Lineare Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen (1)

Lineare Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen (1) Übung

• Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung.

  Tipps

  Löse die Ungleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach $x$ auf.

  Hier sind auch Dezimalzahlen möglich, da man auch Teile von Stunden arbeiten kann.

  Lösung

  Durch die Ungleichung

  $5 \cdot x + 1,20 \ge 12$

  will Ben herausfinden, wie lange er arbeiten muss, um die Karten bezahlen zu können.

  $x$ ist dabei die Anzahl der Stunden. Durch Äquivalenzumformungen kann man nach dieser Variablen auflösen:

  $\begin{align} 5 \cdot x + 1,20 &\ge 12 &|&-1,20 \\ 5 \cdot x &\ge 10,80 &|&:5 \\ x &\ge 2,16 & \end{align}$

  Ben muss also mindestens $2,16$ Stunden arbeiten.

  Da Ben auch Anteile von Stunden arbeiten kann, legen wir als Zahlenbereich die Menge der positiven reellen Zahlen fest. Die Lösungsmenge ist also:

  $\mathbb{L}=\{ x \in \mathbb{R}^+ | x \ge 2,16 \}$.

• Stelle eine passende Ungleichung auf.

  Tipps

  Der Wert von $x$ Muffins darf die $4,20~€$ nicht überschreiten.

  Bens Erspartes muss mindestens so groß sein wie die Kosten für die Muffins.

  Lösung

  Ben kennt die Größen für seine Ungleichung: Das sind das Geld, welches er zur Verfügung hat, und die Kosten für einen Muffin.

  Für die Ungleichung verwenden wir die Variable $x$ als Anzahl der möglichen Muffins.

  Ben kann maximal $4,20~€$ ausgeben. Damit steht schon eine Seite der Ungleichung fest. Jetzt bestimmen wir noch die Kosten für die Muffins: Wir multiplizieren die Anzahl der Muffins mit dem Preis für einen Muffin. Wir können also schon einmal folgendes schreiben:

  $4,20~?~0,75 \cdot x$.

  Doch welches Relationszeichen müssen wir setzen?

  Bens Erspartes muss mindestens so groß sein wie die Kosten für die Muffins. Da er das Geld aber auch komplett ausgeben kann, setzen wir das Relationszeichen $\geq$ in der Ungleichung ein:

  $4,20 \ge 0,75 \cdot x$.

• Prüfe, welche der Lösungsmengen korrekt ist.

  Tipps

  Ermittle die Lösungsmenge, indem du die Ungleichung durch Äquivalenzumformungen löst.

  Man kann nur ganze Kekse backen. Interpretiere das Ergebnis.

  Wähle den richtigen Zahlenbereich aus. $\mathbb{N}^0$ steht für die Menge der natürlichen Zahlen und $\mathbb{R}^+$ für die Menge der positiven reellen Zahlen.

  Die Lösungsmenge der Ungleichung gibt dir an, wie viele Kekse die Klasse maximal backen kann.

  Lösung

  In diesem Beispiel ist die Ungleichung schon gegeben. Wir überprüfen die Lösungsmengen, indem wir sie selbst lösen. Dazu ist nur eine kleine Äquivalenzumformung nötig.

  $\begin{align} 0,48 \cdot x &\le 50 &| :0,48 \\ x &\le 104,17 & \end{align}$

  Da man keine Anteile von Keksen backen kann, runden wir das Ergebnis ab:

  $x \le 104$.

  Die Klasse kann höchstens $104$ Kekse backen. In der Lösungsmenge muss sich also $x \le 104$ wiederfinden.

  Wie ist der Definitionsbereich zu wählen?

  Man keine halben oder sonstigen Anteile von Keksen backen. Daher kommen nur positive und ganze Zahlen für den Definitionsbereich in Frage. Die reellen Zahlen scheiden somit aus, da hier auch Dezimalzahlen in Frage kämen.

  Daher lautet die korrekte Lösungsmenge der Ungleichung:

  $\mathbb{L}=\{ x \in \mathbb{N}^0 | x \le 104 \}$.

• Bilde eine Ungleichung zu dem Alltagsproblem.

  Tipps

  $x$ steht für die Anzahl der Freunde.

