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Logarithmus – Definition 05:27 min

Textversion des Videos

Transkript Logarithmus – Definition

Hallo. Wir machen Logarithmen. Der Logarithmus, die Logarithmen. Das ist nicht weiter schlimm. Das tut auch nicht weh. Und ich erklär jetzt mal, wie das geht. Also am besten, vielleicht am besten pädagogisch sinnvoll kannst du dir den Logarithmus als Frage vorstellen. Und um diese Frage zu stellen, brauchen wir eine Situation, zum Beispiel diese hier. Wir wissen das 23=8 ist. Denn 23 bedeutet 2×2×2. 2×2=4 und 4×2=8. Das ist soweit richtig. Und jetzt könnte man eine Frage stellen. Nämlich die Frage: Mit welcher Zahl, ja das ist ein Fragezeichen, keine Zahl. Mit welcher Zahl muss man 2 potenzieren damit 8 herauskommt. Ja, mit welcher Zahl muss man 2 potenzieren damit 8 herauskommt? Die Antwort, nicht wahr, steht ja schon fast hier ist 3, denn 23=8. So und diese Frage, mit welcher Zahl muss man 2 potenzieren damit 8 herauskommt, die wird in der Mathematik nicht so aufgeschrieben. Also mit welcher Zahl muss man die 2 potenzieren und so weiter, sondern man schreibt das in Symbolen auf. Die Symbole sehen dann so aus: log2, die 2 tief gestellt, danach folgt die 8 in Normalgröße. Gesprochen wird das Logarithmus zur Basis 2 von 8. Manche sagen auch Logarithmus von 8 zur Basis 2. Und das Ergebnis hiervon log für Basis 2 und 8, das Ergebnis ist die Zahl mit der man 2 potenzieren muss damit 8 herauskommt. Ja und jetzt denken sich vielleicht manche warum muss man das so komisch sagen? Wenn ich am Frühstückstisch sitze, dann sage ich ja auch nicht Paronkoqr oder so was. Sondern ich sage, könntest du mir bitte mal die Butter reichen? Oder so. Das sage ich ja auch normal und nicht in Symbolen. Aber aus diversen Gründen hat man sich eben in der Mathematik dafür entschieden, diese Symbolik zu benutzen. Wenn du meinst, das müsste man anders machen, das ginge anders besser, gerne. Du kannst gerne Vorschläge machen. Und wenn sich das durchsetzt, und das alles dann viel einfacher wird, und schöner oder besser. Dann herzlichen Glückwunsch. Kannst du gerne machen. Im Moment ist es aber noch so, dass das also die Symbole sind. Und dann liest man das eben hier als Logarithmus zur Basis 2 von 8. Bzw. Logarithmus von 8 zur Basis 2 gleich 3. Ja wo kommt der Begriff Logarithmus her? Logos, das kommt von Logos, also Vernunft/Verhältnis. Und Arithmus, das ist die Zahl. Also quasi ist die 3 hier die Verhältniszahl. Na ja es ist halt ein Kunstwort. So richtig ganz kann man jetzt logisch finden oder nicht. Auf jeden Fall heißt das Ding so. So jetzt habe ich lange genug darüber geredet. Jetzt möchte ich noch ein Beispiel zeigen wie du dir noch den Logarithmus vorstellen kannst. Bzw. das hier Mal mit anderen Zahlen machen. Wir wissen zum Beispiel das 72=49 ist. Ja ich hoffe du weißt das seit der Grundschule. 7×7=49. Da hat man zwar nicht ^2 geschrieben, aber ne, 72 bedeutet ja 7×7. Und jetzt passiert wieder diese Frage. Man könnte sich fragen: Mit welcher Zahl muss ich 7 potenzieren, damit 49 herauskommt? Das ist eine legitime Frage. Diese Frage darf man stellen. Und diese Fragestellung schreibt man jetzt also anders. Nämlich als log7 von 49. Oder Logarithmus von 49 zur Basis 7. Und das Ergebnis dieser Symbolik hier ist also die Antwort auf die Frage. Mit welcher Zahl muss man 7 potenzieren, damit 49 herauskommt. Und die Antwort ist 2. Ja soviel also zur Begrifflichkeit. Ich zeige dann noch viele Beispiele dazu. Viel Spaß damit. Bis bald, tschüss.  

13 Kommentare
  1. haha wie die in der schule immer alles so unverständlich erzählen jz kapier ichs endlich xD

    Von Familiesebastian, vor fast 4 Jahren
  2. Wie immer: PERFEKT !!!

