den Rechenbaum.

    Tipps

    Löse zuerst die Aufgabe über dem obersten freien Kästchen im Rechenbaum.

    Löse von oben nach unten jeweils die Teilaufgaben: Verbinde die Zahlen in den Kästchen mit der Rechenoperation in dem runden Feld und trage das Ergebnis in das Kästchen darunter ein.

    Trage $14$ in das Kästchen ein, denn $2 \cdot 7 = 14$.

    Lösung

    Der Rechenbaum hilft dir, den Term $(12-36:6) \cdot (1+2 \cdot (1+2))$ auszurechnen – und dem Faun Albrecht, in sein Haus zu gelangen. Mit dem Rechenbaum kannst du den Term Schritt für Schritt ausrechnen. Die Rechnung beginnt innerhalb der Klammern bzw. auf der obersten Ebene des Rechenbaumes. Dann kletterst du in dem Baum nach unten:

    • $1+2=3$
    • $36 : 6 = 6$ und $ 2 \cdot 3 = 6$
    • $12-6=6$ und $1 + 6 = 7$
    • $6 \cdot 7 =42$
  • Gib die richtig gelösten Rechenbäume an.

    Tipps

    Überprüfe die Rechenbäume Schritt für Schritt von oben nach unten.

    In dem Kästchen unter einem Rechenzeichen muss bei einem richtigen Rechenbaum das Ergebnis der Rechnung mit diesem Rechenzeichen stehen.

    Dieser Rechenbaum ist falsch. Auf der oberen Stufe ist $2 \cdot 1 = 2$, aber auf der unteren Stufe ist $4 \cdot 2 \neq 2$.

    Lösung

    Beim Ausrechnen der Rechenbäume kletterst du von oben nach unten. Trage auf jeder Stufe das Ergebnis der einzelnen Rechnung in das Kästchen unter dem zugehörigen Rechenzeichen ein. Der Reihenfolge der Ebenen im Rechenbaum entspricht in dem Term die Klammerung: Dem Berechnen von Termen von innen nach außen entspricht das Rechnen im Rechenbaum von oben nach unten.

    Richtig sind die Rechenbäume zu folgenden Termen:

    • $12-36:6=6$
    • $2 \cdot (1+2) = 6$
    • $4 \cdot (2+1) = 12$
    • $4 \cdot 3 -9 = 3$
    • $13 + 30:15 = 15$
    Falsch sind die Rechenbäume zu folgenden Termen:

    • $2 + 1 \cdot 2 \neq 6$
    • $12:(36-6) \neq 6$
    • $3 \cdot (2+1) \neq 12$
  • Vervollständige den Rechenbaum.

    Tipps

    Beginne mit dem unteren Kästchen und finde die Rechenoperation, deren Lösung der untersten Stufe des Baumes entspricht.

    Löse den Baum von unten nach oben, indem du auf jeder Stufe die Gleichung einträgst, die hier gelöst wird.

    Setze in diesem Rechenbaum unten $2+1=$ und oben $2$ ein.

    Lösung

    Um einen Rechenbaum von unten nach oben zu lösen, musst du nacheinander die Gleichungen erschließen, die weiter unten im Baum gelöst sind. Du beginnst auf der untersten Ebene. Dort steht $5$ als Ergebnis einer Division durch $3$. Es gibt genau eine Zahl, die durch $3$ geteilt $5$ ergibt, nämlich $15$. Auf der untersten Ebene steht also die Gleichung $15:3=5$.

    Die $15$ kannst du vorläufig für das Kästchen der nächsthöheren Ebene übernehmen. Hier ist aber auch die passende Gleichung gefragt: $15$ soll dort das Ergebnis einer Addition von $13$ mit einer weiteren Zahl sein. Diese muss $2$ sein, denn $13+2=15$. Diese Gleichung trägst du ein.

    Auf der nächsthöheren Ebene ist $2$ die Lösung einer Gleichung, nämlich einer Division durch $15$. Die Gleichung lautet also $30:15=2$. Du trägst diese Gleichung ein, und die $30$ auf der obersten Ebene.

  • Erschließe die Einträge.

    Tipps

    Beginne mit dem Lösen des Rechenbaumes von oben.

    Wenn du von oben alle möglichen Ergebnisse eingetragen hast, beginne von unten zu lösen.

