Lineare Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen – Übung

Lineare Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen – Übung Übung

• Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung.

  Tipps

  Bei Äquivalenzumformungen mit Plus oder Minus ändert sich das Relationszeichen nicht.

  Eine Äquivalenzumformung muss auf beiden Seiten der Ungleichung durchgeführt werden.

  Lösung

  Betrachten wir die Ungleichung gemeinsam. Es müssen Äquivalenzumformungen vorgenommen werden, um die Ungleichung zu lösen. Das Relationszeichen verändert sich bei dieser Rechnung jedoch nicht, da wir nie mit einer negativen Zahl multiplizieren oder durch eine solche teilen.

  $\begin{align} && 7x-2 & < 54 &|& +2 \\ &\Leftrightarrow& 7x & < 56 &|& :7 \\ &\Leftrightarrow& x & < 8 \end{align}$

  Für Werte unter $8$ ($8$ selbst liegt außerhalb der Lösungsmenge) sollte die Ungleichung also erfüllt sein. Das überprüfen wir mit $x=7$:

  $\begin{align} && 7\cdot (7) - 2 &< 54 \\ &\Leftrightarrow& 49 - 2 &< 54 \\ &\Leftrightarrow& 47 &< 54 \end{align}$

  Hierbei handelt es sich um eine wahre Aussage. Unsere Lösungsmenge (mit $x$ aus den reellen Zahlen) ist somit:

  $\mathbb{L}=\{x \in \mathbb{R}~ |~ x<8\}$

• Gib die Lösungsmenge der Ungleichung an.

  Tipps

  Eine Äquivalenzumformung muss auf beiden Seiten der Ungleichung durchgeführt werden.

  Bei Division durch oder Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht sich das Relationszeichen um.

  Das sind Relationszeichen:

  Lösung

  Berechnen wir die Lösungsmenge dieser Ungleichung.

  Behalte im Hinterkopf, dass sich bei Division durch oder Multiplikation mit einer negativen Zahl das Relationszeichen umdreht.

  $\begin{align} && -\frac{1}{2}(x-5) & < 5 &|& \text{ Ausmultiplizieren} \\ &\Leftrightarrow& -\frac{1}{2}x + 2,5 & < 5 &|& -2,5 \\ &\Leftrightarrow& -\frac{1}{2}x & < 2,5 &|& :(-\frac{1}{2}) \\ &\Leftrightarrow& x &> -5 \end{align}$

  Für Werte, die größer als $-5$ sind, sollte die Ungleichung also stimmen. Das überprüfen wir mit $x=-4$:

  $\begin{align} && 1-\frac{1}{2}(-4-5) & < 5 \\ &\Leftrightarrow& -\frac{1}{2} \cdot (-9) & < 5 \\ &\Leftrightarrow& 4,5 &< 5 \end{align}$

  Das führt zu einer wahren Aussage. Unsere Lösungsmenge lautet damit:

  $\mathbb{L}=\{x \in \mathbb{R}~|~ x>-5\}$

• Bestimme die Lösungsmenge der vorgegebenen Ungleichung.

  Tipps

  Eine Äquivalenzumformung muss auf beiden Seiten der Ungleichung durchgeführt werden.

  Wenn du mit einer negativen Zahl multiplizierst oder durch eine negative Zahl teilst, dreht sich das Relationszeichen um.

  Bei schweren Aufgaben oder Unsicherheiten bietet es sich immer an, eine Probe durchzuführen.

  Lösung

  Beim Lösen dieser Ungleichung muss man darauf achten, ob und wann das Relationszeichen umgedreht werden muss. Dies ist der Fall, wenn durch eine negative Zahl geteilt oder mit einer solchen Multipliziert wird. Es gibt hier mehrere Möglichkeiten diese Ungleichung zu lösen. Hier siehst du eine von ihnen.

  $\begin{align} && 3x-7 &\ge 8x+3 &|& -8x \\ &\Leftrightarrow& -5x -7 &\ge 3 &|& +7 \\ &\Leftrightarrow& -5x & \ge 10 &|& :(-5) \\ &\Leftrightarrow& x & \le -2 \end{align}$

  Für Werte kleiner oder gleich $-2$ soll unsere Ungleichung also erfüllt sein. Dies testen wir mit $-2$ selbst und mit $-3$:

  $3\cdot (-2) -7 \ge 8\cdot (-2) + 3 \Leftrightarrow -13 \ge -13$

  $3\cdot (-3) -7 \ge 8\cdot (-3) + 3 \Leftrightarrow -16 \ge -21$

  Die Probe zeigt zwei wahre Aussagen, unsere gesuchte Lösungsmenge ist damit:

  $\mathbb{L}=\{x \in \mathbb{R}~|~x \le -2 \}$

• Entscheide, wessen Handyvertrag wie viele Minuten zum Telefonieren bietet.

  Tipps

  Hier reicht eine Ungleichung nicht aus.

  Du brauchst für jeden Vertrag eine Ungleichung, um die Lösungsmengen vergleichen zu können.

  Diese Ungleichung beschreibt den Vertrag von Max.

  Hier verwenden wir $\le$, da das Geld komplett ausgegeben werden darf, aber nicht mehr als $80~€$.

