Mit Einheiten rechnen – Division 04:25 min
Transkript Mit Einheiten rechnen – Division
Charlotte und ihr Bruder Gottfried reisen mit der Kutsche von Süddeutschland bis hoch in den Norden. Das ist ziemlich weit, aber sie nehmen die Reise auf sich, weil sie ihren Eltern ihre Kleinen vorstellen wollen. Gottfried findet, dass seine Schwester Charlotte ihren ganzen Stolz, Sophia, ziemlich verwöhnt und Charlotte denkt das Gleiche über Gottfried und seinen geliebten Monty. Beide Geschwister glauben, dass es eine lange und schwierige Reise werden wird. Um herauszufinden, wie lang und wie schwierig, müssen sie Divisionen mit Einheiten durchführen. Die beiden wollen wissen, wann die Reise endlich vorbei ist. Darum behält Gottfried seine Taschenuhr im Auge, während Charlotte immer wieder die Karte studiert. Wenn die beiden bloß miteinander sprechen würden, könnten sie gemeinsam ihre Reisegeschwindigkeit herausfinden. Eine Geschwindigkeit berechnet man, indem man den zurückgelegten Weg durch die benötigte Zeit teilt. Gottfried weiß, dass sie bisher 3 Stunden lang gereist sind, und er ist schrecklich genervt davon, dass seine Schwester die gesamten 3 Stunden mit Sophia gespielt hat. Charlotte sieht auf der Karte, dass sie 21 Kilometer hinter sich gebracht haben. Für sie bedeutet das, sie musste 21 Kilometer lang zuschauen, wie ihr Bruder Monty verwöhnt. Um die Reisegeschwindigkeit herauszufinden, teilen wir den Weg durch die Zeit, also 21 Kilometer durch 3 Stunden. 21 geteilt durch 3 zu rechnen ist einfach, das Ergebnis lautet 7. Aber was ist mit den Einheiten? Da wir unterschiedliche Einheiten miteinander verrechnen, können wir sie nicht einfach wegkürzen. Wir schreiben kurz h für Stunden und können den Bruch so umformen dann erhalten wir die Einheit Kilometer pro Stunde, kurz km/h. Das bedeutet, dass die beiden in jeder Stunde 7 Kilometer hinter sich bringen. Gottfried findet es furchtbar, wie Charlotte unentwegt mit Sophias Rassel herumspielt. Sie rasselt 12-mal pro Stunde und an ihrem ersten Tag waren sie 8 Stunden lang unterwegs. Gottfried möchte wissen, wie oft seine Schwester mit der Rassel gespielt hat. Er multipliziert 12-mal Rasseln pro Stunde mit der Anzahl der Stunden, also 8. Schau, die Einheit "Stunden" lässt sich kürzen. Das bedeutet, Charlotte hat an einem Tag 96-mal mit der Rassel gespielt. 96-mal zu oft für Gottfrieds Geschmack. Aber auch Charlotte hat Grund, sich zu beschweren. Denn Gottfried gibt seinem geliebten Monty immer wieder Kaviar, bietet ihr aber keinen an. 5-mal am Tag füttert er sein Goldstück. Die Reise dauert 6 Tage, wie oft gibt es also Kaviar für den Kleinen? Dazu können wir die Anzahl der Fütterungen pro Tag mal die Anzahl der Tage nehmen. 5 Fütterungen pro Tag mal die Reisezeit von 6 Tagen ergibt die Gesamtzahl der Fütterungen in 6 Tagen. Schau, die Einheit "Tage" findet sich sowohl im Zähler als auch im Nenner. Sie kürzt sich also weg. In den 6 Tagen isst Monty 30-mal Kaviar. Der muss ihm doch zu den Ohren rauskommen. Fassen wir zusammen. Bei manchen Divisionen mit Einheiten sind die Einheiten unterschiedlich und lassen sich nicht kürzen. Diese Einheiten bleiben dann stehen und bilden zusammen die Einheit des Ergebnisses. Im ersten Beispiel ist aus den Einheiten "Kilometer" und "Stunde", "Kilometer pro Stunde" entstanden. In anderen Fällen lassen sich Einheiten kürzen. Das passiert nur, wenn sich die Einheit sowohl im Zähler als auch im Nenner findet. Im Beispiel mit der Rassel konnte man die Einheit "Stunden" kürzen. Im Beispiel mit dem Kaviar konnte man die Einheit "Tage" kürzen. Endlich haben Charlotte und Gottfried die Reise hinter sich gebracht. Und Oma und Opa können endlich die Kleinen kennenlernen, von denen sie schon so viel gehört haben.
