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Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen – Voraussetzungen und Methode

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen – Voraussetzungen und Methode
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen – Voraussetzungen und Methode

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen können wir oft nicht nur durch Äquivalenzumformungen, sondern auch grafisch lösen. Sind die Variablen des Gleichungssystems x und y, können wir beide Gleichungen z.B. nach y umstellen. Diese Gleichungen können wir als Funktionsgleichungen auffassen und die Graphen der Funktionen zeichnen. Hat das Gleichungssystem genau eine Lösung, so haben die Funktionsgraphen einen Schnittpunkt. Die Koordinaten des Schnittpunktes sind dann die Lösung des Gleichungssystems. Im Video rechnen wir ein Beispiel dazu durch und schauen uns noch die Methode des zeichnerischen (grafischen) Lösens linearer Gleichungssysteme an.

12 Kommentare

12 Kommentare
  1. gut aber etwas leise

    Von sea shepherd p., vor etwa einem Jahr
  2. Hallo Carlo Starbatti,
    du hast bestimmt schon mal eine Wertetabelle für eine Funktion angelegt. Möchtest du z.B. wissen, wie ein Graph verläuft, kannst du nacheinander für x Werte einsetzen in die Funktionsgleichung einsetzen und erhälst dann somit den dazugehörigen y-Wert. Warum machen wir das? Wir wissen, dass der Graph irgendwann im Punkt x=4 ankommt. Wir wissen aber nicht, welchen y-Wert der Graph dort hat. Wenn wir für x den Wert 4 einsetzen, wissen wir, dass der Graph dort im Punkt (4|0) ist. Setzen wir für x für in diese Funktion ein, dann sieht es so aus: y=-1/2 ⋅ 4 + 2. Rechnen wir das aus ergibt sich y=0.
    Man kann jede beliebige Zahl für x einsetzen, um so den dazugehörigen y-Wert zu erhalten.
    Ich hoffe, wir konnten dir weiterhelfen.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor fast 2 Jahren
  3. warum kann man für x 4 oder so einsetzen

    Von Carlo Starbatti, vor fast 2 Jahren
  4. Super und verständlich erklärt!

    Von Linamarie334, vor mehr als 2 Jahren
  5. Stimme ist zwar leise aber dennoch gut beschrieben.

    Von H J Buechler, vor mehr als 2 Jahren
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Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen – Voraussetzungen und Methode Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungssysteme zeichnerisch lösen – Voraussetzungen und Methode kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Methode zur zeichnerischen Lösung von linearen Gleichungssystemen.

    Tipps

    Der erste Schritt ist ähnlich wie beim Gleichsetzungsverfahren.

    Gleichungen von der Form $y=2x+9$ kannst du als Funktionsgleichung einer linearen Funktion interpretieren und somit sehr gut zeichnen.

    Lösung

    Um die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems (auch LGS genannt) zu bestimmen, kann man zum Beispiel nicht nur das Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren nutzen, sondern es auch zeichnerisch lösen. Dazu geht man wie folgt vor:

    1. Stelle die beiden Gleichungen durch Termumformungen nach $y$ um. Das heißt, dass auf einer Seite der Gleichung das $y$ alleine steht.
    2. Die so umgestellten Gleichungen kannst du als Funktionsgleichung einer linearen Funktion interpretieren.
    3. Zeichne die dazugehörigen Funktionsgraphen. Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade.
    4. Lies die Koordinaten des Schnittpunktes ab. Die Lösung ist insofern immer eindeutig, dass sich zwei Geraden immer nur in maximal einem Punkt schneiden. Es gibt also keine zwei Schnittpunkte. Es kann jedoch keinen Schnittpunkt geben, dann hat das LGS keine Lösung.
    5. Gib die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ an. Diese sieht so aus: $\mathbb{L}=\{(x\vert y)\}$
  • Gib die Lösung des linearen Gleichungssystems an.

    Tipps

    Zu der Funktionsgleichung $y=2x+2$ gehört dieser Funktionsgraph.

    So stellst du eine Gleichung nach $y$ um:

    $\begin{array}{lcrl} \\ 3y-3-x&=&5x+3 &\vert +3 \\ 3y-x&=&5x+6 &\vert +x \\ 3y&=&6x+6 &\vert :3 \\ y&=&2x+2 \\ \end{array}$

    Lösung

    Die Methode zum zeichnerischen Lösen eines LGS lässt sich in drei Schritte gliedern.

