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Logarithmus – Einführungsbeispiele 05:51 min

Textversion des Videos

Transkript Logarithmus – Einführungsbeispiele

Hallo! Hier kommen ein paar einfache Beispiele zu den Logarithmen. Und ich habe mir Folgendes gedacht: Wir suchen den Logarithmus zu Basis 2 von 4. Kleine Anmerkung noch zur Schreibweise, es ist manchmal so, dass in Büchern die 4 hier eingeklammert werden muss. Ich weiß nicht, wozu ich mich entscheiden soll. Was ich hier am besten vortragen soll. Mit Klammer oder ohne Klammer. Vielleicht mache ich es manchmal mit, manchmal ohne, ich habe keine Ahnung, wie es am besten ist. Ich hoffe du kannst das dann einschätzen, manchmal kommt da, also man kann es mit Klammer schreiben, man kann es aber auch ohne Klammer schreiben. Zumindest wenn hier einfach nur eine Zahl steht. Wann Klammern nötig sind, machen wir später. Komme ich noch zu. Hier mit Klammer oder ohne, beides ist üblich. Was ist jetzt log2(4)? Da behaupte ich mal, dass das 2 ist. Denn der Logarithmus stellt ja die Frage: Mit welcher Zahl muss ich 2 potenzieren damit 4 rauskommt? Und wie du hoffentlich mir auch zustimmen wirst, ist 22=4, also die Zahl mit der man 2 potenzieren muss damit 4 rauskommt die ist =2. Dann habe ich log2(32). Schreibe ich jetzt ohne Klammer. Was mag das sein? Wir können ja mal überlegen wie müssen wir denn 2 potenzieren, damit 32 rauskommt? Fangen wir an, 21=2, 22=4, 23=8, 24=16, 25=32, also kommt hier eine 5 hin. Begründung kann ich auch dazuschreiben. Die muss man nicht immer dazuschreiben, aber ich mach das jetzt hier mal, denn 25=32. So und dann habe ich noch log3(27), schreibe ich jetzt wieder mit Klammer hier, oder man kann auch sagen log27(3). Da behaupte ich mal, dass das 3 ist, denn 33=27. Nicht wahr, kannst du gerne nachrechnen eben. 3×3=9, ×3=27, also die Zahl mit der man 3 potenzieren muss damit 27 herauskommt ist 3. Dann log4(64). Stimmt das? Ja! log4(64), was mag das sein? Wir rechnen 4×4=16, 16×4=64, das heißt, der log4(64)=3 denn 43=64. Also die Zahl, mit der man 4 potenzieren muss, damit 64 rauskommt oder damit man 64 erhält, ist die 3. Warum sind die Würfel hier? Bisschen als Deko, bisschen aber auch um zu zeigen, dass du Aufgaben dir auch selber ausdenken kannst. Du kannst zum Beispiel hier einen Würfel mal nehmen und die Basis ausrechnen. Das ist jetzt die 6. Ja, ich nehme mal die 5 vielleicht. 55, ich habe 2 5en gewürfelt, das kann ich nicht rechnen. 51 warum nicht. Das wäre so eine zufällige Aufgabe, die man sich mal hier vergegenwärtigen könnte. Du kannst dir selber Aufgaben ausdenken, und zwar indem du zunächst mal rechnest 5^ -das was ich hier jetzt gewürfelt habe ist 1- also 51=5 und dann könntest du dich fragen, was ist der log5(5). Also hier die Frage mit welcher Zahl muss man 5 potenzieren damit 5 rauskommt? Antwort ist 1. Die Antwort weißt du dann vorher schon, denn du hast ja die Potenz vorher ausgerechnet. Es gibt übrigens auch Würfel, wo dann kleine Würfel noch mit drin sind, wie hier. Da kann ich sagen, das, was innen drinnen ist, das ist die Potenz und das, was außen ist, das ist die Basis. Ich probiere das Mal. Ich habe hier 33 jetzt. Ich kann 33 ausrechnen, dann bin ich wieder bei derselben Aufgabe, die ich schon hatte. Ich rechne 33 aus das ist 27 und hinterher frage ich mich, mit welcher Zahl muss ich 3 potenzieren damit 27 rauskommt, also log3(27)=3. So kannst du selber dir Aufgaben erwürfeln. Zum Beispiel damit du ein gutes Gefühl für diesen Logarithmus bekommst. Dann viel Spaß damit. Tschüss!

