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Logarithmus – Negative Zahlen und Brüche als Exponenten

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Team Digital
Logarithmus – Negative Zahlen und Brüche als Exponenten
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Logarithmus – Negative Zahlen und Brüche als Exponenten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmus – Negative Zahlen und Brüche als Exponenten kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib den Wert des Logarithmus mithilfe des Potenzgesetzes für Brüche an.

    Tipps

    Allgemein gilt:

    $a^x=b \quad \Leftrightarrow \quad x= \log_{a}{b}$

    Beispiel:

    $4^{-2} = \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}$

    Lösung

    Mit dem Logarithmus kannst du eine Potenzgleichung nach dem Exponenten auflösen. Dabei gilt:

    $a^x=b \quad \Leftrightarrow \quad x= \log_{a}{b}$

    Wir können den Logarithmus ebenfalls auf Brüche anwenden. Wir betrachten dazu ein Beispiel:

    Gesucht ist die Zahl $x$:

    $x= \log_{2}{\dfrac{1}{8}}$

    Wir können dies auch schreiben als:

    $2^x = \color{#00CC99}{\dfrac{1}{8}}$

    Um diese Gleichung zu lösen, hilft uns das Potenzgesetz für Brüche. Es lautet:

    $\dfrac{1}{a^n}= \color{#00CC99}{a^{-n}}$

    Wir können damit also ebenso schreiben:

    $2^x = \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3} = \color{#00CC99}{2^{-3}}$

    Kurz gefasst:

    $2^x = 2^{-3}$

    Wir erkennen demnach:

    $x= \color{#00CC99}{-3}$

    Damit ergibt sich:

    $\log_{2}{\dfrac{1}{8}} = \color{#00CC99}{-3}$

  • Forme die Logarithmusgleichung um.

    Tipps

    $x= \log_{a}{b}$

    Wir sprechen dabei von:

    • $a$: Basis
    • $b$: Potenzwert
    • $x$: Exponent

    Es ist nur eine Umformung richtig.

    Lösung

    Mithilfe des Logarithmus können wir Potenzgleichungen umformen. Dabei gilt allgemein:

    $x= \log_{a}{b} \quad \Leftrightarrow \quad a^x=b $

    Wir sprechen dabei von:

    • $a$: Basis
    • $b$: Potenzwert
    • $x$: Exponent

    Da in den gegebenen Gleichungen außerdem Wurzeln vorkommen, erinnern wir uns auch an das Potenzgesetz für Wurzeln:

    $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \quad$ beziehungsweise $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

    Wir betrachten somit die gegebenen Gleichungen und ordnen zu:

    Erste Gleichung:

    $\log_{2}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad 2^{\sqrt{2}}= \dfrac{1}{2}$

    $\mapsto$ Falsch: Exponent und Potenzwert nicht richtig zugeordnet.

    Zweite Gleichung:

    $\log_{2}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad 2^{\frac{1}{2}}= \sqrt{2}$

    $\mapsto$ Richtig: Basis = $2$; Potenzwert = $\sqrt{2}$; Exponent = $\dfrac{1}{2}$.

    Dritte Gleichung:

    $\log_{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad 2^{\frac{1}{2}}= \sqrt{2}$

    $\mapsto$ Falsch: Exponent und Potenzwert nicht richtig zugeordnet.

    Vierte Gleichung:

    $\log_{2}{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{2} \quad \Leftrightarrow \quad 2^{\frac{1}{2}}= \sqrt{2}$

    $\mapsto$ Falsch: Exponent und Potenzwert nicht richtig zugeordnet.

  • Bestimme den Wert des Logarithmus.

    Tipps

    Potenzgesetz für Wurzeln:

    $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \quad$ beziehungsweise $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

    Schreibe den Logarithmus als Potenzgleichung um. Wende dann das Potenzgesetz für Wurzeln oder für Brüche an.