    1. Stelle die beiden Gleichungen durch Termumformungen nach $y$.
    2. Zeichne die Funktionsgraphen.
    3. Lies die Koordinaten des Schnittpunktes ab.
    Wir haben das folgende Gleichungssystem gegeben:

    $ \begin{array}{| lcr |} ~x+2y&=&4~\\ ~-x+y&=&-1~\\ \end{array}$

    Hier stellst du Schritt für Schritt beide Gleichungen nach $y$ um:

    Schritt 1

    $\begin{array}{| lcr |r} ~x+2y&=&4~&|~-x\\ ~-x+y&=&-1~&|~+x\\ \end{array}$

    Schritt 2

    $\begin{array}{| lcr |r} ~2y&=&-x+4~&|~:2\\ ~y&=&x-1~&\\ \end{array}$

    Umgestellte Funktionsgleichungen

    $\begin{array}{| lcr |} ~y&=&-\frac12x+2~\\ ~y&=&x-1~\\ \end{array}$

    Zeichne nun die dazugehörigen Funktionsgraphen in das Koordinatensystem (siehe die beiden hier abgebildeten Geraden).

    Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden und lies die Koordinaten ab: $S(2|1)$.

    Damit lautet die Lösungsmenge für das LGS $\mathbb{L}=\{(2|1)\}$.

  • Ermittle die Lösungen des linearen Gleichungssystems.

    Tipps

    Die Methode zum zeichnerischen Lösen eines LGS lässt sich in drei Schritte gliedern.

    1. Stelle die beiden Gleichungen durch Termumformungen nach $y$ um.
    2. Zeichne die Funktionsgraphen.
    3. Lies die Koordinaten des Schnittpunktes ab.

    Lösung

    Erstes Paar:

    Betrachte das lineare Gleichungssystem

    $ \begin{array}{| lcr |} ~7x+2y&=&9+y~\\ ~-x+2y&=&y+x~\\ \end{array}$

    Umstellen nach $y$:

    Schritt 1

    $\begin{array}{| lcr |l} ~7x+2y&=&9+y~&|~-7x\\ ~-x+2y&=&y+x~&|~+x\\ \end{array}$

    Schritt 2

    $\begin{array}{| lcr |l} ~2y&=&9+y-7x~&|~-y\\ ~2y&=&y+2x~&|~-y\\ \end{array}$

    Funktionsgleichungen

    $\begin{array}{| lcr |} ~y&=&9-7x~\\ ~y&=&2x~&\\ \end{array}$

    Sie schneiden sich im Punkt: $S(1|2)\Rightarrow \mathbb{L}=\{(1|2)\}$. Das sind die rosafarbenen Geraden.

    Zweites Paar:

    $ \begin{array}{| lcr |} ~y+2-x&=&5x-2~ \\ ~y-3x&=&2~ \\ \end{array}$

    Nach $y$ umgestellt:

    $ \begin{array}{| lcr |} ~y&=&6x−4~ \\ ~y&=&3x+2~ \\ \end{array}$

    • $S(2|8) \Rightarrow \mathbb{L}=\{(2|8)\}$. Das sind die blauen Geraden.
    Drittes Paar:

    $ \begin{array}{| lcr |} ~y&=&3x−4~ \\ ~3x+2y&=&10~ \\ \end{array}$

    Nach $y$ umgestellt:

    $ \begin{array}{| lcr |} ~y&=&3x−4~ \\ ~y&=&5-\frac32x~ \\ \end{array}$

    • $S(2|2) \Rightarrow \mathbb{L}=\{(2|2)\}$. Das sind die orangefarbenen Geraden.
    Viertes Paar:

    $ \begin{array}{| lcr |} ~4x-2y&=&5~ \\ ~3x+2y&=&9~ \\ \end{array}$

    Nach $y$ umgestellt:

    $ \begin{array}{| lcr |} ~y&=&-\frac52+2x~ \\ ~y&=&\frac92-\frac32x~ \\ \end{array}$

    • $S(2|1,5) \Rightarrow \mathbb{L}=\{(2|1,5)\}$. Das sind die gelben Geraden.
  • Ermittle die Funktionsgleichungen und Schnittpunkte zu den linearen Gleichungssystemen.

    Tipps

    Hier stellst du Schritt für Schritt beide Gleichungen nach $y$ um:

    Schritt 1

    $\begin{array}{| lcr |r} ~2x+4y&=&7x+1~&|~-2x\\ ~x+y&=&1~&|~-x\\ \end{array}$

    Schritt 2

    $\begin{array}{| lcr |r} ~4y&=&5x+1~&|~:4\\ ~y&=&1-x~\\ \end{array}$

    Lösung

    $A)$ $\begin{array}{|lcr|} ~3x+4y&=&7x+1~ \\ ~2x+y&=&1~ \\ \end{array}$

    Hier stellst du Schritt für Schritt beide Gleichungen nach $y$ um:

    Schritt 1

    $\begin{array}{| rcl |l} ~3x+4y&=&7x+1~&|~-3x\\ ~2x+y&=&1~&|~-2x\\ \end{array}$

    Schritt 2

    $\begin{array}{| lcr |r} ~4y&=&4x+1~&|~:4\\ ~y&=&1-2x~\\ \end{array}$

    Umgestellte Funktionsgleichungen

    $\begin{array}{| lcr |} ~y&=&x+\frac14~\\ ~y&=&1-2x~\\ \end{array}$

    Dann zeichnest du die beiden Geraden (siehe die hier abgebildeten Geraden) in das Koordinatensystem und markierst den Schnittpunkt. Dieser liegt bei $S(0,25|0,5)$.

