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Lineare Gleichungen graphisch lösen

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Ø 3.8 / 65 Bewertungen

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Team Digital
Lineare Gleichungen graphisch lösen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Lineare Gleichungen graphisch lösen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, lineare Gleichungen graphisch zu lösen.

Zunächst lernst du, wie eine lineare Gleichung in Normalform aussieht. Anschließend übst du, wie du deren Lösung in ein Koordinatensystem einzeichnest. Abschließend lernst du, wie du ausgehend von der graphischen Lösung überprüfst, welche Punkte Lösung der linearen Gleichung sind.

Lerne das graphische Lösen linearer Gleichungen, indem du Professor Evil bei seiner neuen Teufelei unterstützt.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie die graphische Lösung linearer Gleichungen, Gerade, Lösungsmenge und Variable.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine lineare Funktion ist und wie deren Funktionsgraph aussieht.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, das graphische Lösen linearer Ungleichungen zu lernen.

Transkript Lineare Gleichungen graphisch lösen

Dr. Evil tüftelt in seinem Labor an einer neuen Teufelei. Dieses Mal möchte er geheime Daten stehlen, die auf General Gutmanns Computer gespeichert sind. Dabei helfen soll ihm Speedy, eine Drohne, die Computer hacken kann. Bevor Dr. Evil mit seinem Plan loslegen kann, muss er aber ein paar Probleme lösen. Speedy kann Daten mit einer Geschwindigkeit von 1,25 Petabyte pro Sekunde herunterladen. Dr. Evil hat General Gutmann ausspioniert und weiß, dass der General immer um Mitternacht sein Bürofenster öffnet. Dann macht er einen kleinen Spaziergang für 60 Sekunden. Die Drohne hat also 60 Sekunden Zeit, die Daten herunterzuladen. Kann Speedy seine Aufgabe in dieser Zeit erledigen? Aber wie soll Dr. Evil mit diesem Problem umgehen? Dazu kann er eine lineare Gleichung graphisch lösen. Werfen wir einen Blick auf das Koordinatensystem. Die Datei ist 90 Petabyte groß. Speedy hat genau 60 Sekunden Zeit, um die Daten herunterzuladen. Das auf der Dohne gespeicherte Hackerprogramm ist 15 Petabyte groß. Wenn der Datendiebstahl erfolgreich war, sind auf Speedy also 105 Petabyte gespeichert. Dr. Evil schreibt die Gleichung in der Normalform auf: y ist gleich m mal x plus b. m ist die Steigung und b ist der y-Achsenabschnitt. Bei unserer Rechnung steht x für die Zeit, die die Drohne für den Download braucht. y steht für die Datenmenge, die nach dem Diebstahl auf der Drohne gespeichert ist. "Die Drohne kann 1,25 Petabyte pro Sekunde herunterladen. Der Koeffizient von x - die Steigung - beträgt also 1,25. Das Hackerprogramm von Speedy nimmt 15 Petabyte Speicherplatz ein. Da sich dieser Wert nicht ändert, nennt man ihn eine Konstante und er ist gleichzeitig der y-Achsenabschnitt. Insgesamt erhältst du die Gleichung: y ist gleich 1,25 mal x plus 15." Das stellen wir graphisch dar: Die Gerade schneidet die y-Achse bei 15. Die Steigung beträgt 1,25. Zum Einzeichnen wandle dies in einen Bruch um. Die Steigung beträgt fünf Viertel, das heißt: 5 Einheiten nach oben und 4 nach rechts. Kann Speedy seine Aufgabe also erledigen? Oh nein! Die Gerade schneidet nicht den Punkt (60, 105), der für die 60 Sekunden und die 105 Petabyte steht. Speedy ist zu langsam. Was jetzt? Dr. Evil hat einen Plan B. Er kann Summi benutzen, eine schnellere Drohne. Summi ist zwar noch nicht ganz ausgereift, hat dafür aber eine Download-Geschwindigkeit von 1,75 Petabyte pro Sekunde. Mit dieser Download-Geschwindigkeit stellt Dr. Evil eine neue Gleichung auf. Dieses Mal ist der x-Koeffizient, also die Steigung, gleich 1,75. Der y-Achsenabschnitt ändert sich nicht. Auch das können wir graphisch darstellen: Die Gerade schneidet die y-Achse noch immer bei 15. Die Steigung ist nun aber 1,75 oder als Bruch sieben Viertel, also 7 Einheiten nach oben und 4 nach rechts. Der Graph zeigt: Summi kann in 60 Sekunden 120 Petabyte herunterladen. Dr. Evil jubelt! Die Daten sind sogar etwas schneller herunterladen als gewünscht! Dr. Evil kann es gar nicht erwarten, sich die gestohlenen Daten anzuschauen. Oh-oh! Summi hat die falschen Daten heruntergeladen. Jetzt ist Dr. Evils Computer mit dem Miezekatzenvirus infiziert. Mi-AUTSCH!