    Von Lothargraze, vor mehr als 4 Jahren
  3. Dankeeee!!

    Von Juliane Viola D., vor fast 5 Jahren
  4. @Berger Heimo:
    Wenn du technische Probleme mit den Videos hast, kannst du eine E-Mail an
    support@sofatutor.com schicken. Die finden dann mit dir gemeinsam eine Lösung des technischen Problems.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 5 Jahren
  5. Das Videosymbol zum Abspielen ist duchgestrichen ich kann es mir deshalb nicht ansehen - warum ist das so?
    Es gibt noch einige andere wo das gleiche Problem vorliegt.

    Von Heimo B., vor mehr als 5 Jahren
  1. Video wird nicht angezeigt.

    Von Suessmann, vor mehr als 5 Jahren
  2. Ja warum ist denn das und die folgenden Videos gesperrt??

    Von Sson169, vor mehr als 6 Jahren
  3. Video gesperrt??

    Von Eli.92.Sa, vor mehr als 6 Jahren
  4. Ich versteh das jetzt endlich.THanks!

    Von Quincy13, vor mehr als 6 Jahren
  5. Ahh, jetzt habe ich es schonmal ansatzweise verstanden, danke!
    Übrigens: Sehr sympatischer tutor!

    Von Ruth Herzet, vor mehr als 6 Jahren
  6. Ja der Typ ist toll

    Von Aurora Honoria, vor etwa 8 Jahren
  7. Bei weitem verständlicher als in der Schule, Danke!

    Von Tim86, vor etwa 9 Jahren
  8. Hat mir sehr geholfen, in der Schule hab ich's nicht verstanden, herzlichen Dank!

    Von Wiking, vor fast 10 Jahren
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Logarithmus – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmus – Definition kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere den Logarithmus.

    Tipps

    Mit Logarithmus wird der Exponent bezeichnet, mit dem die Basis potenziert werden muss, um den Numerus zu erhalten.

    Die Basis der Potenz ist auch die Basis beim Logarithmus.

    Wie oft musst du die Basis (hier $2$) mit sich selbst multiplizieren, damit du $8$ erhältst?

    Lösung

    Es gilt $2^3=8$. Dabei bezeichnet man $2^3$ auch als Potenz.

    Der Logarithmus beantwortet die Frage: Mit welcher Zahl muss $2$ potenziert werden, damit man $8$ erhält?

    Die Antwort ist $3$, da $2^3=8$ gilt.

    Diese Frage wird in der Mathematik geschrieben als

    $log_28=3$.

    Dies wird gesprochen: Der Logarithmus zur Basis $2$ von $8$. Das Ergebnis ist die Zahl, mit der man $2$ potenzieren muss, damit $8$ herauskommt.

  • Vervollständige die Frage, welche den Logarithmus beschreibt.

    Tipps

    Eine Potenz hat die Form $a^b$.

    Dabei ist

    • $a$ die Basis und
    • $b$ der Exponent.
    Man sagt: $a$ wird mit $b$ potenziert.

    Das Ergebnis einer Potenz ist der Potenzwert.

    Zum Beispiel ist $5^3=125$.

    $125$ ist der Potenzwert.

    Wenn der Exponent nicht bekannt ist:

    $5^?=125$.

    Wie muss dann die Frage nach diesem Exponenten gestellt werden?

    Lösung

    Da $2^3=8$ gilt, ist umgekehrt $\log_28=3$.

    Der Logarithmus beantwortet also die Frage: Mit welcher Zahl muss $2$ potenziert werden, damit man $8$ erhält?

    Die Antwort ist $3$, da $2^3=8$ gilt.

  • Gib die Potenzgleichung als Logarithmusgleichung an.

    Tipps

    Formuliere bei unbekanntem Exponenten die Frage, welche durch den Logarithmus beantwortet wird.

    Der Logarithmus löst die Gleichung $4^?=64$.

    Die Zahl, die beim Potenzieren in der Basis steht, steht auch beim Logarithmus in der Basis.

    Es gilt zum Beispiel $\log_464=3$, da gilt: $4^3=64$.

    Lösung

    Es ist bekannt, dass $7^2=49$ gilt.

    Wenn man dies als Logarithmus schreiben will, kann man zunächst die zugehörige Frage formulieren:

    Mit welcher Zahl muss $7$ potenziert werden, damit $49$ herauskommt?

    Dies schreibt man in der Form

    $\log_749=2$.