Videobeschreibung
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Divisionen von Zahlen mit Einheiten durchzuführen.
Zunächst lernst du, welche Größe du in welcher Einheit angibst. Anschließend siehst du, wie du in einer Berechnung die Einheiten zu betrachten hast. Abschließend lernst du, dass du in manchen Beispielen Einheiten auch kürzen kannst, falls diese im Nenner und im Zähler eines Bruchs vorkommt.
Lerne etwas über das Rechnen mit Einheiten.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Einheit, Geschwindigkeit, Weg, Strecke, Zeit, Rate, Meter, Kilometer, Stunde, Sekunde, Anzahl, Division und kürzen.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, welche Einheiten einige wichtige Größen haben.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Rechnungen mit Berücksichtigung der Einheiten zu lernen.
Die Tutoren:
Mit Einheiten rechnen – Division
Mit Einheiten rechnen – Division Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mit Einheiten rechnen – Division kannst du es wiederholen und üben.
-
Berechne die Geschwindigkeit der Reise.
Tipps
Eine Geschwindigkeit gibt an,
- wie viel Strecke in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird oder
- wie viel Zeit für eine bestimmte Strecke benötigt wird.
„Stunde“ heißt auf Englisch „hour“, was man mit „h“ abkürzen kann.
Lösung
Auf ihrer Reise legen Gottfried und Charlotte die ersten $21$ Kilometer in $3$ Stunden zurück. Um die Reisegeschwindigkeit zu berechnen, müssen sie den zurückgelegten Weg durch die benötigte Zeit teilen.
- Eine Geschwindigkeit gibt an, wie viel Strecke in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird (oder wie viel Zeit man für eine bestimmte Strecke benötigt). Um eine Geschwindigkeit zu berechnen, teilst du also immer eine Strecke durch eine Zeit.
$\text{Geschwindigkeit}=\frac{\text{Weg}}{ \text{Zeit}} $
Dann setzen sie die Zahlenwerte ein und erhalten:
$\text{Geschwindigkeit}=\frac{21~ \text{km}}{3~ \text{Stunden}} $
- Um die Geschwindigkeit zu berechnen, setzt du die Zahlenwerte in die Gleichung ein und rechnest aus.
$\text{Geschwindigkeit}=\frac{21}{3 }~ \frac{ \text{km}}{ \text{Stunden}}=7~ \frac{ \text{km}}{ \text{Stunden}}$
Sie wissen, dass man Stunden normalerweise mit $\text{h}$ abkürzt, also beschreiben sie die Reisegeschwindigkeit durch:
$\text{Geschwindigkeit}=7 ~\frac{ \text{km}}{ \text{h}}$
- Um sich Schreibarbeit zu sparen, kürzt man Stunden normalerweise mit „$\text{h}$“ (englisch: hour) ab.
-
Berechne die Anzahl der Fütterungen für Monti.
Tipps
Um die gesamte Anzahl an Fütterungen zu bestimmen, multiplizierst du die Fütterungsrate mit der Anzahl der Tage.
Wenn du dir einen besseren Überblick über die Rechnung verschaffen möchtest, schreibe sie so um, dass Gleiches bei Gleichem steht (also Zahlen bei Zahlen und Einheiten bei Einheiten).
Lösung
Die Menge des Kaviars berechnet sich durch:
$\frac{5~ \text{F}\ddot{\text{u}}\text{tterungen}}{\text{Tag}} \cdot 6~ \text{Tage}$
- Um die gesamte Anzahl der Fütterungen zu bestimmen, multiplizierst du die Rate der Fütterungen mit der Anzahl der Tage.
