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Logarithmus – Bezeichnungen

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Logarithmus – Bezeichnungen
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Logarithmus – Bezeichnungen

Jedes neue Thema in der Mathematik - wie auch der Logarithmus - bringt neue Fachbegriffe mit sich. Das ist notwendig, um sich in der Schule oder auch außerhalb verständlich ausdrücken und austauschen zu können. Im Prinzip besitzt die Mathematik eine eigene Sprache, wie Englisch, Französisch oder auch Spanisch. Damit du dich sicher ausdrücken kannst, wenn du vom Logarithmus sprichst, werden dir in diesem Video alle wichtigen Bezeichnungen und die spezielle Schreibweise ( Notation ) vermittelt. Dazu solltest du aber schon eine Ahnung haben, wozu der Logarithmus gebraucht wird.

Transkript Logarithmus – Bezeichnungen

Hallo, zu den Logarithmen sind noch 1 bis 2 Begriffe zu erklären. Wir haben den Logarithmus, ich schreib das mal ganz allgemein auf, zur Basis b, hier wieder b - klein und tief gestellt, von a. Für b und a kann ich Zahlen einsetzen. Und das soll gleich c sein. Also, dann heißt c, das Ergebnis hier also, dieses c ist der Logarithmus. Mit th - Logarithmus heißt es. So wirds geschrieben und das b hier, das ist die Basis und das a, das heißt oder diese Stelle hier, da wo das a steht, das ist der Numerus. Das sind also die Begriffe, die hier noch zu klären sind, was den Logarithmus alleine angeht. Ich möchte eben ein Beispiel dazu hinschreiben. Falls du Variablen nicht so magst. Also irgendein Beispiel. Ich nehm mal Logarithmus zur Basis 3 von 81, das ist 4. Logarithmus zur Basis 3 von 81 ist gleich 4, denn 34=81 und um den Satz hier noch zu vervollständigen, der Logarithmus zur Basis 3 von 81 ist gleich 4, weil 34=81 ist. In dem Fall ist also die 3 die Basis, 81 ist der Numerus und die 4 hier, das ist der Logarithmus.   Es gibt nun Basen, die werden häufiger benutzt als andere und hier ist z.B. die Basis 10 zu nennen, also der Logarithmus zur Basis 10, von x, also von irgendwas, ist jetzt völlig egal. Der wird auch genannt lg von x. Und wir haben noch den Logarithmus Naturalis, den Logarithmus zur Basis e von x und der wird geschrieben als ln, also meistens zumindest und in der Schulmathematik ist das so und darauf bezieh ich mich jetzt. Jetzt ist noch zu klären, was ist e. e ist die eulersche Zahl, euler deshalb e und die ist ungefähr, ja ich kann sie nicht ganz hinschreiben, weil es eine irrationale Zahl ist, die ist ungefähr 2,72. So da sind hier also noch die Bezeichnungen für bestimmte Logarithmen, also Logarithmus zur Basis 10 wird normalerweise als lg geschrieben. Logarithmus  zur Basis e, also von Logarithmus zur Basis 2,718282 usw. usw. wird ln geschrieben. Und hierzu fehlt noch, welche Zahlen man für a und b einsetzen kann. Ich fange mal mit a an. Für a kann man positive Zahlen einsetzen, das bedeutet, das a muss größer  als 0 sein und dann kann man irgendwelche Zahlen nehmen, das ist völlig egal, ich hätte auch schreiben können a Element r+, aber ich glaube so ist das auch ganz verständlich. Warum kann man keine negativen Zahlen einsetzen? Weil es dann keinen Sinn macht. Kannst es aber ausprobieren oder vielleicht findest du ja etwas wie man das machen kann. Tu dir keinen Zwang an, du darfst alle möglichen Ideen dir ausdenken, kein Problem. Die Basis soll ebenfalls größer als 0 sein, die da mit der Begründung, wenn man Zahlen einsetzt, die kleiner als 0 sind z.B., dann kommt man auf lauter unsinnige Ergebnisse. Es mag noch angehen, wenn man jetzt, sag ich mal, ach eigentlich funktioniert es nicht. Kannst es ja auch ausprobieren, es kommt meistens Unsinn raus. 0 würde  auch nicht funktionieren, denn irgendwas, also wenn ich hier eine Basis die gleich 0 ist, mit irgendwas potenziere, kriege ich immer 0 raus und deshalb ist ja auch die 0, sag ich mal, verboten. Außerdem ist folgende Zahl verboten. b?1. b soll ungleich 1 sein, warum, wenn ich 1 mit irgendwas potenziere, dann kommt da immer 1 raus und deshalb, ja , deshalb funktioniert das nicht. Man könnte natürlich die Basis 1 zulassen und dann kann ich hier z. B. nicht 2 einsetzen. Wenn ich hier also hätte, Logarithmus zur Basis 1 von 2, dann hätte das keine Lösung, denn 1irgendwas ist immer gleich 1 und es würde nie gleich 2 werden. Und deshalb hat man hier also gesagt, die Basis 1 wollen wir nicht dabei haben.