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. Super Video 😺

    Von User1149710358, vor etwa einem Jahr
  2. Hallo Natascha Tabbert, kannst Du genauer beschreiben, was Du nicht verstehst? Du kannst Dich auch an unseren Hausaufgaben-Chat wenden. Der ist Mo-Fr 17-19 Uhr für Dich da. Ich hoffe, dass wir Dir weiterhelfen können. Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht K., vor etwa 2 Jahren
  3. Ganz gut beschrieben aber checke es immer noch net

    Von Natascha Tabbert, vor etwa 2 Jahren
  4. Gutes Video aber schade um Dr PC😼

    Von Oliver Z., vor etwa 2 Jahren
  5. Voll süß beschrieben

    Von Gabi Laesser, vor mehr als 2 Jahren

Lineare Gleichungen graphisch lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungen graphisch lösen kannst du es wiederholen und üben.
  • Stelle die lineare Gleichung auf.

    Tipps

    Eigentlich ist es egal, in welcher Reihenfolge man Steigung und $y$-Achsenabschnitt einsetzt. In dieser Aufgabe setzt Dr. Evil aber zuerst die Steigung ein und dann den $y$-Achsenabschnitt.

    Dr. Evil möchte von der Normalform aller linearen Gleichungen zu einer speziellen linearen Gleichung kommen. Dazu trägt er nach und nach die passenden Zahlenwerte in die Normalform ein.

    Also schreibt Dr. Evil als Erstes die Normalform einer linearen Gleichung auf.

    Lösung

    Dr. Evil will von der Normalform aller linearen Gleichungen zu einer speziellen linearen Gleichung kommen. Also schreibt er zunächst die Normalform auf:

    $y = m\cdot x + b$.

    Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ ist der $y$-Achsenabschnitt. Dr. Evil setzt zuerst die Steigung ein und dann den $y$-Achsenabschnitt. Eigentlich ist die Reihenfolge aber egal.

    Hier entspricht $m$ der Downloadgeschwindigkeit, denn diese gibt an, um wie viel sich das gespeicherte Datenvolumen auf „Speedy“ mit jeder Sekunde ändert. Da die $x$-Achse hier die verstrichenen Sekunden zählt, gibt die Downloadgeschwindigkeit genau die Veränderung mit jedem Schritt nach rechts auf der $x$-Achse an. Mit anderen Worten: Die Downloadgeschwindigkeit $1,25 \frac{\text{PB}}{\text s}$ gibt die Steigung $m$ der linearen Gleichung an.

    Eingesetzt in die Normalform ergibt dies:

    $y = 1,25 \cdot x + b$.

    Der $y$-Achsenabschnitt $b$ entspricht hier dem bereits anfangs abgespeicherten Datenvolumen. Das ist das Programm, das am Anfang auf der Drohne installiert ist, also zum Zeitpunkt $x=0$. Dieser Zeitpunkt ist aber genau der Wert auf der $y$-Achse, es handelt sich also um den $y$-Achsenabschnitt.

    Damit lautet die lineare Gleichung:

    $y = 1,25 \cdot x + 15$.

    Der dazugehörige Graph ist im Koordinatensystem abgebildet.

  • Bestimme die Lösungen der linearen Gleichungen.

    Tipps

    Die Normalform für eine lineare Gleichung lautet:

    $y = m \cdot x + b$.

    Dabei gibt $m$ die Steigung des Graphen an und $b$ steht für den $y$-Achsenabschnitt.