  Achte auch auf das vorgegebene Relationszeichen. Beachte, dass du auf die Einheit $€$ verzichtest.

  Die rechte Seite der Ungleichung darf nicht größer sein, als das Geld, das Tim zur Verfügung hat.

  Lösung

  Hier ist es wichtig, noch einmal die wichtige Informationen aus dem Text zu suchen und zu sammeln:

  • Tim hat $20,00~€$. Dieses Geld kann er maximal für seine Freunde ausgeben.
  • Eine Tageskarte kostet $3,50~€$. Es ist also der Preis pro Person.

  Für ihn selbst und sieben Freunde wird Tims Geld nicht reichen. Aber wie findet er heraus, wie viele Personen er ins Schwimmbad bringen kann?

  • Das Relationszeichen größer gleich ist schon gegeben. Auf die linke Seite der Ungleichung muss also ein Wert, der immer größer oder gleich der rechten Seite ist. Hier tragen wir Bens $20,00~€$ ein, da dieser Wert nicht überschritten werden darf. Er kann ja nur das ausgeben, was er hat.
  • Wenn $x$ für die Anzahl der Personen steht, muss auf die rechte Seite noch der Preis für die Eintrittskarten, der sich als Produkt von Preis pro Karte und der Anzahl der Personen berechnet: $3,5\cdot x$.
  • Somit sieht die fertige Ungleichung so aus: $20 \ge 3,5 \cdot x$.

• Gib die richtige Muffinanzahl an.

  Tipps

  Versuche durch Äquivalenzumformungen die Variable zu isolieren, damit sie alleine auf einer Seite der Ungleichung steht.

  Teile beide Seiten der Ungleichung durch $0,75$.

  Man kann nur ganze Muffins backen. Interpretiere das Ergebnis.

  Lösung

  Um herauszufinden, wie viele Muffins Ben maximal backen kann, müssen wir die Ungleichung nach $x$ auflösen.

  Dazu teilen wir durch den Faktor vor $x$.

  $\begin{align} 0,75 \cdot x &\le 4,20 &|& :0,75 \\ x &\le 5,60 & \end{align}$

  Ben kann demnach also höchstens $5,60$ Muffins backen. Da er aber keine Anteile von Muffins backen kann, beschränkt sich die maximale Anzahl auf $5$ Muffins.

• Ermittle die Lösung der von dir aufgestellten Gleichung.

  Tipps

  Stelle zuerst eine passende Ungleichung auf. $x$ steht für die Anzahl der Kinder.

  Die Ungleichung sieht so aus:

  Löse die Ungleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen.

  Das Ergebnis muss gerundet werden, da es angibt, wie viele Kinder maximal mitkommen können.

  Lösung

  Zuerst sammeln wir alle wichtigen Informationen aus dem Text.

  Die Gruppe hat $150,00~€$ zur Verfügung. Dieser Wert darf nicht überschritten werden, da man nicht mehr ausgeben kann, als man hat.

  Deshalb kommt diese Zahl auf die linke Seite der Gleichung, da das Relationszeichen schon feststeht und die Kosten auf der rechten Seite der Gleichung dieses Budget nicht überschreiten dürfen.

  Rechts führen wir die Kosten pro Kind auf, wobei $x$ die Anzahl der Kinder ist. Außerdem stehen hier noch die Kosten für die beiden Erzieherinnen, die zusammen $25,00~€$ bezahlen.

  Somit erhalten wir als Ungleichung:

  $150 \ge 8 \cdot x + 25$.

  Diese lösen wir nun durch einige kleine Äquivalenzumformungen nach $x$ auf. Dazu tauschen wir aber die Seiten und das Relationszeichen, damit die Variable wie gewohnt auf der linken Seite steht:

  $\begin{align} 8 \cdot x + 25 &\le 150 &|& -25 \\ 8 \cdot x &\le 125 &|& :8 \\ x &\le 15,625 & \end{align}$

  Da es keine halben Kinder gibt, erhalten wir $x \le 15$. Die Gruppe kann also maximal $15$ Kinder mitnehmen. Die Lösungsmenge sieht folglich so aus:

  $\mathbb{L}=\{ x \in \mathbb{N}^0 | x \le 15\}$.