    Lösung

    Mithilfe des Logarithmus können wir eine Potenzgleichung umschreiben:

    $a^x=b \quad \Leftrightarrow \quad x= \log_{a}{b}$

    Wir sprechen dabei von:

    • $a$: Basis
    • $b$: Potenzwert
    • $x$: Exponent

    Um den Logarithmus auf Brüche anzuwenden, hilft uns das Potenzgesetz für Brüche:

    $\dfrac{1}{a^n}= a^{-n}$

    Um ihn auf Wurzeln anzuwenden, verwenden wir das Potenzgesetz für Wurzeln:

    $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \quad$ beziehungsweise $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

    Wir können somit die Logarithmen wie folgt berechnen:

    Erster Logarithmus: $\log_{3}{\dfrac{1}{9}}$

    Wir versuchen $\dfrac{1}{9}$ als Potenz mit Basis $3$ zu schreiben:

    $\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3^2}= 3^{-2}$

    $\Rightarrow \quad \log_{3}{\dfrac{1}{9}} = \color{#00CC99}{-2}$

    Zweiter Logarithmus: $\log_{10}{0{,}1}$

    Wir schreiben $0{,}1$ als Potenz mit Basis $10$:

    $ 0{,}1 = \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{10^1} = 10^{-1}$

    $\Rightarrow \quad \log_{10}{0{,}1} = \color{#00CC99}{-1}$

    Dritter Logarithmus: $\log_{4}{2}$

    Wir schreiben $2$ als Potenz mit Basis $4$:

    $2 = \sqrt{4} = 4^{\frac{1}{2}} $

    $\Rightarrow \quad \log_{4}{2} = \dfrac{1}{2} = \color{#00CC99}{0{,}5}$

    Vierter Logarithmus: $\log_{0{,}125}{0{,}5}$

    Wir schreiben $0{,}5$ als Potenz mit Basis $0{,}125$:

    $0{,}5 = \sqrt[3]{0{,}125} = 0{,}125^{\frac{1}{3}}$

    $\Rightarrow \quad \log_{0{,}125}{0{,}5} = \color{#00CC99}{\dfrac{1}{3}}$

  • Berechne den Logarithmus.

    Tipps

    Potenzgesetz für Brüche:

    $\dfrac{1}{a^n}= a^{-n}$

    Potenzgesetz für Wurzeln:

    $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

    Beispiel:

    $\log_{10}{0{,}1}$

    Wir schreiben $0{,}1$ als Potenz mit Basis $10$:

    $ 0{,}1 = \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{10^1} = 10^{-1}$

    $\Rightarrow \quad \log_{10}{0{,}1} = -1$

    Lösung

    Um die Logarithmen bestimmen zu können, benötigen wir die diese Zusammenhänge:

    • Definition des Logarithmus: $a^x=b \quad \Leftrightarrow \quad x= \log_{a}{b}$
    • Potenzgesetz für Brüche: $\dfrac{1}{a^n}= a^{-n}$
    • Potenzgesetz für Wurzeln: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \quad$ beziehungsweise $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

    Wir können somit die Logarithmen wie folgt berechnen:

    Erste Aufgabe: $~\log_{4}{0{,}5} $

    Wir schreiben $0{,}5$ als Potenz mit Basis $4$:

    $ 0{,}5 = \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4^{0{,}5}} = 4^{-0{,}5}$

    $\Rightarrow \quad \log_{4}{0{,}5} = \color{#00CC99}{-0{,}5}$

    Zweite Aufgabe: $~\log_{5}{0{,}04}$

    Wir schreiben $0{,}04$ als Potenz mit Basis $5$:

    $0{,}04 = \dfrac{1}{25} =\dfrac{1}{5^{2}} =5^{-2}$

    $\Rightarrow \quad \log_{5}{0{,}04} = \color{#00CC99}{-2}$

    Dritte Aufgabe: $~\log_{16}{0{,}5}$

    Wir schreiben $0{,}5$ als Potenz mit Basis $16$:

    $0{,}5 = \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{16}} = \dfrac{1}{16^{0{,}25}} = 16^{-0{,}25}$

    $\Rightarrow \quad \log_{16}{0{,}5} = \color{#00CC99}{-0{,}25}$

  • Formuliere jeweils die passende Potenzgleichung.

    Tipps

    Beispiel:

    $\log_{5}{125}=3 \quad \Leftrightarrow \quad 5^3=125$

    Lösung

    Der Logarithmus ist eine andere Schreibweise für eine Potenzgleichung. Dabei gilt:

    $ \log_{a}{b}=x \quad \Leftrightarrow \quad a^x=b$

    Wir sprechen dabei von:

    • $a$: Basis
    • $b$: Potenzwert
    • $x$: Exponent

    Wir können somit folgende Zusammenhänge bilden:

    • $ \log_{2}{16}=4 \quad \Leftrightarrow \quad 2^4=16$
    • $ \log_{5}{5}=1 \quad \Leftrightarrow \quad 5^1=5$
    • $ \log_{3}{9}=2 \quad \Leftrightarrow \quad 3^2=9$
    • $ \log_{10}{1 000}=3 \quad \Leftrightarrow \quad 10^3=1 000$

  • Ordne die Logarithmen der Größe nach.