Ja, das sind also die Begrifflichkeiten dazu es folgen noch 10000 Beispiele, bis dahin viel Spaß, tschüss.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Ich finde es voll krass wie er einfach so easy und sauber andersherum schreiben kann... Tolles Video!

    Von Felix G., vor mehr als 3 Jahren
  2. Danke!

    Von Juliane Viola D., vor fast 7 Jahren

Logarithmus – Bezeichnungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Logarithmus – Bezeichnungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Einschränkungen für $a$, $b$ und $c$ in der Gleichung $\log_ba=c$.

    Tipps

    Der Logarithmus $\log_ba=c$ beantwortet die Frage:

    Mit welcher Zahl $c$ muss $b$ potenziert werden, damit $a$ herauskommt?

    Eine Potenz ist ein Term der Form

    $b^c$.

    Welche Einschränkungen gibt es für $b$?

    Wenn man eine positive Zahl potenziert, so ist der Potenzwert

    • positiv?
    • oder negativ?

    Es gilt $0^c=0$ für $c\neq 0$. Es existiert eine weitere Zahl (die 1), die sich durch Potenzieren nicht ändert.

    Lösung

    Mit Logarithmus wird der Exponent bezeichnet, mit dem die Basis potenziert werden muss, um den Numerus zu erhalten. Der Logarithmus zu einer Basis wird wie folgt geschrieben:

    $\log_ba=c$.

    Anders ausgedrückt gilt $b^c=a$.

    Für die Basis gilt

    • $b>0$, da bei negativer Basis bei dem Potenzausdruck ja auch ein Bruch als Exponent stehen könnte. Dies entspricht einer Wurzel und diese sind für negative Zahlen nicht definiert.
    Betrachten wir das Beispiel:

    $\log_{-2}a=\frac{1}2{}~\Leftrightarrow~(-2)^\frac{1}{2}=a$

    $~~~(-2)^\frac{1}{2}=a~\Leftrightarrow~\sqrt{-2}=a~~~\vert$, da mit $\frac {1}{2}$ zu potenzieren dasselbe ist, wie die Wurzel zu ziehen.

    Jedoch kann man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen.

    Weiterhin gilt:

    • $b\neq1$, da $1^c=1$ für alle $c$ gilt. Somit ist die Gleichung $1^c=2$ zum Beispiel nicht lösbar.
    Wir haben schon gesehen, dass die Basis $b$ positiv und ungleich $1$ sein muss. Ist sie dies, so ist auch der Potenzwert $a$ positiv, da auch das Ergebnis positiv ist, wenn ich eine positive Zahl potenziere.

    Umgekehrt bedeutet dies, dass der Potenzwert $a$ also auch immer positiv sein muss, also:

    $a>0$.

    Im Exponenten der Potenzgleichung darf alles stehen. Somit gibt es für $c$ keine Einschränkung.

  • Gib an, für welche spezielle Basis der jeweilige Logarithmus steht.

    Tipps

    Die Eulersche Zahl $e=2,71828...$ ist eine irrationale Zahl.

    Schau mal auf deinem Taschenrechner nach, welche Logarithmus-Tasten du dort findest.

    Zwei Antworten sind richtig.

    Lösung

    Es existieren Basen, welche häufiger benutzt werden:

    • Der Logarithmus zur Basis $10$: $\lg x$, der dekadische Logarithmus, sowie
    • der Logarithmus naturalis zur Basis $e=2,71828...$, der Eulerschen Zahl: $\ln x$.
    Diese beiden Logarithmen sind bei vielen Taschenrechner als Taste angelegt.

  • Ordne den Logarithmusbezeichnungen die passenden Werte beziehungsweise Variablen zu.

    Tipps

    Du musst nicht prüfen, ob die Gleichungen stimmen.

    Man bezeichnet mit Logarithmus den Exponenten, mit dem die Basis potenziert werden muss, um den Numerus zu erhalten.

