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Wer ist dieser Logarithmus?

Der Logarithmus hat viel mit Potenzen zu tun. Um genau zu sein: Das Logarithmieren ist die Umkehroperation zum Potenzieren. Wir wollen ein näheres Verständnis von Logarithmen entwickeln:

  • Du weißt bestimmt, dass $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 =16$ ist.
  • Angenommen, du wüsstest dies nicht: Mit welcher Zahl müsste $2$ potenziert werden, damit $16$ herauskommt?

Diese Frage führt uns zu der Gleichung $2^x=16$. Das sieht ganz schön kompliziert aus. Aber der Logarithmus kann uns helfen.

Er beantwortet nämlich die Frage: „Mit welcher Zahl muss man $2$ potenzieren, damit $16$ herauskommt?“

Die Lösung der Gleichung $2^x=16$ ist gegeben durch $x=\log_2{16}$.

Etwas allgemeiner können wir sagen, dass die Gleichung $a^x=b$ durch $y=\log_a{b}$ gelöst wird. Der rechte Teil der Gleichung wird „Logarithmus zur Basis $a$ von $b$“ genannt.

Wir halten schon einmal fest, dass die Basis eines Logarithmus positiv sein muss, weil die Potenz einer positiven Zahl auch immer positiv ist.

Spezielle Logarithmen

Grundsätzlich kann man alle Logarithmen so aufschreiben, wie oben zu sehen. Manche Logarithmen werden allerdings so häufig verwendet, dass sich eine eigene Schreibweise entwickelt hat. Hier die bekanntesten:

  • Der Logarithmus zur Basis $10$ wird auch als dekadischer Logarithmus bezeichnet und schreibt sich abkürzend so: $\log_{10}=\lg$.
  • Der Logarithmus zur Basis $e\approx2,71828$, der Euler'schen Zahl, wird als Logarithmus naturalis bezeichnet: $\log_e=\ln$.
  • Der Logarithmus zur Basis $2$ wird auch als Logarithmus dualis bezeichnet: $\log_{2}= \text{ld}$.

Die ersten beiden Logarithmen findest du auch auf deinem Taschenrechner. Die Schreibweise $\text{ld}$ wird nicht so häufig verwendet.

Bezeichnungen

Auf den ersten Blick kann eine neue Schreibweise sehr verwirren. Wir sollten uns daher klar machen, wie so ein Logarithmus aufgebaut ist.

976_ld_Bezeichnungen.jpg

Hier siehst Du den Zusammenhang zwischen Potenzieren (links) und Logarithmieren (rechts) am Beispiel des Logarithmus dualis sowie die zugehörigen Bezeichnungen.

  • Die Basis der Potenz ist auch die Basis im Logarithmus. Weil die Basis hier $2$ ist, können wir anstelle von $\log_2$ auch $\text{ld}$ schreiben.
  • Der Exponent $x$ ist die gesuchte Zahl und steht praktischerweise isoliert auf der linken Seite der „Logarithmus-Gleichung“.
  • Der Potenzwert $b$ wird zum Argument des Logarithmus. Er wird auch als Numerus bezeichnet.

Die Logarithmengesetze

Die Logarithmengesetze gelten für jede beliebige Basis $a$ eines Logarithmus und damit auch für die oben genannten speziellen Logarithmen.

1., 2. und 3. Logarithmengesetz

Das 1. Logarithmusgesetz sagt etwas über die Addition von Logarithmen aus:

$\log_a(u\cdot v)=\log_a(u)+\log_a(v)$

Das 2. Logarithmusgesetz sagt analog etwas über die Subtraktion von Logarithmen aus:

$\log_a\left(\frac uv\right)=\log_a(u)-\log_a(v)$

Das 3. Logarithmusgesetz handelt von Potenzen in Logarithmen:

$\log_a(u^r)=r\cdot \log_a(u)$

Das 3. Gesetz gilt auch für Wurzeln, da Wurzeln bekanntlich auch als Potenz geschrieben werden können:

$\log_a(\sqrt[r]u)=\frac1r\cdot \log_a(u)$

Beispiele

Einfache Exponentialgleichungen

Eine Gleichung, in welcher die Unbekannte im Exponenten steht, heißt Exponentialgleichung.

Da das Logarithmieren die Umkehrung des Potenzierens ist, kannst du einige Exponentialgleichungen lösen, wenn du umgekehrt die Potenzen kennst. Hier siehst du einige Beispielaufgaben:

  • $\log_3(9)=2$, da $3^2=9$ ist.
  • $\log_5(125)=3$, da $5^3=125$ ist.
  • $\log_7(2401)=4$, da $7^4=2401$ ist.

Das Ergebnis kann auch negativ oder rational sein. Schaue dir hierfür die folgenden Beispiele an:

  • $0,5=2^{-1}$ und damit ist ld$(0,5)=-1$.
  • $\sqrt 3=3^{\frac12}$ und damit ist $\log_3(\sqrt 3)=\frac12$.

Bei den letzten Beispielen kannst du erkennen, dass die Lösung auch nicht ganzzahlig sein muss. Auch ahnst du vielleicht, dass nicht alle Lösungen mit dieser Methode ermittelt werden können.

Lösen einer Exponentialgleichung

Für kompliziertere Fälle hilft uns der dekadische Logarithmus $\lg$ weiter. Er kann dir auch helfen, wenn die Basis nicht $10$ ist. Schauen wir uns das folgende Beispiel an. Es gibt offensichtlich keine „einfache“ Lösung:

$3^x=32$

Zuerst wendest du auf beiden Seiten der Gleichung den $\lg$ an und erhältst so:

$\lg\left(3^x\right)=\lg(32)$

Nun verwendest du das 3. Logarithmusgesetz:

$x\cdot \lg\left(3\right)=\lg(32)$

Zuletzt dividierst du durch $\lg(3)$ und hast die Lösung der obigen Gleichung gefunden:

$x=\frac{\lg(32)}{\lg(3)}\approx 3,155$

Dieser Trick mit $\lg$ ist sehr hilfreich. Du solltest ihn dir auf jeden Fall merken.

Alltagsbeispiel

Paul legt $1000~€$ zu einem jährlichen Zinssatz von $3,5~\%$ an. Mit der Zinsrechnung kannst du Pauls Kapital nach $n$ Jahren berechnen:

$K_n=1000\cdot \left(1+\frac{3,5}{100}\right)^n=1000\cdot 1,035^n$

Paul möchte nun wissen, wie lange er sein Kapital anlegen muss, damit er $1675~ €$ hat. Er muss die folgende Gleichung lösen:

$1675=1000\cdot 1,035^n$

Die unbekannte Größe steht im Exponenten. Wir benötigen zum Lösen der Gleichung also den Logarithmus.

Zunächst wird auf beiden Seiten durch $1000$ dividiert:

$1,675=1,035^n$

Dann wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung $\lg$ an. Die Lösung der Gleichung ändert sich wie anderen Äquivalenzumformungen nicht.

$\lg(1,675)=\lg(1,035^n)$

Nun verwenden wir das 3. Logarithmengesetz:

$\lg(1,675)=n \cdot \lg(1,035)$

Diese Gleichung wird gelöst durch

$n=\frac{\lg(1,675)}{\lg(1,035)}\approx 15$

Das bedeutet, dass Pauls Geldhaufen nach ungefähr $15$ Jahren auf $1675~ €$ angewachsen ist.

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