    Die Downloadgeschwindigkeit gibt an, wie viele Petabytes pro Sekunde heruntergeladen werden können. Überlege dir, welcher Größe das in der allgemeinen Form einer linearen Gleichung entspricht.

    Das Hacker-Programm ist von vornherein, also auch schon zum Zeitpunkt $x=0$, auf den Drohnen gespeichert. Überlege dir, welcher Größe das in der allgemeinen Form einer linearen Gleichung entspricht.

    Lösung

    Die Normalform

    Wir gehen von der Normalform einer linearen Gleichung aus:

    $y=m \cdot x+b$.

    Die Bedeutung der Koordinaten

    Hier bezeichnet die $x$-Koordinate die Zeit, in der die Drohne die Daten herunterlädt. Die $y$-Koordinate bezeichnet die Datenmenge, die auf der Drohne zu einem bestimmten Zeitpunkt gespeichert ist.

    Die Steigung

    Die Downloadgeschwindigkeit gibt an, wie viele Daten pro Sekunde heruntergeladen werden. Das entspricht der Steigung $m$, die ja beschreibt, um welchen Betrag sich die lineare Funktion bei einem Schritt in $x$-Richtung verändert.

    Der $y$-Achsenabschnitt

    Der $y$-Achsenabschnitt entspricht der Datenmenge, die zum Zeitpunkt $x=0$ schon auf den Drohnen gespeichert ist. Zu diesem Zeitpunkt ist aber nur das Hacker-Programm dort gespeichert.

    Die Drohne „Speedy“

    Die Drohne „Speedy“ hat eine Downloadgeschwindigkeit von $1,25~\frac{\text{PB}}{\text s}$ und auf ihr ist bereits das Hacker-Programm mit einer Größe von $15~\text{PB}$ gespeichert. Es werden $60$ Sekunden lang Daten heruntergeladen. Also ergibt sich für die lineare Gleichung:

    $y = 1,25 \cdot 60 + 15 = 90$.

    Nach $60$ Sekunden Download sind auf der Drohne „Speedy“ also genau $90~\text{PB}$ Daten. Der dazugehörige Graph ist im Koordinatensystem pink eingezeichnet.

    Die Drohne „Summi“

    Die Drohne „Summi“ hat eine Downloadgeschwindigkeit von $1,75~\frac{\text{PB}}{\text s}$ und auf ihr ist bereits das Hacker-Programm mit einer Größe von $15~\text{PB}$ gespeichert. Es werden $60$ Sekunden lang Daten heruntergeladen. Also ergibt sich für die lineare Gleichung:

    $y = 1,75 \cdot 60 + 15 = 120$.

    Nach $60$ Sekunden Download sind auf der Drohne „Summi“ also genau $120~\text{PB}$ Daten. Der dazugehörige Graph ist im Koordinatensystem türkis eingezeichnet. Die Datei, die Dr. Evil von General Gutmann stehlen will, ist $90~\text{PB}$ groß. Dazu kommen die $15~\text{PB}$ des Hackerprogramms auf jeder Drohne. Nach $60$ Sekunden müssen also insgesamt $105~\text{PB}$ auf der Drohne gespeichert sein. Also entscheidet sich Dr. Evil für die Drohne „Summi“.

  • Bestimme, welcher Graph zu der Drohne „Flitzi“ gehört.

    Tipps

    Fange beim Zeichnen mit dem $y$-Achsenabschnitt an.

    Der $y$-Abschnitt gibt an, wie viele Petabytes auf der Drohne „Flitzi“ von Anfang an belegt sind. Dies entspricht der Größe des vorinstallierten Hackerprogramms.

    Es ist hilfreich, die als Dezimalzahl gegebene Steigung in einen Bruch umzuwandeln. Dann steht der Zähler für die Zahl der Einheiten, die man nach oben geht, und der Nenner für die Zahl der Einheiten, die man nach rechts geht.

    Dr. Evil stellt diese lineare Gleichung auf:

    $y = 1,5x + 20$.

    Welcher Graph gehört zu dieser Gleichung?

