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Potenzausdrücke umformen – Anwendung 03:57 min

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Transkript Potenzausdrücke umformen – Anwendung

Hallo. In diesem Übungsvideo werden wir uns mit dem Umformen von Potenzausdrücken beschäftigen. Dazu lösen wir zwei Textaufgaben. Welches Vorwissen ist für dieses Video nützlich? Du solltest zum einen die Potenzgesetze gut beherrschen und zum anderen die wesentliche Struktur zum Lösen von Textaufgaben kennen. Zur Aufgabe 1: Aus einem 120 cm langen Draht soll ein Würfel angefertigt werden. Zu bestimmen ist der Oberflächeninhalt und das Volumen des Würfels. Charakterisierende Eigenschaft eines Würfels ist, dass alle seine Seiten gleich lang sind. Um den Oberflächeninhalt AO und das Volumen V zu ermitteln, benötigen wir die Seitenlänge, die wir mit a bezeichnen. Wie erhalten wir aber a? Wir machen folgende Überlegung: Ein Würfel hat bekanntlich 12 Seiten. Jede dieser Seiten soll nun gleich lang sein. Da wir einen 120 cm langen Draht haben, teilen wir diesen in 12 Stücke. Dann erhalten wir für a = 120 cm / 12, was 10 cm sind. Der Oberflächeninhalt eines Würfels ist 6a2. Wir setzen a ein und es ergibt sich 6(10 cm)2 = 6100 cm2 und das sind 600 cm2. Das Volumen eines Würfels ist a3. Wir setzen wieder für a den Wert 10 cm ein und erhalten (10 cm)3, was gleich 1000 cm3 sind. Der Würfel hat also einen Oberflächeninhalt von 600 cm2 (Quadratzentimeter)und ein Volumen von 1000 cm3 (Kubikzentimeter) Aufgabe 2: Ein Basketball fällt aus einer Höhe h in Metern. Seine Fallzeit t in Sekunden ermittelt sich dabei mit der Formel t = (h/5m/s2)1/2. Wie lange fällt der Basketball, wenn er aus einem 60 Meter hohen Hochhaus geworfen wird? Was ist gegeben? Gegeben ist die Höhe h = 60 m. Gesucht ist die Fallzeit t in Sekunden. Für die Lösung verwenden wir nun die Formel t = (h/5m/s2)1/2 und setzen den Wert für h ein. Es ergibt sich (60m/5m/s2)1/2. Wir fassen die Werte in der Klammer zusammen, womit 12 s2 übrigbleiben. Die Meter kürzen sich weg und s2 (Quadratsekunde) kommt in den Zähler, da wir durch einen Bruch teilen. Jetzt schreiben wir den Exponenten 1/2 als Wurzel, das heißt, es ergibt sich Wurzel aus 12 s2. Unter Zuhilfenahme des Taschenrechners sind das rund 3,46 s. Die Einheit „Sekunde“ stimmt hier, denn die Wurzel aus Quadratsekunde ist Sekunde. Als Antwort können wir formulieren: Der Basketball fällt circa 3,46 s. Jetzt bist du dran. Geh zum Beispiel auf eine Brücke, von der du weißt, wie groß der Abstand zur Wasseroberfläche ist. Wirf einen Stein herunter und stoppe die Zeit bis zum Aufprall. Danach berechne die Fallzeit wie in der Aufgabe und vergleiche mit deiner gestoppten Zeit. Das war es von mir. Ich danke dir fürs Zuhören und bis zum nächsten Mal.

Potenzausdrücke umformen – Anwendung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Potenzausdrücke umformen – Anwendung kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Formeln zur Berechnung der Oberfläche und des Volumens eines Würfels an.

    Tipps

    Das Volumen eines Quaders ist gegeben durch

    $V=a\cdot b\cdot c$,

    wobei $a$ die Länge, $b$ die Höhe und $c$ die Breite des Quaders ist.

    Der Würfel ist ein spezieller Quader, bei dem alle Kanten gleich lang sind.

    Lösung

    Bei einem Würfel

    • haben alle Kanten die gleiche Länge $a$ und
    • alle Seitenflächen sind kongruente Quadrate mit der Seitenlänge $a$.
    Somit können die folgenden Formeln für die Oberfläche sowie das Volumen angegeben werden:
    • $A_O=6\cdot a^2$ sowie
    • $V=a^3$.

  • Berechne die Oberfläche sowie das Volumen des Würfels.

    Tipps

    Die Formel für die Oberfläche lautet $A_O=6\cdot a^2$.

    Die Formel für das Volumen lautet $V=a^3$.

    Die Gesamtlänge der Würfelkanten ist durch $12\cdot a$ gegeben.

    Lösung

    Wenn mit $120~cm$ Draht ein Würfel angefertigt werden soll, so heißt dies, dass die Summe aller Kanten des Würfels $120~cm$ betragen muss. Wie viele solcher Kanten hat ein Würfel? Es sind $12$!