7 Kommentare
  1. @ Bmevert:
    Das ist ungewöhnlich. Das Video funktioniert hier einwandfrei. Versuche das Video mit einem anderen Browser zu öffnen (zum Beispiel Firefox oder Chrome). Wenn du weiterhin technische Probleme beim Abspielen der Videos haben solltest, kannst du dich gerne an unseren support unter support@sofatutor.com wenden. Ich hoffe, dass sie dir weiterhelfen können.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 4 Jahren
  2. Leider funktioniert das Video auch nicht mit Ihrem Tipp.
    Über die App funktioniert es auch nicht. Wie lässt sich das Problem lösen?

    Von Bmb, vor mehr als 4 Jahren
  3. @Fix Petra:
    Bitte logge dich bei sofatutor aus und schließe deinen Browser (Firefox, Safari, Internet Explorer ...). Stelle sicher, dass alle Fenster deines Browser auch wirklich geschlossen sind. Öffne ihn dann erneut und logge dich wieder bei sofatutor ein und versuche es erneut.
    Wenn du weiterhin technische Probleme beim Abspielen der Videos haben solltest, kannst du dich gerne an unseren support unter support@sofatutor.com wenden. Sie werden dir dann weiterhelfen.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 5 Jahren
  4. Video kann man nicht anschauen... Was tun?

    Von Fix Petra, vor fast 5 Jahren
  5. @Tanja Der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist 3. Dann erhält man die Basis, wenn man die dritte Wurzel aus 8 zieht.
    Der Logarithmus zur Basis 3 von 81 ist 4. Man erhält die Basis, wenn man die vierte Wurzel aus 81 zieht.
    Hilft dir das?

    Von Martin Wabnik, vor fast 5 Jahren
  1. Wenn alles gegeben ist, außer der Basis, wie bekommt man die heraus? Habe keine Ahnung und wäre toll, wenn ich eine Antwort bekäme.

    Von Hermer Tanja, vor fast 5 Jahren
  2. fand ich toll :)

    Von Domag, vor mehr als 7 Jahren
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Logarithmus – Einführungsbeispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmus – Einführungsbeispiele kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zum Logarithmus.

    Tipps

    Der Logarithmus beantwortet die Frage, mit welcher Zahl eine Basis potenziert werden muss, damit ein gegebener Potenzwert herauskommt.

    Es ist zum Beispiel $5^3=125$, also ist umgekehrt $\log_5125=3$.

    Die Zahl, die im Logarithmus in der Basis steht, steht auch in der Potenz in der Basis.

    Lösung

    Gesucht ist der Logarithmus zur Basis $2$ von $4$:

    $\log_24=?$.

    Der Logarithmus besitzt den Wert $2$, denn der Logarithmus beantwortet die Frage, mit welcher Zahl $2$ potenziert werden muss, damit $4$ herauskommt.

    Es gilt $2^2=4$, also ist $\log_24=2$.

  • Schreibe die Potenzgleichung in eine Logarithmusgleichung um.

    Tipps

    Es gilt zum Beispiel $4^5=1024$. Also ist umgekehrt: $\log_41024=5$.

    Die Zahl, welche bei der Potenz in der Basis steht, steht bei dem Logarithmus ebenfalls in der Basis.

    Lösung

    Man kann sich die folgende Äquivalenz einprägen:

    $b^c=a~\Leftrightarrow~\log_ba=c$.

    Der Logarithmus beantwortet also die Frage, mit welcher Zahl eine Basis potenziert werden muss, damit man den gegebenen Potenzwert erhält.

    • Da $5^1=5$ gilt, ist umgekehrt $\log_55=1$.
    • Da $3^3=27$ gilt, ist umgekehrt $\log_327=3$.

  • Berechne die Logarithmen.

    Tipps

    Der Logarithmus beantwortet die Frage, mit welcher Zahl eine Basis potenziert werden muss, um einen bestimmten Potenzwert zu erhalten.

    Die Basis des Logarithmus ist auch die Basis der Potenz: Du kannst die entsprechende Potenzreihe berechnen, bis du bei dem Potenzwert angelangt bist.

    Der Logarithmus kehrt das Potenzieren bei unbekanntem Exponenten um.