  • Leite her, nach welcher Entfernung ein Weg sich in insgesamt $32$ Wege verzweigt hat.

    Tipps

    Du kannst ausrechnen, wie oft sich der Weg nach $800~m$ und nach weiteren $800~m$ ... verzweigt hat.

    Es handelt sich, da sich die Anzahl der Wege immer wieder verdoppelt, um eine Zweierpotenz.

    Die zugehörige Frage lautet: Mit welcher Zahl muss $2$ potenziert werden, damit $32$ herauskommt?

    Multipliziere das Ergebnis mit $800~m$ und rechne dieses in Kilometer um. Es gilt $1000~m=1~km$.

    Lösung

    Man kann diese Frage lösen, indem man die Anzahl der Wege nach und nach berechnet:

    • nach $800~m$ zwei Wege,
    • nach $800~m+800~m=1600~m$ vier Wege,
    • nach $3\cdot 800~m=2400~m$ acht Wege,
    • nach $4\cdot 800~m=3200~m$ sechzehn Wege und
    • nach $5\cdot 800~m=4000~m$ $32$ Wege.
    Die jeweils vorherige Zahl wird verdoppelt. Es handelt sich hier um eine Zweierpotenz.

    Die Frage ist, womit man die $2$ potenzieren muss, um $32$ zu erhalten: $2^?=32$.

    Diese Frage wird durch den Logarithmus beantwortet:

    $?=\log_232$.

    Wenn man nun weiß, dass $2^5=32$ ist, kann man die Antwort auch so aufschreiben: $\log_232=5$.

    Der Weg verzweigt sich also fünfmal. Da er sich nach jeweils $800~m$ verzweigt, beträgt die Entfernung $5\cdot 800~m=4000~m=4~km$.

    Nach $4~km$ hat sich der Weg insgesamt $32$ mal verzweigt.

  • Prüfe, ob die Logarithmusgleichung korrekt ist.

    Tipps

    Es gilt $\log_ba=c~\Leftrightarrow~b^c=a$.

    Wenn $3^4=81$ ist, was gehört dann beim Logarithmus

    • in die Basis und
    • was auf die linke oder rechte Seite der Gleichung?

    Schreibe die zugehörige Potenzgleichung und prüfe, ob eine wahre Aussage vorliegt.

    Lösung

    Um zu überprüfen, ob eine Logarithmusgleichung korrekt ist, kann man sich den folgenden Zusammenhang klarmachen:

    $\log_ba=c~\Leftrightarrow~b^c=a$.

    Es muss also gelten, dass die Basis, welche beim Logarithmus als Index steht, mit der rechten Seite potenziert gerade den Wert ergibt, welcher ebenfalls beim Logarithmus (allerdings nicht im Index) steht.

    Bei der oben angegebenen Gleichung bedeutet dies:

    $4^5=4096$.

    Dies ist eine falsche Aussage, da $4^5=1024$ gilt.

    Die korrekte Gleichung würde wie folgt aussehen:

    $\log_44096=6$, denn $4^6=4096$.

  • Ordne der jeweiligen Potenzgleichung die Logarithmusgleichung zu.

    Tipps

    Der Logarithmus beantwortet die Frage, mit welcher Zahl eine Basis potenziert werden muss, um einen bestimmten Potenzwert zu erhalten.

    Die Basis der Potenz ist auch die Basis des Logarithmus.

    Der Logarithmus kehrt das Potenzieren bei unbekanntem Exponenten um.

    Lösung

    Man kann allgemein die folgende Verbindung beschreiben:

    $b^c=a~\Leftrightarrow~\log_ba=c$.

    Dabei kann man sich merken:

    • Die Basis bei der Potenz ist auch die Basis beim Logarithmus.
    • Der Exponent wandert auf die rechte Seite des Gleichheitszeichens und
    • der Potenzwert auf die linke.
    Der Exponent und der Potenzwert haben die Rollen getauscht. Das liegt daran, dass der Logarithmus die Umkehrung vom Potenzieren bei unbekanntem Exponenten ist.

    Die Umkehrung vom Potenzieren bei unbekannter Basis ist das Radizieren, das Ziehen einer Wurzel.

    1. $2^5=32~\Leftrightarrow~\log_232=5$.
    2. $5^2=25~\Leftrightarrow~\log_525=2$.
    3. $6^3=216~\Leftrightarrow~\log_6216=3$.
    4. $3^6=729~\Leftrightarrow~\log_3729=6$.