  Diese Ungleichung beschreibt Tims Vertrag.

  Lösung

  Um hier herauszufinden, wer wie viele Minuten zur Verfügung hat, müssen wir zwei Ungleichungen aus den gegebenen Informationen aufstellen, um dann die Lösungsmengen vergleichen zu können.

  Max zahlt $30~€$ pro Monat und zwanzig Cent für jede Minute, die er telefoniert. Maximal kann er $80~€$ ausgeben. Das kann man so umschreiben:

  $30~€ + 0,2~€/min \le 80~€$

  Diese Ungleichung überführen wir in eine Ungleichung mit einer Variablen. $x$ steht hierbei für die Minutenanzahl.

  $\begin{align} && 30 + 0,2\cdot x &\le 80 &|& -30 \\ &\Leftrightarrow& 0,2\cdot x &\le 50 &|& :0,2 \\ &\Leftrightarrow& x &\le 250 \end{align}$

  Max kann also höchstens $250$ Minuten lang telefonieren, um die verfügbaren $80~€$ nicht zu überschreiten.

  Betrachten wir nun die Werte von Tim. Er bezahlt anfangs mehr, nämlich $45~€$, aber dafür nur $15~ct$ pro Minute. Verschafft ihm das einen Vorteil? Auch er hat nur $80~€$ pro Monat zur Verfügung.

  Als Ungleichung formuliert bedeutet das:

  $45~€ + 0,15~€/min \le 80~€$

  Nun überführen wir diese in eine Ungleichung mit Variablen. $x$ ist wieder die Minutenanzahl:

  $\begin{align} && 45 + 0,15\cdot x &\le 80 &|& -45 \\ &\Leftrightarrow& 0,15 \cdot x &\le 35 &|& :0,15 \\ &\Leftrightarrow& x &\le 233,\bar{3} \end{align}$

  Gerundet kann Tim also bloß $233$ Minuten lang telefonieren.

  Damit hat Max den günstigeren Vertrag, da er sogar $250$ Minuten lang telefonieren kann.

• Ergänze die Aussagen über Ungleichungen und Äquivalenzumformungen.

  Tipps

  Ein Beispiel für eine Äquivalenzumformung:

  Auch hier wurde eine Äquivalenzumformung durchgeführt. Erkennst du die Besonderheit?

  Lösung

  Bei einer Äquivalenzumformung werden beide Seiten einer (Un-)Gleichung auf gleiche Weise (äquivalent) umgeformt. Das bedeutet, dass man denselben Rechenschritt - eine Erweiterung, Kürzung,... - auf beiden Seiten durchführen muss.

  Ein Beispiel dafür ist die Ungleichung

  $4x < 3~~~ |+2$

  Die $2$ wird auf beiden Seiten der Ungleichung addiert (dasselbe gilt bei einer Gleichung).

  $4x+2 < 5$

  Eine Besonderheit stellt das Multiplizieren mit bzw. die Division durch eine negative Zahl dar. In diesem Fall wird das Relationszeichen umgedreht. Wir betrachten ein Beispiel:

  $\begin{align} && -2x &> 6 &|& :(-2) \\ &\Leftrightarrow& x &< -3 \end{align}$

  Merke:

  • Eine Äquivalenzumformung betrifft beide Seiten der Ungleichung.

  • Division/Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht das Relationszeichen um.

• Ermittle die Ungleichung und löse sie anschließend.

  Tipps

  Aus den Informationen kann man diese Ungleichung formulieren:

  Eine Äquivalenzumformung gilt für beide Seiten der Ungleichung.

  Das Ergebnis muss richtig interpretiert werden, denn $<$ hat eine andere Bedeutung als $\le$.

  Lösung

  Fassen wir die Informationen noch einmal zusammen:

  • Anna zahlt $6~€$ und $50~ct$ pro Stunde

  • Lisa zahlt $3~€$ und $50~ct$ pro Stunde

  • sie haben $15~€$ zur Verfügung, die sie nicht komplett ausgeben möchten

  Das bedeutet, dass sie zusammen $9~€$ Eintritt bezahlen.

  Zusätzlich kostet es für sie zusammen einen Euro für jede Stunde, die sie dort bleiben. Als Ungleichung formulieren wir:

  $9~€ + 1~€/h < 15~€$

  Wir verwenden ein $<$ und kein $\le$, da das Geld nicht vollständig ausgegeben werden soll.

  Das übertragen wir jetzt in eine Ungleichung mit einer Variablen:

  $9 + 1\cdot x < 15$

  Diese lösen wir nun nach $x$ auf.

  $\begin{align} && 9 + 1\cdot x & < 15 &|& -9 \\ &\Leftrightarrow& x & < 6 \end{align}$

  Das bedeutet, dass sie die Anforderungen erfüllen, wenn sie weniger als sechs Stunden im Schwimmbad bleiben. Die $6$ gehört nicht mehr zu den Werten, die die Ungleichung erfüllen.

  Damit können wir sagen, dass sie (da nach Stunden bezahlt wird) maximal fünf Stunden bleiben dürfen, um weniger als $15~€$ Euro auszugeben.