    Lösung

    Gesucht ist der Logarithmus zur Basis $2$ von $32$, also können wir auch die Frage stellen: Womit muss $2$ potenziert werden, damit $32$ heraus kommt? Die Antwort ist $5$, denn $2^5=32$.

    Somit ist $\log_232=5$.

    Ebenso ist der Logarithmus zur Basis $3$ von $27$ dadurch zu bestimmen, dass man sich überlegt, womit man $3$ potenzieren muss, damit $27$ heraus kommt. Es gilt $3^3=27$. Also ist $\log_327=3$.

    Wenn man weiß, dass $4^3=64$ ist, kann man umgekehrt folgern, dass $\log_464=3$ ist.

  • Arbeite heraus, wie der Logarithmus zur Basis $5$ von $0,04$ berechnet werden kann.

    Tipps

    Du kannst $0,04$ als Potenz mit Basis $5$ schreiben.

    Es gilt $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Das Ergebnis ist eine negative Zahl.

    Lösung

    Gesucht ist der Logarithmus zur Basis $5$ von $0,04$.

    Die Frage hierzu lautet: Womit muss $5$ potenziert werden, damit man als Potenzwert $0,04$ erhält?

    Um diese Frage zu beantworten, muss man $0,04$ als Potenz mit der Basis $5$ schreiben:

    $0,04=\frac{4}{100}=\frac{1}{25}=\frac1{5^2}$.

    Nun kann man die Potenzregel anwenden, welche besagt, dass eine Potenz mit einem negativen Exponenten als Bruch geschrieben werden kann: $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

    Also ist $0,04=\frac1{5^2}=5^{-2}$.

    Umgekehrt bedeutet dies, dass $\log_5 0,04=-2$ ist.

  • Bestimme die Lösung des Logarithmus.

    Tipps

    Der Logarithmus beantwortet die Frage, mit welcher Zahl eine Basis potenziert werden muss, um einen bestimmten Potenzwert zu erhalten.

    Die Basis der Potenz ist auch die Basis des Logarithmus.

    Die Potenzgleichung ist die Begründung für die Logarithmusgleichung.

    Lösung

    Man kann allgemein die folgende Verbindung beschreiben:

    $b^c=a~\Leftrightarrow~\log_ba=c$.

    Dabei kann man sich merken:

    • Die Basis bei der Potenz ist auch die Basis beim Logarithmus.
    • Der Exponent wandert auf die rechte Seite des Gleichheitszeichens und
    • der Potenzwert auf die linke.
    Der Exponent und der Potenzwert haben die Rollen getauscht. Das liegt daran, dass der Logarithmus die Umkehrung vom Potenzieren bei unbekanntem Exponenten ist.
    1. $2^6=64~\Leftrightarrow~\log_264=6$.
    2. $6^2=36~\Leftrightarrow~\log_636=2$.
    3. $7^3=343~\Leftrightarrow~\log_7343=3$.
    4. $3^7=2187~\Leftrightarrow~\log_32187=7$.

  • Leite her, nach wie vielen Perioden sich die Zellzahl um den Faktor $128$ vergrößert hat.

    Tipps

    Da sich die Zellen immer wieder in zwei Zellen teilen, kannst du die Basis erkennen.

    Mit welcher Zahl musst du $2$ potenzieren, um $128$ zu erhalten?

    Gesucht ist der Logarithmus zur Basis $2$ von $128$.

    Lösung

    Da die Zellen sich immer in zwei Zellen teilen, liegt eine Zweierpotenz vor, das heißt, die Basis ist $2$.

    Die Frage lautet: Mit welcher Zahl muss $2$ potenziert werden, damit man $128$ erhält?

    • Am Anfang – es gab noch keine Periode – liegt $2^0=1$ Zelle vor.
    • Nach einer Periode beträgt die Anzahl der Zellen zwei,
    • nach zwei Perioden vier,
    • nach drei Perioden acht,
    • nach vier Perioden sechzehn,
    • nach fünf Perioden $32$,
    • nach sechs Perioden $64$ und
    • nach sieben Perioden $128$.
    Bei noch größeren Potenzwerten ist dies ein recht aufwändiges Verfahren.

    Man kann hier den Logarithmus verwenden: $\log_2128=7$.

    Nach sieben Perioden hat sich die Anzahl der Zellen um den Faktor $128$ vergrößert.