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Linearen Ungleichungen – Grafisches Lösen

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Die Autor/-innen
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Aline Mittag
Linearen Ungleichungen – Grafisches Lösen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Linearen Ungleichungen – Grafisches Lösen

Ungleichungen können nicht nur rechnerisch, sondern auch grafisch gelöst werden. Vielleicht fragst du dich, wie das gehen soll, oder erinnerst dich nur vage daran. In diesem Video lernst du, wie die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung mit nur einer Unbekannten grafisch bestimmt werden kann. Dazu zeichnen wir die Ungleichung als Geraden in ein Koordinatensystem. Dieses Verfahren erläutere ich dir im Video an zwei Beispielen. Außerdem erfährst du, wie anschließend die Lösungsmenge auf der x-Achse dargestellt wird.

Transkript Linearen Ungleichungen – Grafisches Lösen

Hallo. Ich bin Aline und wir werden uns in diesem Video gemeinsam mit dem grafischen Lösen von linearen Ungleichungen mit einer Unbekannten beschäftigen. Dazu wollen wir zunächst noch einmal klären, was lineare Ungleichungen überhaupt sind, damit wir danach mit dem grafischen Lösen von linearen Ungleichungen mit einer Variablen starten können. Dazu werden wir uns zwei Ungleichungen anschauen und im Anschluss jeweils die Lösungsmenge auf der x-Achse darstellen. Zum Schluss schließen wir eine inhaltliche Zusammenfassung an, in der wir uns noch einmal kurz anschauen, was wir in diesem Video gelernt haben. Was also sind gleich noch einmal lineare Ungleichungen? Um diese Frage beantworten zu können, betrachten wir zunächst die beiden Begriffe linear und Ungleichung einzeln. Linearität liegt genau dann vor, wenn die Unbekannte, zum Beispiel x, nur in der ersten Potenz, also x1 und nicht im Nenner vorkommt. Bei einer Ungleichung werden Größenvergleiche abgebildet. Dabei werden die beiden Terme a und b durch die Relationszeichen kleiner, kleiner gleich, größer und größer gleich miteinander verbunden. Steigen wir nun in das Thema ein. Wie werden lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten grafisch gelöst? Zwei Beispiele sollen uns dabei helfen, den Sachverhalt zu verstehen: x≤7 und 2x+3>1. Starten wir also mit der ersten Ungleichung x≤7. Für die grafische Lösung benötigen wir zunächst ein Koordinatensystem. Nun zeichnen wir die beiden Terme der Ungleichung in das Koordinatensystem ein. Dazu zerlegen wir die Ungleichung in y=x und y=7. Die beiden Geraden schneiden sich genau in einem Punkt. Wenn wir von diesem Punkt ausgehen und eine Gerade senkrecht auf die x-Achse ziehen, erhalten wir den Wert x=7. Die beiden Geraden schneiden sich also, wenn x=7 ist. Doch was sagt uns dieser Wert? Wenn x kleiner als sieben ist, liegt die Gerade y=7 oberhalb der Geraden y=x. Sobald x größer als sieben ist, verhält es sich genau umgekehrt. Die Gerade y=x liegt oberhalb der Geraden y=7. Die Lösung der Ungleichung ist also eine Lösungsmenge, zu der alle x-Werte kleiner gleich sieben gehören. Um die Lösungsmenge auf der x-Achse darzustellen, verwenden wir einen Pfeil. Da x≤7 ist, zeigt die Pfeilspitze in negative Richtung. Also nach links. da die Sieben mit zur Lösungsmenge gehört, beginnt der Pfeil mit einem ausgefüllten Kreis. In unserem zweiten Beispiel 2x+3>1 ist die Lösung nicht mehr ganz so leicht zu erkennen. Wir gehen genau wie bei Beispiel eins vor. Wir beginnen mit unserem Koordinatensystem und zeichnen die Geraden y=2x+3 und y=1 ein. Diesmal befindet sich der Schnittpunkt im negativen Bereich bei x=-1. Bei x=-1 entspricht 2x+3=1. Setzt man in die Gleichung y=2x+3 Werte für x kleiner minus eins ein, ist das Ergebnis stets kleiner eins. Für x-Werte größer minus eins wird das Ergebnis immer größer eins sein. Die Lösung entspricht der Lösungsmenge mit allen x-Werten größer minus eins. Wollen wir die Lösungsmenge aus Beispiel zwei an der x-Achse darstellen, zeigt der Pfeil in die positive x-Richtung, da alle Werte, die zur Lösungsmenge gehören, größer minus eins sind. Der Pfeil beginnt mit einem nicht ausgefüllten Kreis, da die minus eins nicht zur Lösungsmenge gehört. Worauf wir bei der Darstellung ebenfalls achten sollten, ist der vorgegebene Wertebereich. Liegt die Lösungsmenge statt im Bereich der reellen Zahlen in dem der natürlichen Zahlen, gehören die negativen Zahlen und die Null nicht mehr zur Lösungsmenge. Unser Pfeil würde demnach erst bei der Null beginnen. Wir haben in diesem Video also gelernt, wie man die Lösung linearer Ungleichungen grafisch bestimmt und anschließend die Lösungsmenge an der x-Achse darstellt. Bei der Darstellung der Lösungsmenge auf der x-Achse müssen wir beachten, in welche Richtung der Pfeil zeigt und ob er mit einem ausgefüllten oder einem unausgefüllten Kreis beginnt. Damit beende ich unseren kleinen Ausflug in die linearen Ungleichungen und wünsche euch viel Spaß beim Anwenden.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. @Melissa S. : Hallo Melissa,