    Somit muss $12\cdot a=120~cm$ gelten, was äquivalent ist zu $a=\frac{120~cm}{12}=10~cm$.

    Dieses $a$ kann nun in die Formeln für

    • die Oberfläche $A_O=6\cdot a^2=6\cdot (10~cm)^2=6\cdot 100~cm^2=600~cm^2$ sowie
    • das Volumen $V=a^3=(10~cm)^3=1000~cm^3$
    eingesetzt werden.

    Der Würfel hat also eine Oberfläche von $600~cm^2$ sowie ein Volumen von $1000~cm^3$.

  • Bestimme die Zeit, in welcher sich eine Bakterienkultur verachtfacht hat.

    Tipps

    Sei der Anfangsbestand der Bakterienkultur $1000$, so ist der Bestand nach $90~min$ bereits $2000$.

    $8$ ist eine Zweierpotenz.

    Es gilt $8=2^3$.

    Der Bestand muss sich dreimal verdoppeln.

    Lösung

    Da $8$ eine Zweierpotenz, $8=2^3$, ist, muss der Bestand sich dreimal verdoppeln. Bei einem Anfangsbestand von $N_0$:

    • Bestand nach einer Verdoppelung, $90~min$: $N_1=2\cdot N_0$.
    • Bestand nach zwei Verdoppelungen, $180~min$: $N_2=2\cdot N_1=2\cdot 2\cdot N_0=4\cdot N_0$ und
    • Bestand nach drei Verdoppelungen, $270~min$: $N_3=2\cdot N_2=2\cdot 4\cdot N_0=8\cdot N_0$.
    Das heißt, dass sich der Bestand nach $270$ Minuten, das sind $4$ Stunden und $30$ Minuten, verachtfacht hat.

  • Bestimmme die Fallzeit des Basketballs.

    Tipps

    Durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

    Es gilt

    $\sqrt a=a^{\frac 12}$.

    Die Quadratwurzel kehrt das Quadrieren um, das heißt

    $\sqrt{s^2}=s$.

    Lösung

    Um die Fallzeit zu berechnen, wird zunächst die angegebene Höhe $h=60~m$ in die Formel

    $t=\left(\frac{h}{5\frac m{s^2}}\right)^{\frac12}$

    eingesetzt, was zu

    $t=\left(\frac{60~m}{5\frac m{s^2}}\right)^{\frac12}=\left(60~m \cdot \frac{s^2}{5~m}\right)^\frac12$

    führt. Da wir durch einen Bruch teilen wollten, haben wir mit dem Kehrwert multipliziert. Nun kürzt sich die Einheit $m$ noch weg und es ergibt sich

    $t=(12~s^2)^{\frac12}$.

    Potenzen mit rationalen Exponenten können als Wurzel geschrieben werden.

    Somit ist

    $t=\sqrt{12~s^2}=\sqrt{12}~s\approx3,46~s$.

    Basketball fällt aus einer Höhe von $60~m$ also $3,46~s$.

  • Leite her, wie das Volumen des Quaders berechnet werden kann.

    Tipps

    Das Volumen eines Quaders berechnet sich mit der Formel

    $v=a\cdot b\cdot c$,

    wobei

    • $a$ die Länge,
    • $b$ die Breite und
    • $c$ die Höhe des Quaders ist.

    Der abgebildete Quader hat die Höhe $x$.

    Es gilt

    $(a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd$.

    Lösung

    Das Volumen des Quaders wird berechnet mit der Formel

    $v=a\cdot b\cdot c$,

    wobei

    • $a$ die Länge,
    • $b$ die Breite und
    • $c$ die Höhe des Quaders ist.
    Diese Größen sind nun zu bestimmen.
    • Die Höhe des Quaders ist $x$.
    • Die Länge des Quaders ist die Länge des blauen Rechtecks (man könnte auch die des roten nehmen). Diese ist $30~cm-2x$.
    • Die Breite des Quaders ist die Länge des roten Rechtecks. Diese ist $20~cm-2x$.
    Damit kann das Volumen berechnet werden, dabei werden die Maßeinheiten weggelassen:

    $\begin{align*} V&=x\cdot(30-2x)\cdot(20-2x)\\ &=x\cdot(600-40x-60x+4x^2)\\ &=4x^3-100x^2+600x. \end{align*}$

  • Ermittle das Volumen des Quaders, wenn ein Quadrat mit einer Seitelänge von $5~cm$ ausgeschnitten wird.

    Tipps

    Die Maßeinheit ist $cm^3$.

    Setze $x=5$ in der Volumenformel ein.

    Lösung

    Da die Volumenformel bekannt ist, kann der gegebene $x$-Wert in dieser eingesetzt werden:

    $V=4\cdot 5^3-100 \cdot 5^2+600\cdot 5=1000$.

    Die Maßeinheit ist $cm^3$.

    Der Quader fasst das Volumen $1000~cm^3$.