    Lösung

    Um die lineare Gleichung zu der Drohne „Flitzi“ aufzustellen, hat Dr. Evil zuerst die Gleichung in der Normalform aufgeschrieben:

    $y = m \cdot x + b$.

    Er beginnt mit dem $y$-Achsenabschnitt. Der $y$-Abschnitt gibt an, wie viele Petabytes auf der Drohne „Flitzi“ von Anfang an belegt sind. Dies entspricht der Größe des vorinstallierten Hackerprogramms. Also beträgt $b = 20 ~\text{PB}$.
    Als Nächstes sieht sich Dr. Evil die Steigung $m$ an. Die Steigung zeigt, welche Datenmenge die Drohne in einer Sekunde herunterlädt. Dieser Wert entspricht also der Downloadgeschwindigkeit. Die Downloadgeschwindigkeit beträgt $1,5~\frac{\text{PB}}{\text s}$. Dr. Evil notiert sich $m = 1,5$.

    So konnte er diese lineare Gleichung aufstellen:

    $y = 1,5 x + 20$.

    Nun prüft er, welche der Graphen den passenden $y$-Achsenabschnitt und die angegebene Steigung haben. Die Steigung $m = 1,5$ wandelt Dr. Evil in den Bruch $m = \frac{3}{2}$ um. Er überprüft, bei welchen Graphen die Gerade für $2$ Einheiten nach rechts (Nenner) genau $3$ Einheiten nach oben geht (Zähler). Der hier abgebildete Graph gehört zu der linearen Gleichung.
    Und siehe da: Nach $60$ Sekunden hat „Flitzi“ genau $110~\text{PB}$ heruntergeladen. Das entspricht dem Hackerprogramm $\left(20~\text{PB}\right)$ und den Daten von General Gutmann $\left(90~\text{PB}\right)$. Dr. Evils Plan hat also doch noch eine Chance.

  • Bestimme, wie weit Familie Meier gefahren ist.

    Tipps

    „Insgesamt gefahren“ bedeutet von zu Hause aus, also Anfahrtsweg zur Autobahn $+$ Strecke auf der Autobahn selbst.

    Eine Einheit, die erzeugt wird, indem zwei andere Einheiten ins Verhältnis gesetzt werden, beschreibt eine Veränderung.

    Ein Beispiel für eine solche Einheit ist $5~\frac{\text m}{\text s}$.

    Der zugehörige Wert $5$ gibt an, wie viele Meter in einer Sekunde zurückgelegt werden.

    Hier siehst du den Graphen, der zu der linearen Gleichung gehört.

    Lösung

    Die Normalform

    Zunächst stellen wir die Normalform der linearen Funktion auf.

    Dabei entspricht die Geschwindigkeit der Steigung. Denn die Geschwindigkeit sagt aus, um wie viel sich die zurückgelegte Wegstrecke in einer Zeiteinheit ändert. Hier sind das $90~\text{km}$ in einer Stunde.

    Der $y$-Achsenabschnitt sind die $20~\text{km}$, die Familie Meier bis zur Autobahn schon zurückgelegt hat. Dieser Wert wird nämlich immer unverändert zu den gefahrenen Kilometern hinzuaddiert, egal, wie weit Familie Meier auf der Autobahn gefahren ist.

    Die lineare Gleichung lautet daher:

    $y= 90 \cdot x + 20$.

    Wie weit ist Familie Meier gefahren?

    Du kannst nun den Graphen der Funktion zeichnen. Den Verlauf siehst du auf dem Bild. Jetzt kannst du die drei gesuchten Punkte einfach am Graphen ablesen. Dazu suchst du den entsprechenden Zeitpunkt auf der $x$-Achse und fährst senkrecht nach oben, bis du auf den Graphen triffst. Nun gehst du waagerecht nach links, bis du auf die $y$-Achse triffst. Dieser $y$-Wert sagt dir, wie viele Kilometer Familie Meier zu diesem Zeitpunkt bereits zurückgelegt hat.

    Nach einer halben Stunde auf der Autobahn sind sie insgesamt $65~\text{km}$ weit gefahren.

    Nach einer ganzen Stunde auf der Autobahn sind sie insgesamt $110~\text{km}$ weit gefahren.

    Nach zwei Stunden auf der Autobahn sind sie insgesamt $200~\text{km}$ weit gefahren.