    um den Graphen einer linearen Funktion f(x) zu zeichnen, berechnen zwei Punkte (x | f(x)) und zeichnen diese im Koordinatensystem ein. Dann ziehen wir eine Gerade durch diese zwei Punkte.

    Liebe Grüße und viel Erfolg beim Lernen!

    Von Marianthi M., vor etwa 3 Jahren
  2. Wie genau zeichnet man die Gerade zu der Funktion y=2x+3 ?

    Von Melissa S., vor etwa 3 Jahren
  3. Irgendwie verstehe ich die Übungs aufgabe nicht,denn wenn x größerals 3 ist fängt es doch mit einem Pfeil nach rechts mit unausgefüllten punkt ab 3 an , oder ?

    Von Danny.Nachname, vor etwa 6 Jahren

Linearen Ungleichungen – Grafisches Lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Linearen Ungleichungen – Grafisches Lösen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie die lineare Ungleichung gelöst werden kann.

    Tipps

    Die lineare Ungleichung kann in die beiden Terme zerlegt werden, welche links und rechts vom Relationszeichen stehen.

    Dort, wo beide Terme gleichzeitig erfüllt sind, schneiden sich die zugehörigen Geraden. Hier gilt Gleichheit.

    Wenn die eine Gerade oberhalb der anderen liegt, gilt $>$ und unterhalb $<$.

    Lösung

    Gelöst werden soll die Gleichung $x\le 7$.

    Zunächst werden die beiden Terme der Ungleichung in das Koordinatensystem eingezeichnet:

    • $y=x$ (rot) und
    • $y=7$ (grün).
    Dies führt zu zwei Geraden, welche sich in einem Punkt schneiden. Von diesem Punkt ausgehend, führt eine Gerade senkrecht zur x-Achse zu $x=7$. Was bedeutet das?

    Für $x<7$ liegt die Gerade für $y=x$ unterhalb und für $x>7$ oberhalb der Geraden zu $y=7$.

    Somit kann die Lösungsmenge wie folgt angegeben werden: $\mathbb{L}=\{x\in\mathbb{R}|x\le 7\}$. Grafisch wird dies mit einem Pfeil angezeigt, welcher in negative Richtung zeigt und bei $x=7$ beginnt. Da $x=7$ zu der Lösungsmenge gehört, wird dies mit einem ausgefüllten Kreis anzeigt.

  • Bestimme die Lösungsmenge der linearen Ungleichung $2 x + 3 > 1$.

    Tipps

    Zeichne die Geraden in ein Koordinatensystem, welche durch die Terme links und rechts des Relationszeichens gegeben sind.

    Die Gerade zu einer konstanten Funktion verläuft parallel zur $x$-Achse.

    Beachte, dass die Ungleichung $2x+3>1$ das Relationszeichen $>$ hat.

    Du kannst die Ungleichung auch rechnerisch lösen. Dafür gehst du ebenso vor wie bei Gleichungen. Du musst dabei nur beachten, dass bei einer Multiplikation mit oder der Division durch eine negative Zahl das Relationszeichen umgekehrt werden muss.

    Lösung

    Betrachtet wird die Ungleichung $2x+3>1$.

    Die rote Gerade ist die zu der linearen Funktion $y=2x+3$ und die grüne zu $y=1$.

    Dort, wo die beiden Geraden sich schneiden, gilt Gleichheit. Der Schnittpunkt liegt bei $(-1|1)$.

    Da $2x+3>1$ sein soll, wird nur der Bereich betrachtet, in welchem die rote Gerade oberhalb der grünen liegt. Dies ist für alle $x>-1$ der Fall.

    Dies wird durch den violetten Pfeil angedeutet. Da $x=-1$ nicht zu der Lösungsmenge gehört, befindet sich dort ein nicht ausgefüllter Kreis.

  • Entscheide, ob eine lineare Ungleichung vorliegt.

    Tipps

    Du kannst jede Gleichung ausschließen, da eine lineare Ungleichung insbesondere eine Ungleichung ist.

    Die Unbekannte kommt höchstens linear, das heißt mit dem Exponenten $1$, vor.

    Eine Ungleichung der Form $x^2-2x>0$ ist quadratisch.

