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Kreuzprodukt – Herleitung

Ein Vektor im $\mathbb{R}^3$ hat drei Koordinaten und wird spaltenweise dargestellt. Lies weiter, um zu erfahren, wie das Kreuzprodukt von zwei Vektoren einen neuen Vektor erzeugt und welche Eigenschaften dieser hat. Interessiert? Hier findest du weitere Informationen!

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Die Autor*innen
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Giuliano Murgo
Kreuzprodukt – Herleitung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Kreuzprodukt – Herleitung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kreuzprodukt – Herleitung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Herleitung des Vektorproduktes.

    Tipps

    Zwei Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ sind orthogonal zueinander, falls ihr Skalarprodukt Null ist.

    Du erhältst ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten. Dann kann eine Unbekannte frei gewählt werden.

    Wähle diese so, dass die Rechnung sich vereinfacht.

    Lösung

    Da das Vektorprodukt $\vec a\times \vec b=\vec n$ einen Vektor $\vec n$ liefert, welcher senkrecht auf $\vec a$ und $\vec b$ steht, erhält man die Gleichungen:

    $\begin{align*} &\text{I}&n_1\cdot a_1+n_2\cdot a_2+n_3\cdot a_3& = 0 \\ &\text{II}&n_1\cdot b_1+n_2\cdot b_2+n_3\cdot b_3& = 0 \end{align*}$.

    Die Unbekannte $n_2$ soll eliminiert werden. Hierzu multipliziert man die erste Gleichung mit $b_1$ und die zweite mit $a_2$. Die zweite Gleichung wird dann von der ersten subtrahiert:

    $\text{III }n_1\cdot a_1\cdot b_2-n_1\cdot a_2\cdot b_1+n_3\cdot a_3\cdot b_2-n_3\cdot a_2\cdot b_3=0$.

    Die Rechnung, welche zu $n_1$ führt, ist im Bild zu sehen:

    • es wird jeweils $n_1$ und $n_3$ ausgeklammert und
    • der Term mit $n_3$ wird auf die rechte Seite gebracht.
    • Zuletzt wird durch den Faktor in der Klammer auf der linken Seite geteilt.
    Da eine Unbekannte frei gewählt werden kann, wählt man $\mathbf{n_3=a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1}$. Somit kürzt sich dieser Term auf der rechten Seite und man erhält $\mathbf{n_1=a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2}$.

    Diese beiden Koordinaten werden in der ersten Gleichung eingesetzt:

    $\begin{align*} && 0&=(a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2)\cdot a_1+n_2\cdot a_2+(a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1)\cdot a_3\\ &\Leftrightarrow&n_2\cdot a_2&=a_1\cdot a_3\cdot b_2-a_1\cdot a_2\cdot b_3+a_2\cdot a_3\cdot b_1-a_1\cdot a_3\cdot b_2\\ &\Leftrightarrow&n_2\cdot a_2&=a_2\cdot(a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3)&|&:a_2\\ &\Leftrightarrow&\mathbf{n_2}&\mathbf{=a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3}. \end{align*}$

  • Definiere das Vektorprodukt.

    Tipps

    Merkregel: Du kannst die Vektoren zweimal untereinander schreiben, die erste und letzte Zeile streichen und dann über Kreuz multiplizieren:

    $\begin{array}{c} \not{a_1}\\ a_2\\ a_3\\ a_1\\ a_2\\ \not{a_3} \end{array} \begin{array}{c} \times\\ \times\\ \times \end{array} \begin{array}{c} \not{b_1} \\ b_2\\ b_3\\ b_1\\ b_2\\ \not{b_3} \end{array}$

    Zunächst werden die zweite und dritte Koordinate über Kreuz multipliziert und die Produkte subtrahiert, dann die dritte und erste und zuletzt die erste und zweite.

    Lösung

    Das Vektorprodukt ist wie folgt definiert:

    $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

    Diese Definition kannst man sich wie folgt einprägen:

    $\begin{array}{c} \not{a_1}\\ a_2\\ a_3\\ a_1\\ a_2\\ \not{a_3} \end{array} \begin{array}{c} \times\\ \times\\ \times \end{array} \begin{array}{c} \not{b_1} \\ b_2\\ b_3\\ b_1\\ b_2\\ \not{b_3} \end{array}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$

    Das bedeutet,

    • man schreibt den jeweiligen Vektor zweimal übereinander und
    • streicht die erste und letzte Zeile.
    • Nun werden immer über Kreuz die Koordinaten multipliziert und subtrahiert.

  • Bestimme einen Vektor, der sowohl zu $\vec a$ als auch zu $\vec b$ orthogonal ist.

    Tipps

    Zwei Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ sind orthogonal zueinander, falls ihr Skalarprodukt Null ist.

    Du erhältst 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Das bedeutet, dass du eine Unbekannte frei wählen kannst.