  • Gib an, welche Aussagen über lineare Gleichungen wahr sind.

    Tipps

    In der Normalform einer linearen Gleichung wird die Steigung mit der $x$-Koordinate multipliziert. Der $y$-Achsenabschnitt wird addiert.

    Die Steigung und der $y$-Achsenabschnitt können alle möglichen Werte annehmen. Es gibt also viele unterschiedlichen linearen Gleichungen. Was bedeutet das für die Graphen der linearen Gleichungen?

    Lösung

    Lineare Gleichungen

    Die Normalform einer linearen Gleichung lautet:

    $y= m\cdot x+b$.

    Linear bedeutet dabei, dass das $x$ nur mit einem Vorfaktor (nämlich der Steigung $m$) und einer Konstante (dem $y$-Achsenabschnitt $b$) versehen ist. Für den Graph der Funktion bedeutet das, dass wir eine gerade Linie erhalten, die keine Kurven oder Knicke macht.

    Die Steigung $m$ beschreibt, um welchen Betrag sich der $y$-Wert der Funktion verändert, wenn man den $x$-Wert um $1$ erhöht. Das Vorzeichen besagt dabei, ob der Graph der Funktion steigt (bei positivem Vorzeichen) oder fällt (bei negativem Vorzeichen).

    Der $y$-Achsenabschnitt gibt an, an welcher Stelle der Graph der linearen Gleichung die $y$-Achse schneidet. Ist $b=0$, so läuft der Graph durch den Koordinatenursprung. Jedes $b\neq 0$ sorgt dann für eine Verschiebung des Graphen nach oben oder unten.

    Die einzelnen Aussagen

    „Die Normalform einer linearen Gleichung lautet:

    $y= m \cdot x+b$.“

    Das ist richtig und entspricht der Definition der Normalform.

    „Alle linearen Gleichungen haben im Koordinatensystem den gleichen Graphen.“ Das ist falsch. Wie wir oben gesehen haben, verändert sich die Steigung des Graphen mit der Veränderung von $m$ und auch die Veränderung von $b$ verschiebt den Graphen nach oben oder unten. Damit erhalten wir unzählige unterschiedliche Graphen.

    „Dabei steht $m$ für den $y$-Achsenabschnitt und $b$ für die Steigung.“ Das ist falsch. Es ist genau andersherum.

    „Der $y$-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt des Graphen der linearen Gleichung mit der $y$-Achse.“ Das ist richtig.

  • Ermittle, welche Punkte auf den Graphen der gegebenen linearen Gleichungen liegen.

    Tipps

    Fange beim Zeichnen mit dem $y$-Achsenabschnitt an. Der gegebene $y$-Achsenabschnitt ist die Stelle, an der der Graph die $y$-Achse schneidet. Das ist der erste Punkt bei $x=0$

    Wenn die Steigung $m$ einen negativen Wert annimmt, dann fällt die Gerade. Das bedeutet, dass die $y$-Werte immer kleiner werden, je größer der $x$-Wert wird.

    Punkte werden immer in der Form $(x \vert y)$ gegeben. Links steht also der $x$-Wert und rechts der $y$-Wert.

    Lösung

    Das Bild zeigt die Graphen der vier linearen Gleichungen. Die Punkte sind eingetragen und können einfach abgelesen und den Gleichungen zugeordnet werden. Es ergibt sich:

    Auf dem Graphen zu der linearen Gleichung $y= -x +4$ liegen diese Punkte:
    $({1}\vert{3})~~({2}\vert{2})~~({3}\vert{1})$.

    Auf dem Graphen zu der linearen Gleichung $y= x +4$ liegen diese Punkte:
    $({-1}\vert{3})~~({-2}\vert{2})~~({-3}\vert{1})$.

    Auf dem Graphen zu der linearen Gleichung $y= x -4$ liegen diese Punkte:
    $({1}\vert{-3})~~({2}\vert{-2})~~({3}\vert{-1})$.

    Auf dem Graphen zu der linearen Gleichung $y= -x -4$ liegen diese Punkte:
    $({-1}\vert{-3})~~({-2}\vert{-2})~~({-3}\vert{-1})$.

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