    Der Logarithmus $\log_ba=c$ löst die Gleichung $b^c=a$ bei unbekanntem $c$.

    Lösung

    Beim Logarithmus $\log_ba=c$ ist

    • $b$ die Basis,
    • $a$ der Numerus und
    • $c$ der Logarithmus.
    Er löst die Gleichung $b^c=a$.

    $b$ steht in dieser Gleichung in der Basis und $a$ ist der Potenzwert. $c$ ist der Exponent, mit welchem die Basis $b$, potenziert werden muss, um den Potenzwert $a$ zu erhalten. Man bezeichnet $c$ auch als Logarithmus.

    1. $\log_464=3$, denn $4^3=64$. Hier ist $4$ die Basis, $64$ der Numerus und $3$ der Logarithmus.
    2. $\log_de=f$. Hier ist $d$ die Basis, $e$ der Numerus und $f$ der Logarithmus.
    3. $\log_525=2$, denn $5^2=25$. Hier ist $5$ die Basis, $25$ der Numerus und $2$ der Logarithmus.
  • Prüfe, ob der Logarithmus definiert ist und ob er gegebenenfalls richtig berechnet wurde.

    Tipps

    Sowohl die Basis als auch der Numerus dürfen nicht negativ sein.

    Es gilt zum Beispiel $\log_749=2$, da $7^2=49$ ist.

    Du musst die Gleichung nur überprüfen, wenn sie definiert ist.

    Zwei Gleichungen sind nicht definiert und nur eine ist korrekt.

    Lösung

    Beim Logarithmus $\log_ba=c$ gelten die folgenden Einschränkungen:

    Für die Basis gilt

    • $b>0$ sowie
    • $b\neq1$.
    Für den Numerus muss $a>0$ gelten.

    Gilt die Gleichung: $\log_ba=c$, so ist umgekehrt $b^c=a$.

    1. $\log_{-2}3=4$: Die Basis ist negativ: $b=-2$. Dieser Logarithmusterm ist nicht definiert.
    2. $\log_5125=3$. Dies ist richtig, da $5^3=125$ ist.
    3. $\log_4(-4)=-1$. Hier ist der Numerus $a=-4$ negativ. Dieser muss jedoch positiv sein. Dieser Term ist nicht definiert.
    4. $\log_28=4$. Dieser Term ist zwar definiert, jedoch ist $2^4=16\neq8$.
  • Beschrifte in der Gleichung die Größen $a$, $b$ und $c$ entsprechend ihrer Bedeutung.

    Tipps

    Mit Logarithmus wird der Exponent bezeichnet, mit dem die Basis potenziert werden muss, um den Numerus zu erhalten.

    Die Basis in der Potenz ist auch die Basis im Logarithmus.

    Der Numerus entspricht dem Potenzwert.

    Lösung

    Wir betrachten die Gleichung: $\log_ba=c$.

    Dabei ist

    • $c$ der Logarithmus,
    • $b$ die Basis und
    • $a$ der Numerus.
    Um dies besser zu verstehen, kann ein Beispiel betrachtet werden:

    $\log_381=4$, denn $3^4=81$.

    Also ist $3$ die Basis, $81$ der Numerus und $4$ ist der Logarithmus.

  • Bestimme die fehlenden Werte.

    Tipps

    In der Logarithmusgleichung kommen die folgenden Bezeichnungen vor:

    • die Basis,
    • der Numerus und
    • der Logarithmus.
    Achte bitte auf die korrekte Schreibweise.

    Der Logarithmus $\log_ba=c$ löst die Gleichung $b^c=a$ bei unbekanntem $c$.

    Sei zum Beispiel $6^3=216$, so gilt

    • $\log_{b}216=3$ führt zu $b=6$.
    • $\log_6{a}=3$ führt zu $a=216$.
    • $\log_6216=c$ führt zu $c=3$.

    Wenn du den Wert gefunden hast, kannst du die Probe machen. Zum Beispiel:

    $\log_981=2$, denn $9^2=81$.

    Lösung

    Der Logarithmus $\log_ba=c$ löst die Gleichung $b^c=a$ bei unbekanntem $c$.

    1. $\log_b625=4$ führt zu der Basis $b=5$, denn $5^4=625$.
    2. $\log_{11}a=3$ führt zu dem Numerus $a=1331$, denn $11^3=1331$.
    3. $\log_41024=c$ führt zu dem Logarithmus $c=5$, denn $4^5=1024$.

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