    Wähle diese so, dass du Brüche vermeidest.

    Lösung

    Da der gesuchte Vektor $\vec n$ senkrecht auf $\vec a$ sowie $\vec b$ steht, muss gelten:

    • $\text{I}~-n_1-n_2+3n_3=0$
    • $\text{II}~4n_1-3n_2+n_3=0$.
    Die erste Gleichung kann mit $4$ multipliziert und zur zweiten addiert werden:

    $-7n_2+13n_3=0$.

    Eine Unbekannte kann frei gewählt werden. Dies geschieht so, dass Brüche vermieden werden: Wir wählen zum Beispiel $n_2=13$. Damit erhält man $n_3=7$. Diese beiden Koordinaten werden nun in einer der Ausgangsgleichungen eingesetzt:

    $-n_1-13+3\cdot 7=0$. Dies ist äquivalent zu $n_1=8$.

    Der gesuchte Vektor ist somit

    $\vec n=\begin{pmatrix}8 \\ 13 \\ 7 \end{pmatrix}$.

  • Bilde das Vektorprodukt $\vec n$ von $\vec a$ und $\vec b$.

    Tipps

    Du kannst überprüfen, ob dein Ergebnis stimmt, indem du den erhaltenen Vektor mit den beiden Ausgangsvektoren skalar multiplizierst. Es muss jeweils $0$ herauskommen.

    Es gibt eine Merkhilfe für die Berechnung des Vektorproduktes:

    • schreibe jeden der beiden Vektoren zweimal untereinander,
    • streiche die erste und letzte Zeile und
    • multipliziere dann die zweite und dritte über Kreuz und subtrahiere die Produkte.
    • Fahre so fort mit der dritten und vierten sowie vierten und fünften Zeile.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Merkregel für $\vec a=\begin{pmatrix} 0 \\ 11\\ 3 \end{pmatrix}$ und $\vec b=\begin{pmatrix} 5 \\ -1\\ 3 \end{pmatrix}$.

    Lösung

    Es gilt:

    $\begin{align*} n_1&=a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ n_2&=a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ n_3&=a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{align*}$

    Also ist

    • $n_1=2\cdot 2-3\cdot(-1)=7$,
    • $n_2=3\cdot 1-0\cdot 2=3$ und
    • $n_3=0\cdot (-1)-2\cdot 1=-2$.
    Der gesuchte Vektor ist

    $\vec n=\begin{pmatrix} 7 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$.

  • Ergänze die Erklärung zum Vektorprodukt.

    Tipps

    Das Vektorprodukt von $\vec a=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$ sowie $\vec b=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 2 \end{pmatrix}$ ist $\vec n=\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\ -1 \end{pmatrix}$.

    Beachte die Unterscheidung von „Skalarprodukt“ und „Vektorprodukt“: Beim Skalarprodukt erhält man als Ergebnis eine Zahl, ein Skalar.

    Lösung

    Wenn man zu zwei gegebenen Vektoren einen Vektor finden muss, welcher senkrecht bzw. orthogonal auf diesen beiden Vektoren steht, so kann man dies durch Lösen von Gleichungen tun.

    Dies geht einfacher mit dem Vektorprodukt.

    Das Vektorprodukt zweier Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ liefert einen Vektor $\vec n$; im Gegensatz liefert das Skalarprodukt ein Skalar.

    Dieser Vektor $\vec n$ ist orthogonal zu den beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$. Es gilt:

    • $\vec n \perp \vec a$ und
    • $\vec n \perp \vec b$.

  • Ermittle das Vektorprodukt für die vorgegebenen Vektoren.

    Tipps

    Das Vektorprodukt ist wie folgt definiert:

    $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

    Du kannst überprüfen, ob dein Ergebnis stimmt: Das Skalarprodukt des Ergebnisvektors mit jedem der beiden zu multiplizierenden Vektoren muss $0$ sein.

    Es gibt eine Merkhilfe für die Berechnung des Vektorproduktes:

    • schreibe jeden der beiden Vektoren zweimal untereinander,
    • streiche die erste und letzte Zeile und
    • multipliziere dann die zweite und dritte über Kreuz und subtrahiere die Produkte.
    • Fahre so fort mit der dritten und vierten sowie vierten und fünften Zeile.

    Lösung

    Es gibt eine Merkhilfe für die Berechnung des Vektorproduktes:

    • schreibe jeden der beiden Vektoren zweimal untereinander,
    • streiche die erste und letzte Zeile und
    • multipliziere dann die zweite und dritte über Kreuz und subtrahiere die Produkte.
    • Fahre so fort mit der dritten und vierten sowie vierten und fünften Zeile.
    Diese ist hier in dem Bild zu sehen.

    Der gesuchte Vektor ist

    $\vec n=\begin{pmatrix} -10 \\ 10 \\ 10 \end{pmatrix}$.