Lineare Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen (2)

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Grundlagen zum Thema Lineare Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen (2)
Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video lernst du, wie man lineare Ungleichungen mithilfe von Äquivalenzumformungen löst. Dabei zeige ich dir auf welche Besonderheiten du beim äquivalenten Umformen von Ungleichungen achten musst. Im Fokus des Lernvideos stehen Beispielaufgaben, welche ich mit dir gemeinsam lösen werde. Hierbei zeige ich dir Schritt für Schritt wie du zukünftig beim Lösen von Ungleichungen vorgehen kannst. Viel Spass!
Lineare Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen (2) Übung
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Schildere, was beim Lösen von linearen Ungleichungen zu beachten ist.
TippsEs gilt $4>3$, allerdings ist $-4<-3$.
Äquivalenzumformungen sind
- die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
- die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
- die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
- Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
Du kannst Ungleichungen ähnlich behandeln wie Gleichungen. Es gibt zwei Rechenoperationen, bei welchen du aufpassen musst.
LösungÄhnlich wie bei Gleichungen, dürfen bei Ungleichungen Äquivalenzumformungen durchgeführt werden. Diese sind
- die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
- die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
- die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
- Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
$<$, $\le$, $>$ oder $\ge$.
Wichtig ist zu beachten, dass
- bei der Division durch oder
- der Multiplikation mit
Zum Beispiel:
$\begin{array}{lcc} & -2x&\le 4&|:(-2)\\ \Leftrightarrow & x&\ge -2& \end{array}$
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Bestimme die Lösungsmenge der linearen Ungleichung.
TippsBehandle die lineare Ungleichung wie eine Gleichung.
Du musst nur darauf achten, dass beim Multiplizieren mit oder Dividieren durch eine negative Zahl, das Relationszeichen umgekehrt werden muss.
In diesem Fall wird einmal durch eine negative Zahl geteilt.
Zur Probe kannst du eine Zahl aus der Lösungsmenge in der Ausgangsungleichung einsetzen. Diese muss erfüllt sein.
LösungEs soll die Lösungsmenge der Ungleichung
$-2x+3\ge0,25x-1,5$
angegeben werden. Hierfür werden Äquivalenzumformungen angewendet, welche in der folgenden Rechnung zu sehen sind:
$\begin{align*} &&-2x+3&\ge0,25x-1,5&|&-3\\ &\Leftrightarrow&-2x&\ge0,25x-4,5&|&-0,25x\\ &\Leftrightarrow&-2,25x&\ge-4,5&|&:(-2,25) \end{align*}$
An dieser Stelle muss man aufpassen, da durch eine negative Zahl dividiert wird. Das bedeutet, das Relationszeichen dreht sich um:
$\Leftrightarrow x\le 2$.
Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\{x\in \mathbb{R}|x\le 2\}$.
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Leite die Lösung der linearen Ungleichung her.
TippsAuch wenn diese Gleichung aussieht, als sei sie nicht linear, so ist sie es doch.
Wende die 1. binomische Formel auf der linken Seite an und multipliziere auf der rechten Seite die Klammer aus.
Im nächsten Schritt kannst du $x^2$ subtrahieren und erhältst eine lineare Ungleichung.
Diese lineare Ungleichung kannst du mit Äquivalenzumformungen lösen.
LösungDie Ungleichung $(x+1)^2\le x\cdot (x-1)$ sieht zunächst nicht linear aus. Man kann mit der 1. binomischen Formel auf der linken sowie Ausmultiplizieren der Klammer auf der rechten Seite wie folgt umformen:
$x^2+2x+1\le x^2-x$.
Durch Subtraktion von $x^2$ auf beiden Seiten erhält man eine lineare Ungleichung
$2x+1\le-x$.
Nun kann auf beiden Seiten $1$ subtrahiert werden, was zu
$2x\le1-x$
führt. Die Addition von $x$ führt zu
$3x\le1$.
Indem man durch $3$ dividiert, gelangt man zu
