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Logarithmen und Logarithmusgesetze

Wenn du eine Exponentialgleichung lösen möchtest, musst du logarithmieren.

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Was bedeutet logarithmieren?

Das Logarithmieren ist die Umkehraufgabe zum Potenzieren.

Es ist $2^{5}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$.

Möchtest du nun umgekehrt wissen, für welchen Exponenten $x$ die Gleichung $2^{x}=32$ erfüllt ist, so musst du entweder wissen, dass $2^{5}=32$ ist oder die Umkehraufgabe lösen.

Hier hilft der Logarithmus weiter.

Er beantwortet nämlich folgende Frage: „Mit welcher Zahl $x$ muss man die Zahl $2$ potenzieren, damit der Potenzwert $32$ resultiert?“ Die Lösung der Gleichung $2^{x}=32$ ist gegeben durch $x=\log_2{32}$.

Allgemein können wir schreiben, dass die Gleichung $a^{x}=b$ die Lösung $x=\log_a{b}$ besitzt. Der Ausdruck $\log_{a}b$ wird „Logarithmus zur Basis $a$ von $b$“ genannt. Dabei muss die Basis eines Logarithmus positiv sein. Warum? Die Potenz einer positiven Zahl ist immer positiv ist.

Spezielle Logarithmen

Betrachten wir nun spezielle Basen $a$ für den Logarithmus $\log_{a}$:

  • Für $a=10$ erhalten wir den dekadischen Logarithmus: $\log_{10}=\lg$
  • Für $a=e$, also die Euler'sche Zahl, folgt der Logarithmus naturalis: $\log_e=\ln$
  • Für $a=2$ erhalten wir den Logarithmus dualis: $\log_{2}= \text{ld}$

Die Logarithmusgesetze

In vielen verschiedenen Anwendungsaufgaben benötigst du Rechenregeln zum Rechnen mit Logarithmen. Diese sind durch die jeweiligen Logarithmusgesetze gegeben.

  1. Logarithmusgesetz: $\log_{a}\left(u\cdot v\right)=\log_{a}\left(u\right)+\log_{a}\left(v\right)$
  2. Logarithmusgesetz: $\log_{a}\left(\frac uv\right)=\log_{a}\left(u\right)-\log_{a}\left(v\right)$
  3. Logarithmusgesetz: $\log_{a}\left(u^{r}\right)=r\cdot \log_{a}\left(u\right)$