$ 5 \cdot 6 ~\frac{ \text{F}\ddot{\text{u}}\text{tterungen} \cdot \text{Tage}}{\text{Tag}} $
- Um dir einen Überblick über die Rechnung zu verschaffen, ist es immer hilfreich, die Rechnung so umzuschreiben, dass Gleiches bei Gleichem steht.
$ 30~ \frac{ \text{F}\ddot{\text{u}}\text{tterungen} \cdot \text{Tage}}{\text{Tag}} $
Und schließlich die Einheiten:
$ 30~ \text{F}\ddot{\text{u}}\text{tterungen} $
- In der Mathematik verrechnen wir nämlich am liebsten Gleiches mit Gleichem (hier also Zahlen mit Zahlen und Einheiten mit Einheiten). Diese Rechnungen führen wir schrittweise nacheinander durch.
- Den Antwortsatz nicht vergessen!
-
Entscheide, welche Lösung zu welcher Rechnung gehört.
Tipps
Geschwindigkeiten erhältst du, indem du die eine Strecke durch eine Zeit teilst.
Längen erhältst du durch Multiplikation einer Geschwindigkeit mit einer Zeit.
Lösung
Um die Lösungen zuzuordnen, musst du die Geschwindigkeiten bzw. Längen berechnen. Die Geschwindigkeiten erhältst du, indem du die Strecke durch die Zeit teilst. Zum Beispiel:
$\text{Geschwindigkeit}=\frac{ 10~\text{km}}{ 5~\text{h}}=2 ~\frac{ \text{km}}{ \text{h}}$
Die Längen erhältst du durch Multiplikation der Geschwindigkeiten mit den Zeiten. Beispielsweise:
$\text{Weg}= 5~\frac{ \text{km}}{ \text{h}} \cdot 3~\text{h} =15~\text{m}$
Damit können den Rechnungen folgende Lösungen zugeordnet werden:
1) In $5$ Stunden werden $10$ Kilometer zurückgelegt.
$\text{Geschwindigkeit}=\frac{10~\text{km}}{5~\text{h}}=2 ~\frac{ \text{km}}{ \text{h}}$
2) Du reist $3$ Stunden lang mit einer Geschwindigkeit von $5 ~\frac{ \text{km}}{ \text{h}}$.
$\text{Weg}=5~\frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot 3~\text{h}=15~\text{km}$
3) Eine Rakete legt $300$ Meter in $20$ Sekunden zurück.
$\text{Geschwindigkeit}=\frac{300~\text{m}}{20~\text{s}}=15 ~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$
4) Ein Skateboard rollt $8$ Sekunden lang mit einer Geschwindigkeit von $2~ \frac{ \text{m}}{ \text{s}}$.
$\text{Weg}=2~\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 8~\text{s}=16~\text{m}$
-
Entscheide, wozu die Rechenschritte gehören.
Tipps
Rechne rückwärts, um zu bestimmen, welche Rechenschritte zu den Lösungen gehören.
Überlege dir, wie du die Zahlenwerte mit Einheiten noch ausdrücken kannst. Frage dich also zum Beispiel, durch welche Multiplikation zweier Zahlen du das gegebene Ergebnis erhalten kannst.
Lösung
Um zu bestimmen, welche Rechenschritte zu den Lösungen gehören, rechnen wir rückwärts. Wir überlegen uns also, wie wir die gegebenen Zahlenwerte mit Einheiten noch ausdrücken können.
- Zur Lösung $\frac{5}{3}~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$ gehören:
$\frac{5}{3}~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$
$=\frac{5~ \text{m}}{3~ \text{s}}$
Schreibst du jeweils die Zahlen und Einheiten in einen getrennten Bruch, erhältst du $\frac{5}{3}~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$.
$\approx 1,66~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$
Das erhältst du durch Berechnen des Bruchs $\frac{5}{3}~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$.