$x\le \frac13$
und damit zu der Lösungsmenge
$\mathbb{L}=\{x\in\mathbb{R}|x\le \frac13\}$.
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Bestimme die Lösungsmenge der linearen Ungleichung.
TippsStelle zunächst die Ungleichung auf. Die gesuchte Zahl sei $x$.
Löse die Ungleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen.
Achte darauf, dass beim Multiplizieren mit oder Dividieren durch eine negative Zahl das Relationszeichen umgedreht wird.
LösungZunächst muss der oben angegebene Text in eine Ungleichung übersetzt werden:
- Die gesuchte Zahl sei $x$,
- das Vierfache der Zahl ist $4x$ und
- das Zehnfache $10x$.
$4x+12\ge10x$.
Diese kann nun mit Hilfe von Äquivalenzumformungen gelöst werden:
$\begin{align*} &&4x+12&\ge10x&|&-12\\ &\Leftrightarrow&4x&\ge 10x-12&|&-10x\\ &\Leftrightarrow&-6x&\ge-12&|&:(-6)\\ &\Leftrightarrow&x&\le2. \end{align*}$
Hier wurde durch $-6$, also eine negative Zahl, dividiert, weshalb das Relationszeichen umgedreht wurde.
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{x\in\mathbb{R}|x\le 2\}$.
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Gib die Lösungsmenge der linearen Ungleichung an.
TippsFühre Äquivalenzumformungen zur Lösung dieser linearen Ungleichung durch.
Du kannst am Ende deiner Rechnung eine Probe durchführen. Setze ein Element aus der Lösungsmenge in der Ausgangsungleichung ein. Diese muss erfüllt sein.
Die Lösungsmenge ist eine Menge. Diese wird in geschweiften Klammern geschrieben.
LösungEs soll die lineare Ungleichung
$\frac13x-5\le\frac14x+3$
gelöst werden. Hierfür werden Äquivalenzumformungen, so wie bei Gleichungen, angewendet, um $x$ auf einer Seite schließlich alleine stehen zu haben:
$\begin{align*} &&\frac13x-5&\le\frac14x+3&|&+5\\ &\Leftrightarrow&\frac13x&\le\frac14x+8&|&-\frac14x\\ &\Leftrightarrow&\frac1{12}x&\le8&|&\cdot 8\\ &\Leftrightarrow&x&\le96. \end{align*}$
Somit kann die Lösungsmenge wie folgt angegeben werden:
$\mathbb{L}=\{x\in\mathbb{R}|x\le 96\}$.
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Prüfe, ab welcher Zahl von Musiktiteln der Anbieter $A$ günstiger ist als der Anbieter $B$.
TippsStelle zunächst die linearen Gleichungen auf, durch welche die Kosten bei Anbieter $A$ und $B$ ermittelt werden können.
Die Kosten bei Anbieter $A$ sind gegeben durch $10+0,49x$.
Es muss gelten, dass die Kosten bei $A$ niedriger sind als die von $B$. Das bedeutet $<$.
Dies führt zu einer linearen Ungleichung.
LösungDie Kosten von Anbieter $A$ und $B$ können jeweils als lineare Terme bestimmt werden:
- $A$: $10+0,49x$ und
- $B$: $5+0,59x$.
$10+0,49x<5+0,59x$,
welche mit Äquivalenzumformungen gelöst werden kann:
$\begin{align*} &&10+0,49x&<5+0,59x&|&-10\\ &\Leftrightarrow&0,49x&<-5+0,59x&|&-0,59x\\ &\Leftrightarrow&-0,1x&<-5&|&:(-0,1)\\ &\Leftrightarrow&x&>50. \end{align*}$
Hier wurde durch $-0,1$ geteilt, also durch eine negative Zahl. Deshalb dreht sich das Relationszeichen um.
Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist $\mathbb{L}=\{x\in\mathbb{R}|x>50\}$.
Das bedeutet ab $50$ Musiktiteln ist der Anbieter $A$ günstiger für Paul.

Gleichungen und Ungleichungen

Eigenschaften von Ungleichungen

Ungleichungen an der Zahlengeraden

Was sind lineare Ungleichungen?

Ungleichungen in zwei Schritten lösen

Lineare Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen (1)

Lineare Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen (2)

Lineare Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen – Übung

Lösen von linearen Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen

Lösen von linearen Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen – Übung

Lineare Ungleichungen – Textaufgaben

Linearen Ungleichungen – Grafisches Lösen

Ungleichungen mit Multiplikation und Division lösen

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