    Lösung

    Diesen Rechenbaum kannst du nicht allein vorwärts oder rückwärts lösen. Du kannst vorwärts beginnen und rechnest dann zuerst auf der oberen Ebene:

    • $11-5 = 6$
    • $7 \cdot 2 = 14$
    Im rechten Teil des Baumes kannst Du noch eine Ebene weiter nach unten gehen:

    • $14 \;?\; 2 = 12$. Für das $?$ sollst Du ein Rechenzeichen einsetzen. Es passt nur $-$, denn $14-2=12$.
    Nun kannst du nicht weiter nach unten lösen. Beginne daher, den Baum von ganz unten nach oben zu klettern. Wir lösen zuerst die linke Seite und dann die rechte:

    • $? : 4 = 3$: für das $?$ setze $12$ ein, denn $12:4=3$.
    • $? + 9 = 12$: setze hier für das $?$ die $3$ ein, denn $3+9=12$.
    • $6 \; ?\; 2 = 3$: von den Rechenoperationen passt nur $:$, denn $6:2=3$.
    • $12 : \;?\; = 4$: setze hier $3$ ein, denn $12:3=4$.
  • Erschließe und berechne die Terme.

    Tipps

    Beachte die Klammern in den Termen.

    Beim Ausrechnen der Terme gilt die Regel: „Punktrechnung vor Strichrechnung“.

    Zu diesem Rechenbaum gehört der Term $(1+2):3+4 = 5$

    Lösung

    Aus dem Rechenbaum kannst du ablesen, in welcher Reihenfolge Du die Zwischenrechnungen durchführen musst. Die Rechnung beginnt immer innerhalb der Klammern, diese entsprechen der obersten Ebene des Rechenbaumes. Bei Rechenbäumen, die du rückwärts lösen musst, beginnst du mit der Berechnung auf der untersten Ebene.

    Hier sind die einzelnen Zwischenrechnungen:

    Erster Rechenbaum: \begin{align} (12:4+5)\cdot 2 &= (3+5) \cdot 2 \\ &= 8 \cdot 2 \\ &= 14 \end{align}

    Zweiter Rechenbaum:

    \begin{align} (12 \cdot 4):(6+2) &= 48 : 8 \\ &= 6 \end{align}

    Dritter Rechenbaum:

    \begin{align} (12 + 4 \cdot 5 ):2 &= (12 + 20):2 \\ &= 32:2 \\ &= 16 \end{align}

    Vierter Rechenbaum:

    \begin{align} (12 + 8):5+7 &= 20:5+7 \\ &= 4+7 \\ &= 11 \end{align}

    Fünfter Rechenbaum:

    \begin{align} 12:4 + 5\cdot 2 &= 3 + 10 \\ &= 13 \end{align}

  • Ordne die Terme und Rechenbäume zu.

    Tipps

    Vergleiche die Rechenzeichen innerhalb der Kammern mit denen der obersten Ebene im Rechenbaum.

    Im Rechenbaum stehen bei drei benachbarten Zahlen ohne Klammern die Punktrechnungen weiter oben als die Strichrechnungen. Dies ist die Regel „Punktrechnung vor Strichrechnung“.

    Lösung

    Um die Aufgabe zu lösen, kannst du zu jedem der angegebenen Terme selbst den Rechenbaum zeichnen und dann mit den abgebildeten Rechenbäumen vergleichen. Beim Erstellen eines Rechenbaumes zu einem Term gehst du folgendermaßen vor:

    • Schreibe für jede Zahl ein Kästchen.
    • Ordne die Kästchen in derselben Reihenfolge an, in der sie in dem Term vorkommen.
    • Beginne mit den Rechenoperationen innerhalb der Klammer. Steht dort mehr als eine Rechenoperation, so finde mit der Regel „Punktrechnung vor Strichrechnung“ heraus, welche Rechenoperation du zuerst ausführen musst.
    • Für die erste Rechenoperation innerhalb der Klammern zeichnest du eine Verbindung zwischen den Kästchen der beiden Zahlen, zu denen diese Operation gehört.
    • Schreibe das Ergebnis der Rechenoperation in ein neues Kästchen unter dieser Verbindung.
    • Gehe jetzt zur nächsten Rechenoperation über und zeichne wieder eine Verbindung zwischen den Kästchen der Zahlen, die durch diese Rechenoperation verbunden werden.
    • Indem du in dem Term von innen nach außen rechnest, zeichnest Du den Baum von oben nach unten.