    $B)$ $\begin{array}{|lcr|} ~x+y-2&=&3y-4~ \\ ~3x-1&=&2y-x~\\ \end{array}$

    Umgestellte Funktionsgleichungen

    $\begin{array}{| lcr |} ~y&=&1+\frac x 2~\\ ~y&=&2x-\frac12~\\ \end{array}$

    Dann zeichnest du die beiden Geraden in das Koordinatensystem und markierst den Schnittpunkt. Dieser liegt bei $S(1|1,5)$.

    $C)$ $\begin{array}{|lcr|} ~5+x-y&=&4y+3~ \\ ~x&=&4y~ \\ \end{array}$

    Umgestellte Funktionsgleichungen

    $\begin{array}{| lcr |} ~y&=&\frac 25+\frac x5~\\ ~y&=&\frac x4~\\ \end{array}$

    Dann zeichnest du die beiden Geraden in das Koordinatensystem und markierst den Schnittpunkt. Dieser liegt bei $S(8|2)$.

  • Zeige die richtigen Aussagen auf.

    Tipps

    Hier siehst du verschiedene Graphen von linearen Funktionen.

    Die Lösungsmenge des Gleichungssystems

    $ \begin{array}{| lcr |} ~y&=&-2x+5~\\ ~y&=&x-1~\\ \end{array}$

    hat die Lösung $\mathbb{L}=\{(2|1)\}$.

    Zwei Geraden haben entweder einen oder keinen Schnittpunkt, aber niemals mehrere.

    Lösung

    Die folgenden Aussagen sind richtig:

    • Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade.
    Die allgemeine Form sieht so aus: $y=m\cdot x+b$.

    • Zu dem linearen Gleichungssystem $ \begin{array}{| lcr |} ~x+2y&=&4~\\ ~-x+y&=&-1~\\ \end{array}$ gehören die beiden umgestellten Gleichungen $\begin{array}{| lcr |} ~y&=&-\frac12x+2~\\ ~y&=&x-1~\\ \end{array}$.
    Schritt 1

    $\begin{array}{| lcr |r} ~x+2y&=&4~&|~-x\\ ~-x+y&=&-1~&|~+x\\ \end{array}$

    Schritt 2

    $\begin{array}{| lcr |r} ~2y&=&-x+4~&|~:2\\ ~y&=&x-1~&\\ \end{array}$

    Umgestellte Funktionsgleichungen

    $\begin{array}{| lcr |} ~y&=&-\frac12x+2~\\ ~y&=&x-1~\\ \end{array}$

    Die folgenden Aussagen sind falsch:

    • Bei der zeichnerischen Lösung eines LGS gibt es keine, eine oder zwei Lösungen.
    Zwei geraden haben entweder einen oder keinen Schnittpunkt, aber niemals mehrere.

    • Die Lösung eines LGS entspricht den Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Funktionsgraphen $\mathbb{L}=\{(y|x)\}$.
    Achte auf die Reihenfolge der Koordinaten. Die Lösung eines LGS entspricht den Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Funktionsgraphen $\mathbb{L}=\{(x|y)\}$.

  • Löse das LGS.

    Tipps

    Ausmultiplizieren funktioniert auf diese Weise:

    $a(x+y)=ax+ay$

    Lösung

    Gegeben sei das Gleichungssystem: $\begin{array}{| lcr |} ~\frac y 2&=&2x+1~\\ ~2(y-1)&=&4x+y+1~\\ \end{array}$

    Umstellen nach $y$:

    Schritt 1

    $\begin{array}{| lcr |l} ~\frac y 2&=&2x+1~&~|\cdot2\\ ~2(y-1)&=&4x+y+1~&~|~\text{ausmultiplizieren}\\ \end{array}$

    Schritt 2

    $\begin{array}{| lcr |l} ~y&=&4x+2~& \\ ~2y-2&=&4x+y+1~&~|+2\\ \end{array}$

    Schritt 3

    $\begin{array}{| lcr |l} ~y&=&4x+2~\\ ~2y&=&4x+y+3~&~|-y\\ \end{array}$

    Schritt 4

    $\begin{array}{| lcr |} ~y&=&4x+2~\\ ~y&=&4x+3~\\ \end{array}$

    Die Gleichungen haben die gleiche Steigung, sind also parallel und schneiden sich nicht. Das heißt, dass das LGS keine Lösung hat.

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