- Zur Lösung $15~ \text{m}$ gehören:
$=5~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}\cdot 3 \text{s}$
$=5\cdot 3~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}\cdot \text{s}$
$=15~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}\cdot \text{s}$
- Zur Lösung $80~ \text{m}$ gehören:
$=10~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}\cdot 8 \text{s}$
$=10\cdot 8~ \text{m}$
-
Bestimme die korrekten Aussagen zum Rechnen mit Einheiten.
Tipps
Ein Teiler ist eine Zahl, durch die du eine andere Zahl ohne Rest teilen kannst. $12$ hat zum Beispiel die Teiler $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
Um einen Bruch aus Einheiten verschwinden zu lassen, kann man beispielsweise folgendes tun:
$\begin{array}{llll} &=&\frac{\text{km}}{ \text{h}} \vert \cdot \text{h} & \\ &=& \frac{\text{km} \cdot \text{h}}{ \text{h}} \\ &=& \text{km} & \end{array}$
Lösung
Diese Aussagen sind falsch:
- Stehen im Nenner und Zähler eines Bruchs unterschiedliche Einheiten, kann man diese kürzen.
$\frac{\text{km} \cdot \text{h}}{ \text{h}}= \text{km} $
- Sind Einheiten in einem Bruch gegeben, kann man den Bruch verschwinden lassen, indem man mit dem Zähler des Bruchs multipliziert.
$\begin{array}{llll} &=&\frac{\text{km}}{ \text{h}} \vert \cdot \text{h} & \\ &=& \frac{\text{km} \cdot \text{h}}{ \text{h}} \\ &=& \text{km} & \end{array}$
Diese Aussagen sind wahr:
- Möchte man zwei Zahlen mit Einheiten verrechnen, verrechnet man Zahlen und Einheiten getrennt.
- Stehen im Nenner und Zähler eines Bruchs Zahlen mit gleichen Teilern, kann man diese kürzen.
- Nur wenn im Nenner und Zähler eines Bruchs gleiche Einheiten stehen, kann man diese kürzen.
-
Erschließe wie man Einheiten umrechnet.
Tipps
Die Vorsilbe "Kilo" zeigt immer an, dass die Einheit mit $1000$ multipliziert wurde.
Lösung
Folgendes muss in den Lückentext eingesetzt werden:
- Ein Kilometer entspricht $1000$ Metern.
- Ein Meter entspricht $\frac{1}{1000}$ Kilometer.
- Eine Stunde hat $60$ Minuten.
- Eine Sekunde entspricht $\frac{1}{3600}$ Stunde.
- Die Umrechnung von Meter auf Kilometer lautet:
- Die Umrechnung von Sekunde auf Stunde lautet:
Um durch einen Bruch zu teilen, muss man mit dem Kehrbruch multiplizieren. Deshalb gilt:
$ \frac{1}{\frac{1}{3600}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{3600}{1} = 3600$
Allgemein kannst du die eine Geschwindigkeit in der Einheit $\frac{ \text{m}}{ \text{s}}$ in die Einheit $\frac{ \text{km}}{ \text{h}}$ umrechnen, indem du mit dem Faktor $3,6$ multiplizierst.
$1~\frac{ \text{m}}{ \text{s}}= \frac{3600}{1000} \frac{ \text{km}}{ \text{h}}= 3,6 \frac{ \text{km}}{ \text{h}}$
14 Kommentare
kaviar🤣🤣🤣
#5sterne
NNNNNNNNNNNNNNNNNNIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIICCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCEEEEEEEEEEEEEEEE
Ok!
@Decotrade:
Um die Geschwindigkeit zu berechnen, brauchen wir eine Angabe zur Zeit und eine Angabe zum Weg.
Die Zeit hat hier als EInheit "Stunden", der Weg hat als EInheit "Kilometer".
Deshalb setzt man dann in der Formel 21km für "Weg" ein und 3h für "Zeit".
Mit "Fach-Chat" ist der Hausaufgabenchat gemeint. Der findet immer montags bis freitags von 17 bis 19 Uhr statt. Dort kannst du uns Fragen stellen, wenn du etwas bestimmters nicht verstanden hast oder Hilfe bei einer Aufgabe brauchst.
Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!