    Tipps

    Bestimme zunächst den Wert aller Logarithmen.

    $\log_{a}{1} = 0 ~\Leftrightarrow~ a^0 = 1$

    Beispiel:

    $\log_{4}{0{,}5}$

    Wir schreiben $0{,}5$ als Potenz mit Basis $4$:

    $ 0{,}5 = \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{4}} = \dfrac{1}{4^{0{,}5}} = 4^{-0{,}5}$

    $\Rightarrow \quad \log_{4}{0{,}5} = -0{,}5$

    Lösung

    Um die Logarithmen ordnen zu können, bestimmen wir zunächst ihren jeweiligen Wert. Dazu benötigen wir die diese Zusammenhänge:

    • Definition des Logarithmus: $a^x=b \quad \Leftrightarrow \quad x= \log_{a}{b}$
    • Potenzgesetz für Brüche: $\dfrac{1}{a^n}= a^{-n}$
    • Potenzgesetz für Wurzeln: $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \quad$ beziehungsweise $\quad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$
    $\,$

    Damit ergeben sich die folgenden Werte:

    Erster Logarithmus: $\log_{64}{0{,}25}$

    Wir schreiben $0{,}25$ als Potenz mit Basis $64$:

    $ 0{,}25 = 0{,}5^2 =\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{8}}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{\sqrt[6]{64}}\right)^2 = \left(\dfrac{1}{64^\frac{1}{6}}\right)^2 =64^{-\frac{2}{6}} = 64^{-\frac{1}{3}}$

    $\Rightarrow \quad \log_{64}{0{,}25} = -\dfrac{1}{3} $

    Zweiter Logarithmus: $\log_{0{,}1}{1}$

    Wir schreiben $1$ als Potenz mit Basis $0{,}1$:

    $0{,}1^0 =1 \quad$ (Jede Zahl hoch $0$ ergibt $1$)

    $\Rightarrow \quad \log_{0{,}1}{1} = 0$

    Dritter Logarithmus: $\log_{0{,}2}{125}$

    Wir schreiben $125$ als Potenz mit Basis $0{,}2$:

    $ 125 = 5^3 = \dfrac{1}{\left(\frac{1}{5}\right)^3} = \dfrac{1}{0{,}2^3} =0{,}2^{-3}$

    $\Rightarrow \quad \log_{0{,}2}{125} = -3$

    Vierter Logarithmus: $\log_{9}{\frac{1}{3}}$

    Wir schreiben $\frac{1}{3}$ als Potenz mit Basis $9$:

    $\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{9}} =9^{-0{,}5} $

    $\Rightarrow \quad \log_{9}{\frac{1}{3}} = -0{,}5$

    Fünfter Logarithmus: $\log_{0{,}01}{0{,}001}$

    Wir schreiben $0{,}001$ als Potenz mit Basis $0{,}01$:

    $ 0{,}001 = 0{,}1^3= (\sqrt{0{,}01})^3 = (0{,}01^{\frac{1}{2}})^3 =0{,}01^\frac{3}{2}$

    $\Rightarrow \quad \log_{0{,}01}{0{,}001} = \dfrac{3}{2}$

    Sechster Logarithmus: $\log_{10}{10\,000}$

    Wir schreiben $10\,000$ als Potenz mit Basis $10$:

    $10\,000 = 10^4$

    $\Rightarrow \quad \log_{10}{10\,000} = 4$

    $\,$

    Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

    $-3 \quad < \quad -0{,}5 \quad < \quad -\dfrac{1}{3} \quad < \quad 0 \quad < \quad \dfrac{3}{2} \quad < \quad 4$

    Beziehungsweise:

    $\log_{0{,}2}{125} \quad < \quad \log_{9}{\frac{1}{3}} \quad < \quad \log_{64}{0{,}25} \quad < \quad \log_{0{,}1}{1} \quad < \quad \log_{0{,}01}{0{,}001} \quad < \quad \log_{10}{10\,000}$

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