    Die Unbekannte darf nicht im Nenner stehen.

    Lösung

    In einer linearen Ungleichung

    • kommt ein Relationszeichen $<$,$\le$, $>$ oder $\ge$ vor und
    • die Unbekannte hat den Exponent $1$.
    Somit sind die folgenden Gleichungen lineare Ungleichungen:
    • $2x-3(x+1)>1$
    • $2x\le 3(x+1)$
    • $-2x-3\ge 3x-1$.
    Keine lineare Ungleichung sind
    • $2x-3(x+1)^2>1$; dies ist eine quadratische Ungleichung.
    • $\frac2x\le 3(x+1)$; hier kommt die Unbekannte im Nenner vor.
    • $-2x-3= 3x-1$; dies ist eine Gleichung.

  • Ordne jeder der Ungleichungen die Lösungsmenge zu.

    Tipps

    Beachte, dass bei den Relationen $\le$ sowie $\ge$ der Kreis an dem Pfeil ausgefüllt sein muss.

    Betrache zu jeder der Ungleichungen den Bereich, in welchem die Geraden zu dem jeweiligen Term der angegebenen Relation entspricht.

    Zu jeder der Ungleichungen gehört eine Lösungsmenge, die durch einen Pfeil sichtbar gemacht wird.

    Lösung

    Wenn man lineare Ungleichungen grafisch lösen möchte, kann man die Terme links und rechts des Relationszeichens in ein Koordinatensystem einzeichnen. Mit Hilfe des Schnittpunktes kann die Lösungsmenge grafisch bestimmt und als Pfeil angezeigt werden. Dabei gilt, dass bei den Relationen $\le$ sowie $\ge$ der Punkt am Anfang des Pfeils ausgefüllt sein muss.

    • $3x+3>3-x$: Dies sind die rote und grüne Gerade. An dem Bild ist zu erkennen, dass diese Ungleichung für alle $x>0$ gilt. Dies wird durch den zweiten Pfeil von oben angezeigt, jedoch darf der Kreis nicht ausgefüllt sein.
    • $-\frac23x+4>2$: Dies sind die violette und blaue Gerade. Die violette Gerade liegt oberhalb der blauen für $x<3$. Dies entspricht dem oberen Pfeil.
    • $2\le 3-x$: Die blaue Gerade liegt unterhalb der grünen für $x\le 1$. Dies entspricht dem unteren Pfeil.
    • $3x+3\ge2$: Die rote Gerade liegt oberhalb der blauen für $x\ge -\frac13$. Dies entspricht dem dritten Pfeil von oben. Jedoch muss hier der Kreis ausgefüllt sein.

  • Ergänze die Erklärung zu linearen Ungleichungen.

    Tipps

    Zum Beispiel ist $x<4$ eine Ungleichung und $x=4$ eine Gleichung.

    Die Ungleichungen werden nach der höchsten Potenz benannt:

    • $2x-4>5$ ist eine lineare und
    • $2x^2-4>5$ ist eine quadratische Ungleichung.

    Lösung

    Was sind lineare Ungleichungen?

    • Linear bedeutet, dass die Unbekannte, zum Beispiel $x$, nur in der ersten Potenz und nicht im Nenner vorkommt.
    • Ungleichungen bilden Größenvergleiche ab. Diese werden durch Relationszeichen dargestellt.
    $a<b$ bedeutet, dass $a$ kleiner als $b$ ist.

    $a\le b$ bedeutet, dass $a$ kleiner oder gleich $b$ ist.

    $a>b$ bedeutet, dass $a$ größer als $b$ ist.

    $a\ge b$ bedeutet, dass $a$ größer oder gleich $b$ ist.

  • Ermittle die Lösungsmenge der linearen Ungleichung.

    Tipps

    Zeichne die Geraden zu $y=3(x+2)-4x$ sowie $y=x-1$ in ein Koordinatensystem ein.

    Falls du die Ungleichung rechnerisch löst, achte darauf, dass das Multiplizieren mit oder das Dividieren durch eine negative Zahl dazu führt, dass das Relationszeichen umgedreht werden muss.

    Du kannst auch die zugehörige Gleichung lösen und dann prüfen, für welche $x$ die Ungleichung erfüllt ist.

    Lösung

    Es soll die lineare Ungleichung $3(x+2) - 4 x > x - 1$ gelöst werden. Beachte, dass hinter der Geraden $y=3(x+2)-4x$ die Funktion $y=6-x$ steckt.

    In dem nebenstehenden Bild sind die Terme links und rechts des Relationszeichens als Geraden zu sehen. Bei $x=3,5$ und $y=2,5$ schneiden sich die beiden Geraden. Die rote Gerade liegt links von $x=3,5$ oberhalb der grünen.

    Der Pfeil zeigt die Lösungsmenge an $\mathbb{L}=\{x\in\mathbb{R}|x<3,5\}$.

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